座標幾何学

座標幾何学の手法と概念

これまでの章ですでに用いられてきた。今こそ、それらをそれ自体としてより詳細に検討すべき時である。そうすることで、我々が到達した他の概念への理解もより強固なものとなるだろう。本章および次章以降では、正の実数と負の実数の概念に立ち返り、前二章で導入した虚数は一旦脇に置くこととする。

平面上に二つの軸 $X O X^{'}$ と $Y O Y^{'}$ をとることによって、その平面上の任意の点 $P$ の位置を、正または負の数の組 $x$ と $y$ （ここで（[図]13参照） $x$ は線分 $O M$ の長さ、 $y$ は線分 $P M$ の長さである）によって決定できるという考え方を、私たちは絶えず用いてきた。この概念は、見た目には単純だが、座標幾何学という偉大な学問の核心をなす考え方である。その発見は、数学的思考の歴史における重大な画期をなすものである。それは（これまでにも

すでに述べたように）哲学者デカルトに対して、

ある朝、ベッドに横たわっているときに、重要な数学的手法として彼に思い浮かんだ。数学の深い知識を身につけた哲学者たちは、これまで科学に最も優れた着想のいくつかを授けてきた人々の中に数えられる。その一方で、数学の知識が乏しいか、あるいは付け焼き刃で後から得た知識しかない哲学者たちが数学について述べた見解は、例外なくすべて、全く価値のないものであり、取るに足らないか、あるいは間違っていると言わざるを得ない。この事実は奇妙なものである。なぜなら、数学の究極的な概念は

結局のところ、きわめて単純で、ほとんど子供じみているように思われ、哲学的思考の領域内に十分に収まるもののように思われる。おそらく、その単純さこそが誤りの原因なのであろう。私たちはそのような単純で抽象的な事柄について考えることに慣れておらず、思考の常道から少しでも外れるとすぐに誤りを犯してしまうことから免れるためには、たとえ部分的にせよ、長い訓練が必要なのである。

座標幾何学の発見、そして同時期になされた射影幾何学の発見は、知識の歴史において絶えず実証され続けているもう一つの事実、すなわち、最も偉大な発見のいくつかは、最もよく知られた主題の中にこそ潜んでいるという事実を如実に示している。17世紀に到達した時点で、幾何学は、その起源をギリシャ人に求めるとしても、すでに2000年以上にわたって研究されてきた。アレクサンドリア大学で教鞭をとったユークリッドは、

紀元330年頃に生まれ、彼はそれまでの長い先人たちの業績を体系化し、拡張したに過ぎなかった。その先人たちの中には、天才と呼ぶべき人物もいた。彼以降、何世代にもわたって数学者たちがこの学問の改良に努めた。また、この学問は、進歩を阻む致命的な障害、すなわち、似たような出自や見解を持つ狭い集団のみによって研究されるという事態に陥ることもなかった。むしろその逆であり、17世紀までには、それは

エジプト人やギリシャ人、アラブ人やドイツ人といった人々の思考を経てきた。それにもかかわらず、これほど多様な知性によって、これほど長い時代をかけて注ぎ込まれた多大な労力の末でさえ、その最も重要な秘密は未だ解き明かされていなかったのである。

初等幾何学の基礎を少しでも学んだ者であれば、何らかの指針となる手法が欠けているという感覚を抱かずにはいられないはずである。個々の命題は、その都度、新たな創意工夫を凝らして証明しなければならない。そのような状態にある学問は、科学的思考にとって最も不可欠なもの、すなわち「方法」を欠いていると言える。さて、座標幾何学の特筆すべき点は、それが初めて「方法」を導入したことにある。数学という学問において、遠大な推論は理論的にさほど重要ではない。学問というものは、その本質が、その範囲内に含まれるあらゆる主題について容易に情報を得られるような、偉大で体系的な手法の提示から成り立つようになって初めて完成されるのである。学問の発展とは、第一義的には量の増大ではなく、概念の発展である。そして概念が発展すればするほど、わざわざ書き留める価値のある推論は少なくなっていく。あいにく数学というものは、教科書において無数の補助的な命題が繰り返されることで常に煩わされている。それらの命題は、より一般的な真理の特殊な事例として吸収されてしまったことで、もはや重要性を失っているにもかかわらずである。そして、すでに強調してきた通り、一般性こそが数学の魂なのである。

繰り返しになるが、座標幾何学は、すでに指摘した数学のもう一つの特徴、すなわち数学という学問は発展するにつれて互いに組み合わさり、共通の概念を分かち合うようになるという性質を如実に示している。数学の諸分野は絶えず一般化の過程を経ており、一般化されるにつれてそれらが融合していくと言っても過言ではない。ここでもその理由は、数学という学問の本質そのもの、すなわちその一般性に由来している。つまり、数学が、あらゆる事物が「事物」として存在するがゆえに適用される普遍的な真理を扱う学問であるという事実に起因しているのである。この関連において、座標幾何学の興味深い点は、空間の科学として始まった幾何学と、数の科学に起源を持つ代数学とを結びつけたという事実にある。

