Chapter V. The Calculus of Variations

# EL CÁLCULO DE VARIACIONES.

Para captar con más facilidad el carácter filosófico del Método de las Variaciones, será conveniente empezar considerando de manera sumaria la naturaleza especial de los problemas cuya resolución general ha hecho necesaria la formación de este análisis hipertrascendental. Está todavía demasiado cerca de su origen y sus aplicaciones han sido demasiado pocas como para permitirnos obtener una idea general suficientemente clara de él a partir de una exposición puramente abstracta de su teoría fundamental.

# PROBLEMAS QUE LE DAN ORIGEN.

Las cuestiones matemáticas que han dado origen al Cálculo de Variaciones consisten generalmente en la investigación de los máximos y mínimos de ciertas fórmulas integrales indeterminadas, las cuales expresan la ley analítica de tal o cual fenómeno de la geometría o de la mecánica, considerado independientemente de cualquier objeto en particular.

Los geómetras durante mucho tiempo designaron todas las cuestiones de este carácter con el nombre común de Problemas Isoperimétricos, el cual, sin embargo, en realidad solo es adecuado para el más pequeño número de ellas.

Cuestiones ordinarias de Máximos y Mínimos.

En la teoría común de los máximos y mínimos, se propone descubrir, con referencia a una función dada de una o más variables, qué valores particulares deben asignarse a estas variables, para que el valor correspondiente de la función propuesta sea un máximo o un mínimo con respecto a aquellos valores que le preceden y le siguen inmediatamente; esto es, hablando propiamente, buscamos saber en qué instante la función deja de crecer y comienza decrecer, o recíprocamente.

El cálculo diferencial es perfectamente suficiente, como sabemos, para la resolución general de esta clase de cuestiones, al mostrar que los valores de las diferentes variables, que convienen ya sea al máximo o al mínimo, deben anular siempre las diferentes primeras derivadas de la función dada, tomadas por separado con respecto a cada variable independiente, y al indicar, además, una característica adecuada para distinguir el máximo del mínimo; consistente, en el caso de una función de una sola variable, por ejemplo, en que la función derivada de segundo orden tome un valor negativo para el máximo, y un valor positivo para el mínimo. Tales son las bien conocidas condiciones fundamentales pertenecientes a la mayor parte de los casos.

Una nueva clase de cuestiones. La construcción de esta teoría general, al haber destruido necesariamente el principal interés que las cuestiones de esta índole tenían para los geómetras, los llevó casi de inmediato a considerar un nuevo orden de problemas, a la vez mucho más importantes y de mucha mayor dificultad: los de isoperímetros. Ya no se trata, pues, de determinar los valores de las variables pertenecientes al máximo o al mínimo de una función dada. Lo que se requiere descubrir es la forma de la función misma, a partir de la condición del máximo o del mínimo de una cierta integral definida, meramente indicada, que depende de dicha función.

Sólido de menor resistencia. La cuestión más antigua de esta naturaleza es la del sólido de menor resistencia, tratada por Newton en el segundo libro de los Principia, en el cual determina cuál debe ser la curva meridiana de un sólido de revolución, para que la resistencia experimentada por dicho cuerpo en la dirección de su eje sea la menor posible. Pero el camino seguido por Newton, debido a la naturaleza de su método especial de análisis trascendente, no tenía un carácter suficientemente simple, suficientemente general y, sobre todo, suficientemente analítico como para atraer a los geómetras hacia este nuevo orden de problemas.

Para lograr esto, se necesitaba la aplicación del método infinitesimal; y esto fue hecho, en 1695, por Juan Bernoulli, al proponer el célebre problema de la Braquistócrona.

Este problema, que sugirió después una larga serie de cuestiones análogas, consiste en determinar la curva que un cuerpo pesado debe seguir para descender de un punto a otro en el menor tiempo posible. Limitando las condiciones a la simple caída en el vacío, el único caso que se consideró al principio, se halla fácilmente que la curva requerida debe ser una cicloide invertida con una base horizontal y con su origen en el punto más alto. Pero la cuestión puede volverse singularmente complicada, ya sea tomando en cuenta la resistencia del medio, o bien el cambio en la intensidad de la gravedad.

