El placer y el provecho que el traductor ha obtenido de la gran obra que aquí se presenta, le han inducido a ofrecerla a sus colegas profesores y estudiantes de Matemáticas en una forma más accesible que aquella en la que hasta ahora ha aparecido.

La necesidad de un mapa exhaustivo de la vasta región de la ciencia matemática —una vista de pájaro de sus rasgos principales, y de las verdaderas orientaciones y relaciones de todas sus partes— es sentida por todo estudiante reflexivo.

Él es como el visitante de una gran ciudad, que no se hace una idea justa de su extensión y situación hasta que la ha contemplado desde alguna eminencia dominante.

Tener una vista panorámica de todo el distrito —que presente de un solo vistazo todas las partes en debida coordinación, y los rincones más oscuros claramente mostrados— es de un valor incalculable tanto para el viajero como para el estudiante.

Es esto lo que ha logrado con mayor perfección, para la ciencia matemática, el autor cuya obra aquí se presenta.

La claridad y la profundidad, la exhaustividad y la precisión, tal vez nunca se hayan unido de manera tan notable como en Auguste Comte. Él contempla su objeto desde una elevación que otorga a cada parte del complejo conjunto su verdadera posición y valor, mientras que su mirada telescópica no pierde ninguno de los detalles necesarios, y no solo penetra por sí misma hasta el corazón del asunto, sino que convierte su opacidad en un cristal tan transparente, que otros ojos pueden ver tan profundamente en él como el suyo propio.

Cualquier matemático que examine este volumen no necesitará ninguna otra justificación de la alta opinión aquí expresada; pero otros tal vez sepan apreciar los siguientes respaldos de autoridades bien conocidas.

Mill, en su "Lógica", califica la obra de M. Comte como "con mucho la mayor producida hasta ahora sobre la Filosofía de las ciencias", y añade: "de esta admirable obra, una de las porciones más admirables es aquella en la que verdaderamente puede decirse que ha creado la Filosofía de las matemáticas superiores:";
Morell, en su "Filosofía especulativa de Europa", dice: "La clasificación dada de las ciencias en general, y su orden regular de desarrollo, es indudablemente una obra maestra del pensamiento científico, tan simple como abarcadora"; y
Lewes, en su "Historia biográfica de la filosofía", llama a Comte "el Bacon del siglo diecinueve", y dice: "Registro sin vacilar mi convicción de que esta es la obra más grande de nuestra era".

La obra completa de M. Comte —su "Cours de Philosophie Positive"— consta de seis grandes volúmenes en octavo, de seiscientas o setecientas páginas cada uno, de las cuales las dos terceras partes del primer volumen comprenden la sección puramente matemática.

La gran extensión del "Curso" es la causa probable de la escasez de aquellos a quienes incluso esta sección del mismo les es conocida. Por lo tanto, el traductor considera que su presentación en su forma actual es una contribución de gran utilidad para el progreso matemático en este país.

La exhaustividad del estilo del autor —que abarca todas las formas posibles de una idea en una oración de Briareo, armada por doquier para no dejar resquicio al error ni al olvido— raya ocasionalmente en lo engorroso y lo formal.

El traductor se ha tomado, por tanto, la libertad de fragmentar o condensar en ocasiones una oración larga, y de omitir algunos pasajes que no son estrictamente necesarios, o que hacen referencia a la peculiar «filosofía positiva» del autor; pero, por lo general, ha aspirado a una fidelidad concienzuda al original.

A menudo ha sido difícil conservar sus matices sutiles y sutiles distinciones de significado y, al mismo tiempo, reemplazar los modismos franceses, peculiarmente apropiados, por sus correspondientes en inglés. El intento, sin embargo, no ha dejado de hacerse nunca, aunque, cuando el mejor camino ofrecía alguna duda, se ha seguido el lenguaje del original lo más fielmente posible y, de ser necesario, se han sacrificado sin vacilar la fluidez y la gracia en aras de los atributos superiores de la claridad y la precisión.

Ciertas formas de expresión podrán parecerle al lector insólitas, pero se han mantenido porque eran características, no del mero idioma del original, sino de su espíritu. Cuando un gran pensador ha revestido sus concepciones con frases que resultan singulares aun en su propia lengua, quien se precia de traducirlo está obligado a preservar fielmente tales formas de discurso, en la medida de lo posible; y esto se ha hecho aquí respecto a aquellas peculiaridades de expresión que pertenecen al autor, no como extranjero, sino como individuo —no porque escriba en francés, sino porque es Auguste Comte.