それでは、これら二つの科学の主要な概念を振り返り、デカルトの座標法によってそれらがどのように関連付けられているかを見ていくことにしよう。とる

そもそも代数学とは何か。私たちは虚数については考えず、正または負の符号を持つ実数のみを扱うことにする。その根本的な概念は、特定の数字ではなく文字によって表される「変数」という数である。次に、変数間の相関関係について考察を進める。例えば、 $x$ と $y$ が二つの変数である場合、

それらは、 $x + y = 1$ という方程式、あるいは $x - y = 1$ という方程式、もしくは無数に存在する他のどのような方法によっても相関していると考えることができる。これは直ちに、

代数的形式という概念。実際、我々は興味深い型のあらゆる相関について考えるのであり、こうして変数という初期の概念から、変数の相関という二次的な概念へと高まっていく。このようにして、我々は相関 $x + y = 1$ を、相関 $a x + b y = c$ へと一般化する。ここで $a$ 、 $b$ 、および $c$ は文字であり、あらゆる数を表し、実際それら自身が変数である。しかし、これらは変数の相関を決定する変数である。そして、その相関は、決定されると、変数 $x$ と $y$ を相関させる。上記のような $a$ 、 $b$ 、 $c$ のように、相関を決定するために用いられる変数は、「定数」あるいはパラメータと呼ばれる。この使用

この文脈において、本来は変数であるものに対して「定数」という用語を用いることは、一見すると奇妙に思えるかもしれない。しかし、実際にはごく自然なことである。なぜなら、数学的な探究においては、 $a, b, c$ が決定されたと仮定した後の、変数 $x$ と $y$ の関係が問題となるからである。したがって、ある意味で $x$ と $y$ に対して相対的に見れば、「定数」である $a, b, c$ は定数なのである。このように、 $a x + b y = c$ は、ある代数的形式の一般的な例、すなわち、ある特定のクラスに属する変数間の相関関係を表している。

さらに一般化して、 $x^{2} + y^{2} = 1$ を $a x^{2} + b y^{2} = c$ とし、あるいはさらに進めて $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} = c$ とし、あるいはさらに進めて $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} + 2 g x + 2 f y = c$ とします。

ここでもまた、我々は代数的な形式によって示される変数の相関関係へと導かれる。

さて、幾何学へと目を向けよう。この学問の名を聞けば、三角形や長方形、正方形、円といった図形や図式が、互いに特別な関係性をもって示されている様子が、ただちに思い浮かぶ。こうした図形の単純な性質を研究することこそが、初学者に対して正当に提示される初等幾何学の主題である。しかし、少し考えればわかるように、これがこの学問の真の概念というわけではない。子供がハサミで切り抜いた三角形や正方形のような形から幾何学的な推論を始めるのは、正しいことかもしれない。だが、そもそも三角形とは何だろうか。それは、3本の直線の断片によって囲まれ、区切られた図形のことである。

さて、線分によって空間の境界を定めるという考え方は非常に複雑なものであり、この学問の骨組みとなるべき単純で一般的な概念を提示できる見込みは全くない。我々には、より単純で、より一般的な何かが必要である。こうした誤った初期の概念への固執――それは創造の過程においては極めて自然で優れた着想ではあるのだが――

その主題に関する最初の考察――それこそが、何世紀にもわたってこの学問の研究が比較的実りのないものに終わっていた原因である。座標幾何学、そしてその創始者であるデカルトこそが、幾何学的思考のための真に単純な対象を明らかにしたという功績を認められるべきである。

直線の一部ではなく、両方向に果てしなく続く直線の全体について考えてみよう。これこそが、我々の幾何学的探究の出発点となる一般的な概念である。ギリシャ人は、現代のあらゆる幾何学的思考において不可欠となっているこの概念を、一度も活用しようとしなかったように思われる。ユークリッドは常に、二つの定点の間に引かれたものとして直線を捉えており、その線分を延長する場合にも、その旨を明記することに非常に慎重であった。彼は、直線というものを、最初から全体として与えられた実体であるとは考えなかったのである。このように、直感的に明らかでない無限性を排除するために注意深く定義し、限定を加えるという姿勢は、ギリシャ人のあらゆる活動に極めて特徴的なものであった。それは、ギリシャ建築とゴシック建築の違い、そしてギリシャの宗教と現代の宗教の違いの中に如実に表れている。ゴシック様式の大聖堂にそびえる尖塔と、現代幾何学における無限の直線の重要性は、どちらも現代世界の変容を象徴するものなのである。