Isoperímetros.

Aunque esta nueva clase de problemas fue proporcionada en primer lugar por la mecánica, es en la geometría donde se realizaron posteriormente las principales investigaciones de este carácter. Así, se propuso descubrir cuál, entre todas las curvas del mismo contorno trazadas entre dos puntos dados, es aquella cuya área es máxima o mínima, de donde ha venido el nombre de Problema de los isoperímetros; o bien se requería que el máximo o el mínimo perteneciera a la superficie producida por la revolución de la curva buscada alrededor de un eje, o al volumen correspondiente; en otros casos, era la altura vertical del centro de gravedad de la curva desconocida, o de la superficie y del volumen que esta pudiera generar, la que debía llegar a ser máxima o mínima, etc.

Finalmente, estos problemas fueron variados y complicados casi hasta el infinito por los Bernoulli, por Taylor y, especialmente, por Euler, antes de que Lagrange redujera su solución a un método abstracto y enteramente general, cuyo descubrimiento ha puesto fin al entusiasmo de los geómetras por tal orden de investigaciones.

Este no es el lugar para trazar la historia de este tema. Solo he enumerado algunas de las principales cuestiones más simples, con el fin de hacer patente el objeto general original del método de variaciones.

Naturaleza analítica de estos problemas. Vemos que todos estos problemas, considerados desde un punto de vista analítico, consisten, por su naturaleza, en determinar qué forma debe tener cierta función desconocida de una o más variables, para que tal o cual integral, dependiente de dicha función, tenga, dentro de unos límites asignados, un valor que sea máximo o mínimo con respecto a todos los que tomaría si la función requerida tuviera cualquier otra forma en absoluto.

Así, por ejemplo, en el problema de la braquistócrona, es bien sabido que si y = f(z), x = π(z), son las ecuaciones rectilíneas de la curva requerida, suponiendo que los ejes de x y de y son horizontales, y que el eje de z es vertical, el tiempo de caída de un cuerpo pesado en dicha curva desde el punto cuya ordenada es z₁, hasta aquel cuya ordenada es z₂, se expresa en términos generales mediante la integral definida

∫_{z_{2}}^z_{1}√(1 + (f'(z))² + (π'(z))²/(2gz))dz.

Es, pues, necesario hallar cuáles deben ser las dos funciones desconocidas f y π para que esta integral sea un mínimo.

Del mismo modo, pedir cuál es la curva entre todas las curvas isoperimétricas planas, que encierra la mayor área, es lo mismo que proponer hallar, entre todas las funciones f(x) que pueden dar un cierto valor constante a la integral

∫dx√(1 + (f'(x) )²), aquella que hace que la integral ∫f(x)dx, tomada entre los mismos límites, sea un máximo. Es evidentemente siempre así en otras cuestiones de esta clase.

Métodos de los antiguos geómetras.

En las soluciones que los geómetras anteriores a Lagrange dieron de estos problemas, se propusieron, en esencia, reducirlos a la teoría ordinaria de máximos y mínimos. Pero los medios empleados para efectuar esta transformación consistían en artificios simples y especiales, peculiares de cada caso, y cuyo descubrimiento no admitía reglas invariables y ciertas, de modo que toda cuestión verdaderamente nueva reproducía constantemente dificultades análogas, sin que las soluciones obtenidas previamente fueran de verdadera ayuda esencial, salvo por su disciplina y entrenamiento de la mente.

En una palabra, esta rama de las matemáticas presentaba, entonces, la imperfección necesaria que existe siempre cuando la parte común a todas las cuestiones de una misma clase aún no ha sido captada con claridad para ser tratada de una manera abstracta y, desde entonces, general.

# MÉTODO DE LAGRANGE.

Lagrange, al esforzarse por hacer que todos los diferentes problemas de isoperímetros dependieran de un análisis común, organizado en un cálculo distinto, fue llevado a concebir un nuevo tipo de diferenciación, a la cual ha aplicado la característica $\delta$, reservando la característica d para los diferenciales comunes.