El joven estudiante de Matemáticas no debe intentar leer todo este volumen de una vez, sino leer cada parte del mismo en conexión con el tema provisional de su estudio especial: el primer capítulo del primer libro, por ejemplo, mientras estudia Álgebra; el primer capítulo del segundo libro, cuando haya avanzado algo en Geometría; y así con el resto.

Los pasajes que resulten oscuros en la primera lectura se aclararán en la segunda; y a medida que sus propios estudios abarquen una mayor porción del campo de las Matemáticas, verá cada vez más claramente sus relaciones mutuas y con aquellas que deba abordar a continuación.

Con este fin se le recomienda encarecidamente que se familiarice por completo con la «Tabla Analítica de Contenidos», que traza un mapa de todo el tema, cuyas grandes divisiones también se indican en el Cuadro Sinóptico frente a la página del título.

Se encontrarán epígrafes correspondientes en el cuerpo de la obra; las divisiones principales en versalitas y las subdivisiones en cursiva. De estos detalles el traductor es el único responsable.

# ÍNDICE ANALÍTICO.

# INTRODUCCIÓN.

Página
CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LA CIENCIA MATEMÁTICA 17
El objeto de las matemáticas 18
Measuring Magnitudes 18 Difficulties 19 General Method 20 Illustrations 21 1. Falling Bodies 21 2. Inaccessible Distances 23 3. Astronomical Facts 24
True Definition of Mathematics 25
Una ciencia, no un arte 25
Sus dos divisiones fundamentales 26
Sus diferentes objetos 27 Sus diferentes naturalezas 29 Matemática concreta 31 Geometría y mecánica 32 Matemática abstracta 33 El cálculo o análisis 33
Extensión de su campo 35
Su universalidad 36 Sus limitaciones 37

# LIBRO I. ANÁLISIS.

# CAPÍTULO I.

Página
VISIÓN GENERAL DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 45
La verdadera idea de una ecuación 46
División de funciones en abstractas y concretas 47 Enumeración de funciones abstractas 50
Divisiones del cálculo 53
El cálculo de valores, o Aritmética 57 Su extensión 57 Su verdadera naturaleza 59 El cálculo de funciones 61 Dos modos de obtener ecuaciones 61 1. Por las relaciones entre las cantidades dadas 61 2. Por las relaciones entre cantidades auxiliares 64 Divisiones correspondientes del cálculo de funciones 67

# CAPÍTULO II.

ANÁLISIS ORDINARIO; O ÁLGEBRA. 69
Su Objeto 69 Clasificación de Ecuaciones 70
Ecuaciones algebraicas 71
Su clasificación 71
Resolución algebraica de ecuaciones 72
Sus límites 72 Solución general 72 Lo que sabemos en Álgebra 74
Resolución numérica de ecuaciones 75
Su utilidad limitada 76
Different Divisions of the two Systems 78
The Theory of Equations 79
El método de los coeficientes indeterminados 80
Cantidades imaginarias 81
Cantidades Negativas 81
El Principio de Homogeneidad 84

# CAPÍTULO III.

ANÁLISIS TRASCENDENTAL: sus diferentes concepciones 88
Observaciones preliminares 88 Su historia temprana 89
Método de Leibnitz 91
Elementos infinitamente pequeños 91 Ejemplos: 1. Tangentes 93 2. Rectificación de un arco 94 3. Cuadratura de una curva 95 4. Velocidad en el movimiento variable 95 5. Distribución de calor 96 Generalidad de las fórmulas 97 Demostración del método 98 Ilustración mediante tangentes 102
Método de Newton 103
Método de los límites 103 Ejemplos: 1. Tangentes 104 2. Rectificaciones 105 Fluxiones y fluentes 106
Método de Lagrange 108
Funciones derivadas 108 Una extensión del Análisis ordinario 108 Ejemplo: Tangentes 109 Identidad fundamental de los tres Métodos 110 Su valor comparativo 113 El de Leibniz 113 El de Newton 115 El de Lagrange 117

# CAPÍTULO IV.

EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 120
Sus dos Divisiones fundamentales 120
Their Relations to each Other 121
1. Uso del cálculo diferencial como preparación para el integral 123
2. Empleo del cálculo diferencial por sí solo 125
3. Empleo del cálculo integral por sí solo 125 Tres clases de cuestiones que de ello resultan 126
El cálculo diferencial 127
Dos Casos: Funciones Explícitas e Implícitas 127 Dos subcasos: una sola Variable o varias 129 Otros dos Casos: Funciones separadas o combinadas 130 Reducción de todos a la Derivación de las diez funciones elementales 131 Transformación de funciones derivadas para nuevas Variables 132 Diferentes Órdenes de Diferenciación 133 Aplicaciones Analíticas 133
El Cálculo Integral 135
Su división fundamental: Funciones explícitas e implícitas 135 Subdivisiones: una sola variable o varias 136 Cálculo de diferencias parciales 137 Otra subdivisión: diferentes órdenes de diferenciación 138 Otra distinción equivalente 140 Cuadraturas 142 Integración de funciones trascendentes 143 Integración por partes 143 Integración de funciones algebraicas 143 Soluciones singulares 144 Integrales definidas 146 Perspectivas del cálculo integral 148