直線は、全体として考察されるとき、現代幾何学が出発点とする根源的な概念となる。しかし、そこから他の種類の線が我々の念頭に浮かび、我々は完全な曲線という概念に到達する。この曲線は、直線があらゆる点において「直線性」という特性を示すのと同様に、そのあらゆる点において何らかの均一な特性を示すものである。例えば、円というものがあるが、これは

あらゆる点において、中心から一定の距離にあるという特性を示しており、また楕円というものがあるが、これは卵形である

曲線。その曲線上の任意の点から、焦点と呼ばれる2つの定点までの距離の和が、

その焦点までの距離の和は、曲線上のすべての点において一定である。円が、二つの焦点が同一の点に重なった楕円の特殊な場合にすぎないことは明らかである。なぜなら、そのとき二つの距離の和は、単に円の半径の二倍となるからである。古代人は楕円と円の性質を知っており、当然のことながら、それらを全体として捉えていた。例えば、ユークリッドは円の単なる線分（すなわち断片）から出発して、それを延長するというようなことは決してしない。彼は常に、描かれた円の全体を考察の対象とする。幾何学において円が真の基本線ではないことは不幸なことであり、そのために、直線をめぐる彼の不完全な考察が、より重大な結果を招くことになってしまったのである。

ある点において、どのような

ある点が何らかの共通の性質を示すことは、幾何学において「軌跡（locus）」という用語で表現される。軌跡とは、ある与えられた性質をすべて備えた点の集合によって形成される曲線（平面に限定しなければ曲面）のことである。点同士が持ちうるあらゆる相互関係上の性質に対して、その性質を備えたすべての点からなる何らかの軌跡が対応する。全体として捉えられた軌跡の性質を研究する際、我々は軌跡上の任意の点、あるいは複数の点を考察する。このように、幾何学において我々は再び「変数」という根本的な概念に出会うのである。さらに、軌跡を直線、円、楕円といった見出しのもとに分類する際、我々は再び「形式」という概念を見出すことになる。

代数学において我々が変数、変数間の相関関係、そして代数的形式という概念による相関関係の類別を扱うのと同様に、幾何学においても我々は変数点、ある条件を満たすことで軌跡を形成する変数点、そして同形式の条件という概念による軌跡の類別を扱うのである。

さて、座標幾何学の真髄とは、代数的な相関関係を幾何学的な軌跡と同一視することにある。平面上の点は、代数学においては二つの座標 $x$ および $y$ によって表され、その軌跡上のいかなる点も満たす条件は、次のように表現される。

$x$ と $y$ の間の対応する相関関係によって。最後に、 $a x + b y = c$ のような一般的な代数形式で表される相関関係には、その幾何学的条件がすべて同じ形式であるような、ある一般的な型の軌跡が対応する。我々はこうして、二つの科学の間で概念と結果を完全に入れ替えることができるという境地に達した。それぞれの科学は互いに光を投げかけ、それ自体が計り知れないほど強力なものとなる。冒険と発見の歴史的な瞬間に人々が抱いた感情に思いを馳せると、心が揺さぶられずにはいられない――コロンブス

彼が初めて西の岸辺を目にしたとき、ピサロが太平洋を凝視したとき

海、そして電気の火花が走った時のフランクリン

凧の糸から、ガリレオは彼が

初めて望遠鏡を天に向けたときのことである。こうした瞬間は、思考という抽象的な領域に生きる学生たちにも与えられるものであり、その中でも特筆すべきは、デカルトがベッドの中で横たわり、あの方法を考案した朝のことであろう。

座標幾何学の

座標幾何学の概念を一度理解すると、直ちに心に浮かぶ疑問は、「よく知られた代数形式には、どのような種類の軌跡が対応するのか」というものである。例えば、一般的な代数形式の中で最も単純なものは $a x + b y = c$ である。これに対応する軌跡の種類は

これに対し、これは直線であり、逆にどのような直線に対してもこの形式の方程式が対応する。幾何学的な軌跡の中で最も単純なものが、代数的な形式の中で最も単純なものに対応しているのは幸運なことである。実際、幾何学的な単純さと代数的な単純さの間に見られるこの一般的な対応こそが、この学問全体に力を与えているのである。それは、幾何学と代数学の結びつきが偶然や人為的なものではなく、根深く本質的なものであるという事実に由来している。軌跡に対応する方程式は、その軌跡の「方程式」と呼ばれる。直線のいくつかの方程式の例を挙げれば、この主題がより明確になるだろう。14

$y - x = 0$ を考えてみましょう。ここでは、一般形の $a$ 、 $b$ 、 $c$ がそれぞれ $- 1$ 、 $1$ 、 $0$ に置き換わっています。この直線は図中の「原点」 $O$ を通り、角 $X O Y$ を二等分します。これは図における直線 $L^{'} O L$ です。この直線が原点 $O$ を通るという事実は、 $x = 0$ かつ $y = 0$ を代入すると方程式が成り立つことからも容易にわかりますが、 $0$ と $0$ は $O$ の座標そのものです。実際、同様の方法で一般化すれば、原点を通る任意の直線の方程式が $a x + b y = 0$ の形になることは容易に理解できます。方程式 $y + x = 0$ の軌跡もまた原点を通って角 $X^{'} O Y$ を二等分しており、これは図における直線 $L_{1} O L_{1}^{'}$ です。

$y - x = 1$ を考える。対応する軌跡は原点を通らない。したがって、それが軸と交わる点を求める。それはある座標 $x$ と $0$ の点で $x$ 軸と交わるはずである。しかし、方程式に $y = 0$ を代入すると $x = - 1$ となる。ゆえに、この点 $(A)$ の座標は $- 1$ と $0$ である。同様に、直線が $O Y$ 軸と交わる点 $(B)$ は $0$ と $1$ である。この軌跡は図中の直線 $A B$ であり、 $L O L^{'}$ に平行である。同様に、 $y + x = 1$ は図中の直線 $A_{1} B$ の方程式であり、その軌跡は $L_{1} O L_{1}^{'}$ に平行である。 $a x + b y = 0$ および $a x + b y = c$ という形式の方程式で表される2直線は平行であるという一般的な定理を証明することは容易である。

次に扱う一連の座（loci）は、独立した章を設けるに値するほど重要である。しかし、それらに進む前に、本題の主要な概念についてもう少し詳しく述べておくことにする。

任意の点 $P$ の位置は、原点 $O$ と2つの軸を任意に選ぶことによって決定される。

$O X$ および $O Y$ （直交するもの）とし、その座標 $x$ および $y$ 、すなわち $O M$ と $P M$ を記すことによって（[図]13参照）。また、前章で見たように、 $P$ は「ベクトル」 $O P$ によって決定することもできる。ここで、ベクトルの概念には、確定した長さだけでなく、確定した方向も含まれている。抽象的な数学の観点から見れば、任意の原点という考え方は人工的で不格好に思えるかもしれず、任意に引かれた軸 $O X$ および $O Y$ についても同様である。しかし、数学を宇宙の出来事に適用するという関連において、私たちはここで、私たちの感覚が与えてくれる世界観に関する最も根本的な事実を、直接的かつ単純に象徴化しているのである。私たちはそれぞれ、自分たちの感覚的な知覚を「ここ」と呼ぶ原点に関連づけている。すなわち、私たちが宇宙全体をその周囲に配置する空間の特定の場所における私たちの位置こそが、私たちの身体的存在の不可欠な事実なのである。私たちは、あらゆる空間におけるすべての現象を、どの部分にも偏ることなく、等しく観察する存在を想像することができる。しかし、私たち人間はそうではない。私たちのそばにいる猫は、

足元で起きる出来事は、ホーン岬の地震や天の川銀河における一つの世界の崩壊よりも、はるかに多くの関心を集める。確かに、我々は知識を同胞と共有するにあたって、自分自身の「ここ」という厳格な利己主義をある程度放棄しなければならない。我々は「ここ」を「ここに近い場所」へと置き換える。そうして、最寄りの町の市庁舎や国の首都からの距離をマイルで測るのである。地球を測る際、科学者たちはその原点を地球の中心に置く。天文学者たちは

太陽の内部に原点を置くという極端な利他主義にまで至ることさえある。しかし、この最後の原点がどれほど遠くにあろうとも、あるいはさらに遠く、近くの恒星のあいだの都合のよい地点まで足を延ばしたとしても、宇宙の計り知れない無限の広がりと比べれば、宇宙を探究するさいの我々の最初の手順は、「ほぼここ」に原点を定めることである、という事実に変わりはない。

繰り返すが、座標 $O M$ および $M P$ （すなわち $x$ と $y$ ）とベクトル $O P$ との関係は、有名な平行四辺形の法則の一例である。なぜなら、

$O M P N$ の平行四辺形を完成させることによって容易に見て取れる（[図]8参照）。「ベクトル」 $O P$ 、すなわち向きを持つ大きさという概念は、自然科学の根源的な考え方である。運動する物体はどれも、ある特定の向きに一定の大きさの速度を持っている。つまり、その速度とは向きを持つ大きさ、すなわちベクトルなのである。同様に、力もまた一定の大きさを持っており

そして明確な方向性を持っている。したがって、解析幾何学において「原点」、「座標」、「ベクトル」という概念が導入されるとき、私たちは物理世界の根本的な事実に相当する抽象的な概念を研究しているのである。