Estas diferencias de una nueva especie, que él ha designado con el nombre de Variaciones, consisten en los incrementos infinitamente pequeños que reciben las integrales, no en virtud de incrementos análogos por parte de las variables correspondientes, como en el análisis trascendente ordinario, sino suponiendo que la forma de la función colocada bajo el signo de integración experimenta un cambio infinitamente pequeño.

Esta distinción se comprende fácilmente con referencia a las curvas, en las que vemos que la ordenada, o cualquier otra variable de la curva, admite dos clases de diferenciales, evidentemente muy diferentes, según pasemos de un punto a otro infinitamente próximo en la misma curva, o al punto correspondiente de la curva infinitamente próxima producida por una modificación cierta y determinada de la primera curva.

Es además evidente que las variaciones relativas de diferentes magnitudes conectadas entre sí por cualesquiera leyes se calculan, salvo la característica, casi exactamente de la misma manera que los diferenciales.

Finalmente, de la noción general de variaciones se deducen de igual manera los principios fundamentales del algoritmo propio de este método, consistentes simplemente en la libertad, evidentemente permisible, de transponer a voluntad las características especialmente apropiadas a las variaciones, antes o después de aquellas que corresponden a los diferenciales ordinarios.

Una vez formada esta concepción abstracta, Lagrange pudo reducir con facilidad, y de la manera más general, todos los problemas de isoperímetros a la simple teoría ordinaria de máximos y mínimos. Para obtener una idea clara de esta gran y feliz transformación, debemos considerar previamente una distinción esencial que surge en las diferentes cuestiones de isoperímetros.

Dos clases de cuestiones. Estas investigaciones deben dividirse, en efecto, en dos clases generales, según que los máximos y mínimos requeridos sean absolutos o relativos, empleando las expresiones abreviadas de los geómetras.

Cuestiones de la primera clase. El primer caso es aquel en el que las integrales definidas indeterminadas, cuyo máximo o mínimo se busca, no están sometidas, por la naturaleza del problema, a ninguna condición; como ocurre, por ejemplo, en el problema de la braquistócrona, en el que la elección debe hacerse entre todas las curvas imaginables.

El segundo caso tiene lugar cuando, por el contrario, las integrales variables solo pueden variar según ciertas condiciones, que por lo ordinario consisten en que otras integrales definidas (las cuales dependen, de igual manera, de las funciones requeridas) conservan siempre un mismo valor dado; como sucede, por ejemplo, en todas las cuestiones geométricas relativas a las figuras isoperimétricas reales, y en las cuales, por la naturaleza del problema, la integral relativa a la longitud de la curva, o al área de la superficie, debe permanecer constante durante la variación de aquella integral que es el objeto de la investigación propuesta.

El Cálculo de Variaciones proporciona inmediatamente la solución general de las cuestiones de la primera clase; pues es evidente que se sigue, de la teoría ordinaria de máximos y mínimos, que la relación requerida debe reducir a cero la variación de la integral propuesta con respecto a cada variable independiente; lo cual da la condición común tanto al máximo como al mínimo: y, como característica para distinguir el uno del otro, que la variación de segundo orden de la misma integral debe ser negativa para el máximo y positiva para el mínimo.

Así, por ejemplo, en el problema de la braquistócrona, tendremos, para determinar la naturaleza de la curva buscada, la ecuación de condición δ∫_{z_{2}}^z_{1}√([1 + (f'(z))² + (π'(z))²]/(2gz))dz = 0, la cual, al descomponerse en dos, respecto a las dos funciones desconocidas f y π, que son independientes la una de la otra, expresará por completo la definición analítica de la curva requerida.

La única dificultad peculiar de este nuevo análisis consiste en la eliminación de la característica $\delta$, para la cual el cálculo de variaciones proporciona reglas invariables y completas, fundadas, en general, en el método de "integración por partes", del cual Lagrange ha derivado así una ventaja inmensa.

El objeto constante de esta primera elaboración analítica (cuyo tratamiento detallado no procede aquí) es llegar a ecuaciones diferenciales reales, lo cual siempre puede hacerse; y con ello la cuestión pasa al ámbito del análisis trascendental ordinario, el cual proporciona la solución, al menos en cuanto a reducirla a la pura algebra si la integración puede efectuarse.

El objeto general del método de variaciones es efectuar esta transformación, para la cual Lagrange ha establecido reglas que son simples, invariables y de éxito seguro.

Ecuaciones de límites.

Entre las mayores ventajas especiales del método de las variaciones, en comparación con las anteriores soluciones aisladas de los problemas isoperimétricos, se encuentra la importante consideración de lo que Lagrange llama Ecuaciones de límites, las cuales habían sido enteramente negligidas antes de él, aunque sin ellas la mayor parte de las soluciones particulares permanecía necesariamente incompleta.

Cuando los límites de las integrales propuestas han de ser fijos, al ser sus variaciones nulas, no hay ocasión de prestarles atención. Pero ya no es así cuando estos límites, en vez de ser rigurosamente invariables, están tan solo sujetos a ciertas condiciones; como, por ejemplo, si los dos puntos entre los cuales debe trazarse la curva requerida no son fijos, y solo han de permanecer sobre líneas o superficies dadas. Entonces es necesario prestar atención a la variación de sus coordenadas, y establecer entre ellas las relaciones que corresponden a las ecuaciones de estas líneas o de estas superficies.

Una consideración más general.

Esta consideración esencial no es más que el complemento final de otra más general y más importante relativa a las variaciones de diferentes variables independientes. Si estas variables son verdaderamente independientes entre sí, como cuando comparamos todas las curvas imaginables susceptibles de ser trazadas entre dos puntos, ocurrirá lo mismo con sus variaciones y, en consecuencia, los términos relativos a cada una de estas variaciones deberán ser separadamente iguales a cero en la ecuación general que expresa el máximo o el mínimo.

Pero si, por el contrario, suponemos que las variables están sujetas a ciertas condiciones fijas, será necesario tener en cuenta la relación resultante entre sus variaciones, de modo que el número de ecuaciones en las que se descompone entonces esta ecuación general sea siempre igual únicamente al número de las variables que siguen siendo verdaderamente independientes.

Es así, por ejemplo, que en lugar de buscar el camino más corto entre dos puntos cualesquiera, escogiéndolo entre todos los posibles, puede proponerse encontrar solo cuál es el más corto entre todos los que pueden trazarse sobre una superficie dada; un problema cuya solución general constituye ciertamente una de las aplicaciones más hermosas del método de las variaciones.

Cuestiones de la segunda clase. Los problemas en los que se consideran tales condiciones modificadoras se acercan mucho, por su naturaleza, a la segunda clase general de aplicaciones del método de variaciones, caracterizada anteriormente como consistente en la investigación de máximos y mínimos relativos.

Existe, sin embargo, esta diferencia esencial entre ambos casos, que en este último la modificación se expresa mediante una integral que depende de la función buscada, mientras que en el otro se designa mediante una ecuación finita que se da inmediatamente.

Por consiguiente, es evidente que la investigación de los máximos y mínimos relativos es constante y necesariamente más complicada que la de los máximos y mínimos absolutos.

Por fortuna, una teoría general muy sumamente importante, descubierta por el genio del gran Euler antes de la invención del cálculo de variaciones, proporciona un medio uniforme y muy sencillo de hacer que una de estas dos clases de cuestiones dependa de la otra. Consiste en que, si añadimos a la integral que ha de ser un máximo o un mínimo un múltiplo constante e indeterminado de aquella que, por la naturaleza del problema, ha de permanecer constante, bastará con buscar, mediante el método general de Lagrange arriba indicado, el máximo o mínimo absoluto de toda esta expresión.

Se puede concebir fácilmente, en efecto, que la parte de la variación completa que procedería de la última integral debe ser igual a cero (debido al carácter constante de esta última), así como la porción debida a la primera integral, que desaparece en virtud del estado de máximo o mínimo. Estas dos condiciones se unen evidentemente para producir, a este respecto, efectos exactamente iguales.

Tal es el esbozo del modo general en que el método de las variaciones se aplica a todas las diferentes cuestiones que componen la llamada Teoría de las isoperímetros.

Sin duda se habrá notado en esta exposición sumaria cuánto uso se ha hecho en este nuevo análisis de la segunda propiedad fundamental del análisis trascendental señalada en el tercer capítulo, a saber, la generalidad de las expresiones infinitesimales para la representación del mismo fenómeno geométrico o mecánico, en cualquier cuerpo en que se le considere.

Sobre esta generalidad, en efecto, se fundan, por su propia naturaleza, todas las soluciones debidas al método de las variaciones. Si una sola fórmula no pudiera expresar la longitud o el área de una curva cualquiera; si otra fórmula fija no pudiera designar el tiempo de la caída de un cuerpo pesado, según cualquier línea por la que descienda, etc., ¿cómo habría sido posible resolver cuestiones que exigen inevitablemente, por su naturaleza, la consideración simultánea de todos los casos que pueden determinarse en cada fenómeno por los diferentes sujetos que lo manifiestan?

Otras aplicaciones de este método.

No obstante la extrema importancia de la teoría de los isoperímetros, y aunque el método de las variaciones no tuvo al principio otro objeto que la solución lógica y general de esta clase de problemas, tendríamos aún una idea incompleta de este hermoso análisis si limitásemos a esto su destino. En efecto, la concepción abstracta de dos naturalezas distintas de diferenciación es evidentemente aplicable no solo a los casos para los cuales fue creada, sino también a todos aquellos que presentan, por cualquier motivo que sea, dos maneras diferentes de hacer variar las mismas magnitudes.

Es de este modo como el propio Lagrange ha hecho, en su "Méchanique Analytique," una extensa e importante aplicación de su cálculo de variaciones, empleándolo para distinguir las dos clases de cambios que se presentan naturalmente en los problemas de la mecánica racional para los diferentes puntos que se consideran, según comparemos las posiciones sucesivas que son ocupadas, en virtud de su movimiento, por el mismo punto de cada cuerpo en dos instantes consecutivos, o según pasemos de un punto del cuerpo a otro en el mismo instante.

Una de estas comparaciones produce diferenciales ordinarias; la otra da lugar a variaciones, las cuales, allí como en todas partes, no son sino diferenciales tomadas bajo un nuevo punto de vista.

Tal es la acepción general en la que debemos concebir el Cálculo de Variaciones, para apreciar debidamente la importancia de este admirable instrumento lógico, el más potente que la mente humana ha construido hasta ahora.

El método de las variaciones, al ser únicamente una inmensa extensión del análisis trascendental general, no tengo necesidad de demostrar especialmente que es susceptible de ser considerado bajo los diferentes puntos de vista fundamentales que el cálculo de funciones indirectas, considerado como un todo, admite.

Lagrange inventó el cálculo de variaciones de acuerdo con la concepción infinitesimal y, de hecho, mucho antes de emprender la reconstrucción general del análisis trascendental. Cuando hubo ejecutado esta importante reforma, mostró fácilmente cómo podía aplicarse también al cálculo de variaciones, el cual expuso con todo el desarrollo adecuado, según su teoría de funciones derivadas.

Pero cuanto más difícil de comprender es el uso del método de las variaciones, debido al mayor grado de abstracción de las ideas consideradas, más necesario es, en su aplicación, economizar los esfuerzos de la mente mediante la adopción de la concepción analítica más directa y rápida, a saber, la de Leibniz.

En consecuencia, el propio Lagrange lo ha preferido constantemente en el importante uso que ha hecho del cálculo de variaciones en su "Mecánica analítica". De hecho, no existe la menor vacilación a este respecto entre los geómetras.

SUS RELACIONES CON EL CÁLCULO ORDINARIO.

Para hacer lo más claro posible el carácter filosófico del Cálculo de Variaciones, creo que debo, para concluir, indicar brevemente una consideración que me parece importante, y mediante la cual puedo acercarlo al análisis trascendental ordinario en un grado mayor de lo que Lagrange me parece haber hecho.

Hemos visto en el capítulo precedente que la formación del cálculo de diferencias parciales, creado por D'Alembert, introdujo en el análisis trascendente una nueva idea elemental: la noción de dos clases de incrementos, distintos e independientes el uno del otro, que una función de dos variables puede recibir en virtud del cambio de cada variable por separado.

Es así como la ordenada vertical de una superficie, o cualquier otra magnitud referida a ella, varía de dos maneras que son totalmente distintas, y que pueden seguir las leyes más diversas, según aumentemos una u otra de las dos coordenadas horizontales.

Ahora bien, dicha consideración me parece muy próxima, por su naturaleza, a la que sirve de base general al método de variaciones. Este último, en efecto, no ha hecho en realidad más que transferir a las propias variables independientes la concepción peculiar que ya se había adoptado para las funciones de dichas variables; una modificación que ha ampliado notablemente su uso.

Pienso, por lo tanto, que en lo que se refiere meramente a las concepciones fundamentales, podemos considerar que el cálculo creado por D'Alembert ha establecido una transición natural y necesaria entre el cálculo infinitesimal ordinario y el cálculo de variaciones; cuya derivación parece adecuada para hacer que la noción general sea más clara y sencilla.

Según las diferentes consideraciones indicadas en este capítulo, el método de las variaciones se presenta como el grado más alto de perfección que el análisis de las funciones indirectas ha alcanzado hasta ahora.

En su estado primitivo, este último análisis se presentó como un medio general y poderoso para facilitar el estudio matemático de los fenómenos naturales, introduciendo, para la expresión de sus leyes, la consideración de magnitudes auxiliares, elegidas de tal manera que sus relaciones sean necesariamente más simples y más fáciles de obtener que las de las magnitudes directas.

Pero no se suponía que la formación de estas ecuaciones diferenciales admitiera reglas generales y abstractas.

Ahora bien, el Análisis de las Variaciones, considerado desde el punto de vista más filosófico, puede ser considerado como esencialmente destinado, por su naturaleza, a traer al alcance del cálculo el establecimiento efectivo de las ecuaciones diferenciales; porque, en un gran número de cuestiones importantes y difíciles, tal es el efecto general de las ecuaciones variadas, las cuales, aún más indirectas que las ecuaciones diferenciales simples con respecto a los objetos especiales de la investigación, son también mucho más fáciles de formar, y a partir de las cuales podemos entonces, mediante métodos analíticos invariables y completos, cuyo objeto es eliminar el nuevo orden de infinitésimos auxiliares que se han introducido, deducir aquellas ecuaciones diferenciales ordinarias que a menudo habría sido imposible establecer directamente.

El método de las variaciones constituye, pues, la parte más sublime de ese vasto sistema de análisis matemático que, partiendo de los elementos más simples del álgebra, organiza, mediante una sucesión ininterrumpida de ideas, métodos generales cada vez más potentes para el estudio de la filosofía natural y que, en su conjunto, presenta el monumento más incomparablemente imponente e inequívoco del poder del intelecto humano.

Debemos, sin embargo, admitir también que, siendo las concepciones que se consideran habitualmente en el método de las variaciones, por su naturaleza, más indirectas, más generales y, sobre todo, más abstractas que todas las demás, el empleo de tal método exige necesaria y continuamente el mayor grado conocido de esfuerzo intelectual para no perder nunca de vista el objeto preciso de la investigación, al seguir razonamientos que ofrecen a la mente puntos de apoyo tan inciertos y en los cuales los signos apenas sirven de ayuda.

Debemos atribuir sin duda en gran parte a esta dificultad el poco uso real que los geómetras, con excepción de Lagrange, han hecho hasta ahora de tan admirable concepción.