# CAPÍTULO V.

EL CÁLCULO DE VARIACIONES 151
Problemas que le dan origen 151
Cuestiones ordinarias de máximos y mínimos 151 Una nueva clase de cuestiones 152 Sólido de mínima resistencia; braquistócrona; isoperímetros 153
Naturaleza analítica de estas preguntas 154
Métodos de los antiguos Geómetras 155
Método de Lagrange 156
Two Classes of Questions 157 1. Absolute Maxima and Minima 157 Equations of Limits 159 A more general Consideration 159 2. Relative Maxima and Minima 160 Other Applications of the Method of Variations 162
Sus relaciones con el cálculo ordinario 163

# CAPÍTULO VI.

EL CÁLCULO DE DIFERENCIAS FINITAS 167
Su carácter general 167 Su verdadera naturaleza 168
Teoría General de Series 170
Su identidad con este cálculo 172
Funciones periódicas o discontinuas 173
Aplicaciones de este Cálculo 173
Series 173 Interpolation 173 Approximate Rectification, &c. 174

# LIBRO II. GEOMETRÍA.

# CAPÍTULO I.

A GENERAL VIEW OF GEOMETRY 179
The true Nature of Geometry 179 Two fundamental Ideas 181 1. The Idea of Space 181 2. Different kinds of Extension 182
El objeto final de Geometría 184
Natureza de la Medida Geométrica 185 De las Superficies y Volúmenes 185 De las Líneas curvas 187 De las Líneas rectas 189
La extensión infinita de su Campo 190
Infinidad de Líneas 190 Infinidad de Superficies 191 Infinidad de Volúmenes 192 Invención Analítica de Curvas, &c. 193
Expansión de la Definición Original 193
Propiedades de Líneas y Superficies 195 Necesidad de su Estudio 195 1. Para encontrar la Propiedad más adecuada 195 2. Para pasar de lo Concreto a lo Abstracto 197 Ilustraciones: Órbitas de los Planetas 198 Figura de la Tierra 199
Los dos métodos generales de la Geometría 202
Their fundamental Difference 203 1⁰. Different Questions with respect to the same Figure 204 2⁰. Similar Questions with respect to different Figures 204 Geometry of the Ancients 204 Geometry of the Moderns 206 Superiority of the Modern 207 The Ancient the base of the Modern 209

# CAPÍTULO II.

GEOMETRÍA ANTIGUA O SINTÉTICA 212
Su Extensión adecuada 212
Lines; Polygons; Polyhedrons 212 Not to be farther restricted 213 Improper Application of Analysis 214 Attempted Demonstrations of Axioms 216
Geometría de la recta 217
Soluciones Gráficas 218
Geometría descriptiva 220
Soluciones algebraicas 224
Trigonometría 225 Dos métodos para introducir los ángulos 226 1. Por arcos 226 2. Por líneas trigonométricas 226 Ventajas de este último 226 Su división de las cuestiones trigonométricas 227 1. Relaciones entre ángulos y líneas trigonométricas 228 2. Relaciones entre líneas trigonométricas y lados 228 Aumento de las líneas trigonométricas 228 Estudio de las relaciones entre ellas 230

# CAPÍTULO III.

GEOMETRÍA MODERNA O ANALÍTICA 232
La representación analítica de las Figuras 232
Reducción de la Figura a la Posición 233 Determinación de la posición de un Punto 234
Curvas planas 237
Expresión de Líneas por Ecuaciones 237 Expresión de Ecuaciones por Líneas 238 Cualquier cambio en la Línea cambia la Ecuación 240 Toda "Definición" de una Línea es una Ecuación 241 Elección de Coordenadas 245 Dos puntos de Vista diferentes 245 1. Representación de Líneas por Ecuaciones 246 2. Representación de Ecuaciones por Líneas 246 Superioridad del sistema rectilíneo 248 Ventajas de los Ejes perpendiculares 249
Superficies 251
Determination of a Point in Space 251 Expression of Surfaces by Equations 253 Expression of Equations by Surfaces 253
Curves in Space 255
Imperfections of Analytical Geometry 258
Relatively to Geometry 258 Relatively to Analysis 258

FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS.