# EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. SUS DOS DIVISIONES FUNDAMENTALES.

El cálculo de funciones indirectas, de acuerdo con las consideraciones explicadas en el capítulo precedente, se divide necesariamente en dos partes (o, más propiamente, se descompone en dos cálculos diferentes enteramente distintos, aunque íntimamente conectados por su naturaleza), según se proponga hallar las relaciones entre las magnitudes auxiliares (cuya introducción constituye el espíritu general de este cálculo) por medio de las relaciones entre las magnitudes primitivas correspondientes; o, recíprocamente, intentar descubrir estas ecuaciones directas por medio de las ecuaciones indirectas establecidas originalmente. Tal es, de hecho, constantemente el doble objeto de la análisis trascendental.

Estos dos sistemas han recibido nombres diferentes, según el punto de vista bajo el cual se ha considerado este análisis.

El método infinitesimal, propiamente dicho, habiendo sido el más generalmente empleado por las razones que se han dado, casi todos los geómetras emplean habitualmente las denominaciones de Cálculo Diferencial y de Cálculo Integral, establecidas por Leibnitz, y que son, de hecho, consecuencias muy racionales de su concepción.

Newton, de acuerdo con su método, llamó al primero Cálculo de Fluxiones, y al segundo Cálculo de Fluentes, expresiones que se empleaban comúnmente en Inglaterra.

Finalmente, siguiendo la teoría eminentemente filosófica fundada por Lagrange, uno se llamaría Cálculo de las Funciones Derivadas, y el otro Cálculo de las Funciones Primitivas.

Continuaré haciendo uso de los términos de Leibnitz, por ser más convenientes para la formación de expresiones secundarias, aunque debo, de acuerdo con las sugerencias hechas en el capítulo precedente, emplear concurrentemente todas las diferentes concepciones, acercándome tanto como sea posible a la de Lagrange.

# SUS RELACIONES MUTUAS.

El cálculo diferencial es evidentemente la base lógica del cálculo integral; pues no sabemos ni podemos saber integrar directamente otras expresiones diferenciales que aquellas producidas por la derivación de las diez funciones simples que constituyen los elementos generales de nuestro análisis.

El arte de la integración consiste, pues, esencialmente en lograr que todos los demás casos dependan, en la medida de lo posible, únicamente de este pequeño número de integraciones fundamentales.

Al considerar el conjunto de la análisis trascendental, tal como la he caracterizado en el capítulo precedente, no se advierte a primera vista cuál puede ser la utilidad peculiar del cálculo diferencial, independientemente de esta relación necesaria con el cálculo integral, que parece deber ser, por sí mismo, el único directamente indispensable.

En realidad, siendo la eliminación de los infinitesimales o de las derivadas, introducidas como auxiliares para facilitar el establecimiento de las ecuaciones, la que constituye, como hemos visto, el objeto final e invariable del cálculo de funciones indirectas, es natural pensar que el cálculo que enseña a deducir de las ecuaciones entre estas magnitudes auxiliares aquellas que existen entre las mismas magnitudes primitivas debe bastar estrictamente para las necesidades generales del análisis trascendental sin que percibamos, a primera vista, qué papel especial y constante puede tener la solución de la cuestión inversa en dicho análisis.

Sería un verdadero error, aunque frecuente, atribuir al cálculo diferencial, para explicar su influencia peculiar, directa y necesaria, el destino de formar las ecuaciones diferenciales de las cuales el cálculo integral nos permite luego llegar a las ecuaciones finitas; pues la formación primitiva de las ecuaciones diferenciales no es ni puede ser, propiamente hablando, el objeto de ningún cálculo, ya que, por el contrario, constituye por su naturaleza el punto de partida indispensable de cualquier cálculo que sea.

¿Cómo, en particular, podría el cálculo diferencial, que en sí mismo se reduce a enseñar los medios de diferenciar las distintas ecuaciones, ser un procedimiento general para establecerlas?

Lo que en toda aplicación del análisis trascendental facilita realmente la formación de ecuaciones es el método infinitesimal, y no el cálculo infinitesimal, que es perfectamente distinto de él, aunque sea su complemento indispensable.

Tal consideración daría, por tanto, una falsa idea del destino especial que caracteriza al cálculo diferencial en el sistema general del análisis trascendental.

Pero concebiríamos sin embargo muy imperfectamente la verdadera importancia peculiar de esta primera rama del cálculo de funciones indirectas, si no viésemos en ella más que un simple trabajo preliminar, que no tuviera otro objeto general y esencial que preparar los cimientos indispensables para el cálculo integral.

Como las ideas sobre esta materia son en general confusas, creo que debo explicar aquí de manera resumida esta importante relación tal como la concibo, y mostrar que en toda aplicación del análisis trascendental se le asigna constantemente una parte primordial, directa y necesaria al cálculo diferencial.

Uso del cálculo diferencial como preparatorio al del integral. Al formar las ecuaciones diferenciales de cualquier fenómeno que sea, es muy raro que nos limitemos a introducir diferencialmente solo aquellas magnitudes cuyas relaciones se buscan. Imponer esa condición equivaldría a disminuir inútilmente los recursos que presenta el análisis trascendente para la expresión de las leyes matemáticas de los fenómenos. La mayoría de las veces introducimos en las ecuaciones primitivas, a través de sus diferenciales, otras magnitudes cuyas relaciones ya se conocen o se suponen tales, y sin cuya consideración sería frecuentemente imposible establecer las ecuaciones.

Así, por ejemplo, en el problema general de la rectificación de curvas, la ecuación diferencial, ds² = dy² + dx², o ds² = dx² + dy² + dz², no solo se establece entre la función deseada s y la variable independiente x, a la cual está referida, sino que, al mismo tiempo, se han introducido, como intermediarios indispensables, los diferenciales de una o dos funciones más, y y z, que figuran entre los datos del problema; no habría sido posible formar directamente la ecuación entre ds y dx, la cual, por lo demás, sería propia de cada curva considerada. Ocurre lo mismo en la mayoría de las cuestiones.

Ahora bien, en estos casos es evidente que la ecuación diferencial no es inmediatamente apta para la integración.

Previamente es necesario que las diferenciales de las funciones que se suponen conocidas, las cuales se han empleado como intermediarias, sean enteramente eliminadas, para que puedan obtenerse ecuaciones entre las diferenciales de las funciones que son las únicas buscadas y las de las variables verdaderamente independientes, tras lo cual la cuestión depende únicamente del cálculo integral.

Ahora bien, esta eliminación preparatoria de ciertos diferenciales, con el fin de reducir los infinitesimales al menor número posible, pertenece simplemente al cálculo diferencial; pues evidentemente debe hacerse determinando, mediante las ecuaciones entre las funciones que se suponen conocidas, tomadas como intermediarias, las relaciones de sus diferenciales, lo cual es meramente una cuestión de diferenciación.

Así, por ejemplo, en el caso de las rectificaciones, primero será necesario calcular dy, o dy y dz, diferenciando la ecuación o las ecuaciones de cada curva propuesta; después de eliminar estas expresiones, la fórmula diferencial general arriba enunciada contendrá entonces únicamente ds y dx; una vez llegado a este punto, la eliminación de los infinitesimales solo podrá completarse mediante el cálculo integral.

Tal es, pues, la función general que corresponde necesariamente al cálculo diferencial en la solución completa de las cuestiones que exigen el empleo del análisis trascendente: producir, en la medida de lo posible, la eliminación de los infinitésimos, es decir, reducir en cada caso las ecuaciones diferenciales primitivas para que contengan únicamente los diferenciales de las variables verdaderamente independientes y los de las funciones buscadas, haciendo desaparecer, por eliminación, los diferenciales de todas las demás funciones conocidas que hayan podido tomarse como intermediarias en el momento de la formación de las ecuaciones diferenciales del problema que se está considerando.

Empleo del Cálculo Diferencial por sí solo.

Para ciertas cuestiones que, aunque de escaso número, tienen sin embargo, como veremos más adelante, una importancia muy grande, las magnitudes que se buscan entran de manera directa, y no por sus diferenciales, en las ecuaciones diferenciales primitivas, las cuales contienen entonces de forma diferencial únicamente las diferentes funciones conocidas empleadas como intermediarias, de acuerdo con la explicación precedente.

Estos casos son los más favorables de todos; pues es evidente que el cálculo diferencial basta entonces por completo para la eliminación total de los infinitésimos, sin que la cuestión dé lugar a integración alguna. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en el problema de las tangentes en geometría; en el de las velocidades en mecánica, etc.

Empleo exclusivo del cálculo integral.

Finalmente, algunas otras cuestiones, cuyo número es también muy pequeño, pero cuya importancia no es menos grande, presentan un segundo caso excepcional, que en su naturaleza es exactamente el inverso del precedente. Son aquellas en las que las ecuaciones diferenciales resultan inmediatamente listas para la integración porque contienen, en su primera formación, únicamente los infinitesimales que se relacionan con las funciones buscadas, o con las variables verdaderamente independientes, sin que sea necesario introducir, de manera diferencial, otras funciones como intermediarias.

Si en estos nuevos casos introducimos estas últimas funciones, puesto que, por hipótesis, entrarán directamente y no por sus diferenciales, el álgebra ordinaria bastará para eliminarlas y para hacer que la cuestión dependa únicamente del cálculo integral. El cálculo diferencial no tendrá entonces un papel especial en la solución completa del problema, el cual dependerá enteramente del cálculo integral.

La cuestión general de las cuadraturas ofrece un ejemplo importante de esto, pues la ecuación diferencial, al ser entonces dA = ydx, se volverá inmediatamente apta para la integración tan pronto como hayamos eliminado, por medio de la ecuación de la curva propuesta, la función intermediaria y, que no entra en ella de manera diferencial. Las mismas circunstancias se presentan en el problema de las cubaturas, y en algunos otros igualmente importantes.

Tres clases de Cuestiones que de aquí resultan.

Como resultado general de las consideraciones anteriores, es necesario, pues, dividir en tres clases las cuestiones matemáticas que exigen el uso del análisis trascendente;

la primera clase comprende los problemas susceptibles de ser enteramente resueltos mediante el cálculo diferencial por sí solo, sin necesidad alguna del cálculo integral;
la segunda, aquellos que son, por el contrario, enteramente dependientes del cálculo integral, sin que el cálculo diferencial intervenga para nada en su solución;
por último, en la tercera y más extensa, que constituye el caso normal, siendo los otros dos puramente excepcionales, el cálculo diferencial y el cálculo integral tienen cada uno a su vez un papel distinto y necesario en la solución completa del problema, haciendo que el primero someta las ecuaciones diferenciales primitivas a una preparación indispensable para la aplicación del segundo.

Tales son exactamente sus relaciones generales, de las que por lo general se forman ideas demasiado indefinidas e inexactas.

Examinemos ahora de forma general la composición lógica de cada cálculo, empezando por el diferencial.

# EL CÁLCULO DIFERENCIAL.

En la exposición del análisis trascendental, es costumbre entremezclar con la parte puramente analítica (que se reduce al tratamiento de los principios abstractos de la derivación y la integración) el estudio de sus diferentes aplicaciones principales, especialmente aquellas que conciernen a la geometría.

Esta confusión de ideas, que es consecuencia de la manera real en que la ciencia se ha desarrollado, presenta, desde el punto de vista dogmático, graves inconvenientes en este sentido, a saber, que dificulta concebir adecuadamente ya sea el análisis o la geometría.

Habiendo de considerar aquí la coordinación más racional que sea posible, incluiré en el siguiente bosquejo únicamente el cálculo de funciones indirectas propiamente dicho, reservando para la porción de este volumen que se relaciona con el estudio filosófico de las matemáticas concretas el examen general de sus grandes aplicaciones geométricas y mecánicas.

Dos Casos: Funciones explícitas e implícitas.

La división fundamental del cálculo diferencial, o del tema general de la diferenciación, consiste en distinguir dos casos, según que las funciones analíticas que han de ser diferenciadas sean explícitas o implícitas; de lo cual se desprenden dos partes ordinariamente designadas con los nombres de diferenciación de fórmulas y diferenciación de ecuaciones. Es fácil comprender, a priori, la importancia de esta clasificación.

En realidad, dicha distinción sería ilusoria si el análisis ordinario fuera perfecto; es decir, si supiéramos resolver todas las ecuaciones algebraicamente, pues entonces sería posible hacer explícita toda función implícita; y, al diferenciarla en ese estado únicamente, la segunda parte del cálculo diferencial estaría comprendida inmediatamente en la primera, sin dar lugar a ninguna nueva dificultad.

Pero siendo la resolución algebraica de las ecuaciones, como hemos visto, todavía casi propia de su infancia, y hasta ahora imposible para la mayor parte de los casos, es evidente que la situación es muy distinta, ya que tenemos, propiamente hablando, que diferenciar una función sin conocerla, a pesar de estar determinada.

La diferenciación de funciones implícitas constituye, pues, por su naturaleza, una cuestión verdaderamente distinta de la que presentan las funciones explícitas, y necesariamente más complicada.

Es así evidente que debemos comenzar por la diferenciación de fórmulas, y reducir la diferenciación de ecuaciones a este caso primario mediante ciertas consideraciones analíticas invariables, que no es necesario mencionar aquí.

Estos dos casos generales de diferenciación son también distintos bajo otro punto de vista igualmente necesario, y demasiado importante para pasarlo por alto.

La relación que se obtiene entre los diferenciales es constantemente más indirecta, en comparación con la de las cantidades finitas, en la diferenciación de funciones implícitas que en la de funciones explícitas.

Sabemos, en efecto, por las consideraciones presentadas por Lagrange sobre la formación general de las ecuaciones diferenciales, que, por una parte, la misma ecuación primitiva puede dar lugar a un número mayor o menor de ecuaciones derivadas de formas muy diferentes, aunque en el fondo equivalentes, según cuál sea la constante arbitraria que se elimine, lo cual no ocurre en la diferenciación de fórmulas explícitas; y que, por otra parte, el sistema ilimitado de las diferentes ecuaciones primitivas que corresponden a una misma ecuación derivada presenta una variedad analítica mucho más profunda que el de las diferentes funciones que admiten un mismo diferencial explícito, y que se distinguen entre sí únicamente por un término constante.

Las funciones implícitas deben considerarse, por tanto, como aún más modificadas en realidad por la diferenciación que las funciones explícitas. Volveremos a encontrar esta consideración en relación con el cálculo integral, donde adquiere una importancia preponderante.

Dos subcasos: una sola variable o varias variables.

Cada una de las dos partes fundamentales del Cálculo Diferencial se subdivide en dos teorías muy distintas, según se nos requiera diferenciar funciones de una sola variable o funciones de varias variables independientes. Este segundo caso es, por su naturaleza, bastante distinto del primero, y evidentemente presenta más complicación, aun considerando solo las funciones explícitas, y más todavía aquellas que son implícitas.

En cuanto a lo demás, uno de estos casos se deduce del otro de manera general, con la ayuda de un principio invariable y muy sencillo, que consiste en considerar el diferencial total de una función que es producido por los incrementos simultáneos de las diferentes variables independientes que contiene, como la suma de los diferenciales parciales que serían producidos por el incremento separado de cada variable a su vez, si todas las demás permanecieran constantes.

Es necesario, además, observar cuidadosamente, en relación con este tema, una nueva idea introducida por la distinción de funciones entre las de una variable y las de varias; es la consideración de estas diferentes funciones derivadas especiales, relativas a cada variable por separado, y cuyo número aumenta más y más en proporción a medida que el orden de derivación se hace más alto, y también cuando las variables se vuelven más numerosas.

De esto resulta que las relaciones diferenciales pertenecientes a funciones de varias variables son, por su naturaleza, mucho más indirectas y, sobre todo, mucho más indeterminadas que las relativas a funciones de una sola variable.

Esto se hace más evidente en el caso de las funciones implícitas, en las cuales, en lugar de las simples constantes arbitrarias que la eliminación hace desaparecer cuando formamos las ecuaciones diferenciales adecuadas para funciones de una sola variable, son las funciones arbitrarias de las variables propuestas las que entonces se eliminan; de lo que deben resultar dificultades especiales cuando dichas ecuaciones llegan a integrarse.

Finalmente, para completar este esbozo resumido de las diferentes partes esenciales del cálculo diferencial propiamente dicho, debo añadir que en la derivación de funciones implícitas, ya sea de una sola variable o de varias, es necesario hacer otra distinción; la del caso en que se requiere derivar a la vez diferentes funciones de este tipo, combinadas en ciertas ecuaciones primitivas, frente a aquel en que todas estas funciones están separadas.

Las funciones son evidentemente, de hecho, aún más implícitas en el primer caso que en el segundo, si consideramos que la misma imperfección del análisis ordinario, que nos prohíbe convertir cada función implícita en una función explícita equivalente, nos hace igualmente incapaces de separar las funciones que entran simultáneamente en cualquier sistema de ecuaciones.

Es necesario entonces diferenciar, no solo sin saber cómo resolver las ecuaciones primitivas, sino incluso sin poder efectuar las eliminaciones adecuadas entre ellas, produciendo así una nueva dificultad.

Reducción del todo a la Diferenciación de las diez Funciones elementales.

Tales son, pues, la conexión natural y la distribución lógica de las diferentes teorías principales que componen el sistema general de diferenciación. Puesto que la diferenciación de las funciones implícitas se deduce de la de las funciones explícitas mediante un único principio constante, y la diferenciación de funciones de varias variables se reduce mediante otro principio fijo a la de las funciones de una sola variable, la totalidad del cálculo diferencial se reduce finalmente a descansar sobre la diferenciación de funciones explícitas con una sola variable, la única que se ejecuta jamás directamente.

Ahora es fácil comprender que esta primera teoría, base necesaria de todo el sistema, consiste simplemente en la diferenciación de las diez funciones simples, que son los elementos uniformes de todas nuestras combinaciones analíticas, y cuya lista se ha dado en el primer capítulo, en la página 51; pues la diferenciación de las funciones compuestas se deduce evidentemente, de un modo inmediato y necesario, de la de las funciones simples que las componen. Se reduce, pues, propiamente todo el sistema de la diferenciación al conocimiento de estos diez diferenciales fundamentales, y al de los dos principios generales acabados de mencionar, que subordinan a él todos los demás casos posibles.

Vemos, por la combinación de estas diferentes consideraciones, cuán simple y cuán perfecto es el sistema entero del cálculo diferencial.

Constituye ciertamente, en sus relaciones lógicas, el espectáculo más interesante que el análisis matemático puede presentar a nuestro entendimiento.

Transformación de funciones derivadas para nuevas variables.

El esbozo general que acabo de trazar sumariamente presentaría, sin embargo, una deficiencia importante si no indicara aquí claramente una teoría final que constituye, por su naturaleza, el complemento indispensable del sistema de diferenciación.

Es aquella que tiene por objeto la transformación constante de las funciones derivadas, como resultado de cambios determinados en las variables independientes, de donde resulta la posibilidad de referir a nuevas variables todas las fórmulas diferenciales generales establecidas primitivamente para otras.

Esta cuestión está hoy resuelta de la manera más completa y más simple, como todas aquellas de las que se compone el cálculo diferencial.

Es fácil concebir la importancia general que debe tener en cualquiera de las aplicaciones del análisis trascendental, cuyos recursos fundamentales puede considerarse que acrecienta, al permitirnos elegir (para formar las ecuaciones diferenciales, en primer lugar, con mayor facilidad) aquel sistema de variables independientes que pueda parecer más ventajoso, aunque no haya de conservarse finalmente.

Es así, por ejemplo, como la mayoría de las cuestiones principales de la geometría se resuelven mucho más fácilmente refiriendo las líneas y superficies a coordenadas rectilíneas, y como podemos, sin embargo, tener ocasión de expresar dichas líneas, etc., analíticamente con la ayuda de coordenadas polares, o de cualquier otra manera.

Podremos entonces comenzar la solución diferencial del problema empleando el sistema rectilíneo, pero solo como un paso intermedio, a partir del cual, mediante la teoría general aquí mencionada, podemos pasar al sistema definitivo, el cual a veces no habría podido ser considerado directamente.

Diferentes órdenes de diferenciación.

En la clasificación lógica del cálculo infinitesimal que acaba de darse, algunos podrían sentirse inclinados a sugerir una omisión grave, ya que no he subdividido cada una de sus cuatro partes esenciales según otra consideración general que a primera vista parece muy importante; a saber, la del orden superior o inferior de diferenciación.

Pero es fácil comprender que esta distinción no tiene ninguna influencia real en el cálculo diferencial, puesto que no da lugar a ninguna dificultad nueva. Si, en efecto, el cálculo diferencial no fuera rigurosamente completo, es decir, si no supiéramos diferenciar a voluntad cualquier función que sea, la diferenciación de segundo orden o de un orden superior de cada función determinada podría engendrar dificultades especiales.

Pero la perfecta universalidad del cálculo diferencial nos da claramente la seguridad de poder diferenciar, en cualquier orden que sea, a todas las funciones conocidas que sean, reduciéndose la cuestión a una diferenciación de primer orden constantemente repetida. Esta distinción, por poco importante que sea para el cálculo diferencial, adquiere, sin embargo, una importancia muy grande en el cálculo integral, a causa de la extrema imperfección de este último.

Aplicaciones analíticas. Por último, aunque este no sea el lugar para considerar las diversas aplicaciones del cálculo diferencial, puede hacerse una excepción con aquellas que consisten en la resolución de cuestiones puramente analíticas, las cuales deben, en verdad, tratarse lógicamente como continuación de un sistema de diferenciación, debido a la evidente homogeneidad de las consideraciones implicadas. Estas cuestiones pueden reducirse a tres esenciales.

Primeramente, el desarrollo en serie de funciones de una o más variables, o, más generalmente, la transformación de funciones, que constituye la aplicación más hermosa y más importante del cálculo diferencial al análisis general, y que comprende, además de la serie fundamental descubierta por Taylor, las notables series descubiertas por Maclaurin, John Bernoulli, Lagrange, etc.:

En segundo lugar, la teoría general de los valores máximos y mínimos para cualesquiera funciones, de una o más variables; uno de los problemas más interesantes que el análisis puede presentar, por muy elemental que hoy pueda haberse vuelto, y a cuya solución completa se aplica naturalmente el cálculo diferencial:

En tercer lugar, la determinación general del verdadero valor de las funciones que se presentan bajo una apariencia indeterminada para ciertas hipótesis hechas sobre los valores de las variables correspondientes; la cual es la menos extensa y la menos importante de las tres.

La primera cuestión es sin duda la principal desde todos los puntos de vista; es también la más susceptible de recibir una nueva extensión en el porvenir, especialmente al concebir, de una manera más amplia de lo que se ha hecho hasta ahora, el empleo del cálculo diferencial en la transformación de funciones, sobre cuyo tema Lagrange ha dejado algunas valiosas sugerencias.

Habiendo considerado así de manera sumaria, aunque quizás demasiado breve, los puntos principales del cálculo diferencial, procedo ahora a una exposición igualmente rápida de un esbozo sistemático del cálculo integral, propiamente dicho, es decir, el tema abstracto de la integración.

# EL CÁLCULO INTEGRAL.

Su división fundamental. La división fundamental del cálculo integral se basa en el mismo principio que la del cálculo diferencial, al distinguir entre la integración de fórmulas diferenciales explícitas y la integración de diferenciales implícitas o de ecuaciones diferenciales.

La separación de estos dos casos es aún mucho más profunda en relación con la integración que con la diferenciación.

En el cálculo diferencial, en efecto, esta distinción descansa, como hemos visto, solo en la extrema imperfección del análisis ordinario. Pero, por otra parte, es fácil ver que, aun cuando todas las ecuaciones pudiesen resolverse algebraicamente, las ecuaciones diferenciales no constituirían menos un caso de integración muy distinto del presentado por las fórmulas diferenciales explícitas; pues, limitándonos, por simplicidad, al primer orden y a una sola función y de una sola variable x, si suponemos que cualquier ecuación diferencial entre x, y y dy/dx se resuelve con respecto a dy/dx, encontrándose entonces que la expresión de la función derivada contiene generalmente a la función primitiva misma, que es el objeto de la investigación, la cuestión de la integración no habrá cambiado en absoluto su naturaleza y la solución no habrá hecho en realidad ningún otro progreso que el de haber reducido la ecuación diferencial propuesta a ser de solo el primer grado relativamente a la función derivada, lo cual en sí mismo tiene poca importancia. La diferencial no estaría entonces determinada de una manera mucho menos implícita que antes, en lo que respecta a la integración, la cual continuaría presentando esencialmente la misma dificultad característica.

La resolución algebraica de ecuaciones no permitía reducir el caso que estamos considerando a la simple integración de diferenciales explícitas, salvo en los casos especiales en que la ecuación diferencial propuesta no contenía la función primitiva en sí misma, lo que nos permitiría consecuentemente, al resolverla, hallar dy/dx en términos de x únicamente, y reducir así la cuestión a la clase de las cuadraturas.

Evidentemente, se encontrarían dificultades aún mayores en ecuaciones diferenciales de órdenes superiores, o que contuvieran simultáneamente diferentes funciones de varias variables independientes.

La integración de las ecuaciones diferenciales es entonces necesariamente más complicada que la de los diferenciales explícitos, mediante cuya elaboración se ha creado el cálculo integral, y de las cuales se ha hecho depender a las otras tanto como ha sido posible.

Todos los diversos métodos analíticos que se han propuesto para integrar ecuaciones diferenciales, ya sea la separación de las variables, el método de los multiplicadores, etc., tienen de hecho por objeto reducir estas integraciones a las de fórmulas diferenciales, la única que, por su naturaleza, puede acometerse directamente.

Desafortunadamente, por imperfecta que sea aún esta base necesaria de todo el cálculo integral, el arte de reducir a ella la integración de las ecuaciones diferenciales está todavía menos avanzado.

Subdivisiones: una variable o varias.

Cada una de estas dos ramas fundamentales del cálculo integral se subdivide a su vez en otras dos (al igual que en el cálculo diferencial, y por motivos precisamente análogos), según consideremos funciones con una sola variable, o funciones con varias variables independientes.

Esta distinción es, al igual que la precedente, todavía más importante para la integración que para la diferenciación. Esto resulta especialmente notable con referencia a las ecuaciones diferenciales.

En efecto, aquellas que dependen de varias variables independientes pueden presentar evidentemente esta característica y una dificultad mucho más grave: que la función deseada sea definida diferencialmente por una simple relación entre sus diferentes derivadas especiales relativas a las distintas variables tomadas por separado.

De aquí resulta la rama más difícil y también la más extensa del cálculo integral, comúnmente llamada cálculo integral de las diferencias parciales, creado por D'Alembert, y en la cual, según la justa apreciación de Lagrange, los geómetras debieron haber visto un cálculo verdaderamente nuevo, cuyo carácter filosófico aún no ha sido determinado con suficiente exactitud.

Una diferencia muy llamativa entre este caso y el de las ecuaciones con una sola variable independiente consiste, como ya se ha observado, en las funciones arbitrarias que toman el lugar de las simples constantes arbitrarias, a fin de dar a las integrales correspondientes toda la generalidad adecuada.

Apenas es necesario decir que esta rama superior del análisis trascendental se encuentra todavía completamente en su infancia, ya que, incluso en el caso más sencillo, el de una ecuación de primer orden entre las derivadas parciales de una sola función con dos variables independientes, aún no somos capaces por completo de reducir la integración a la de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

La integración de funciones de varias variables está mucho más avanzada en el caso (en verdad infinitamente más simple) en el que se trata únicamente de fórmulas diferenciales explícitas. Podemos entonces, de hecho, cuando estas fórmulas satisfacen las condiciones necesarias de integrabilidad, reducir siempre su integración a cuadraturas.

Otras subdivisiones: diferentes Órdenes de Diferenciación.

Una nueva distinción general, aplicable como subdivisión a la integración de diferenciales explícitos o implícitos, con una o varias variables, se extrae del orden superior o inferior de los diferenciales: una distinción que, como hemos señalado más arriba, no da lugar a ninguna cuestión especial en el cálculo diferencial.

Respecto a los diferenciales explícitos, ya sean de una o de varias variables, la necesidad de distinguir sus diferentes órdenes pertenece únicamente a la extrema imperfección del cálculo integral.

En realidad, si siempre pudiéramos integrar cualquier fórmula diferencial de primer orden, la integración de una fórmula de segundo orden, o de cualquier otra, evidentemente no constituiría una nueva cuestión, puesto que, integrándola primero en el primer grado, llegaríamos a la expresión diferencial del orden inmediatamente anterior, a partir de la cual, mediante una serie adecuada de integraciones análogas, tendríamos la certeza de llegar finalmente a la función primitiva, el objeto final de estas operaciones.

Pero el poco conocimiento que poseemos sobre la integración incluso del primer orden ocasiona un estado de cosas muy diferente, de modo que un orden superior de diferenciales produce nuevas dificultades; pues, teniendo fórmulas diferenciales de cualquier orden superior al primero, puede ocurrir que seamos capaces de integrarlas, ya sea una vez, o varias veces de forma sucesiva, y que aun así no podamos remontarnos hasta las funciones primitivas, si estas labores preliminares han producido, para los diferenciales de un orden inferior, expresiones cuyas integrales no se conocen.

Esta circunstancia debe ocurrir tanto más a menudo (siendo el número de integrales conocidas todavía muy pequeño), dado que estas integrales sucesivas son generalmente funciones muy diferentes de las derivadas que las han producido.

Con respecto a los diferenciales implícitos, la distinción de órdenes es aún más importante; pues, además de la razón precedente —cuya influencia es evidentemente análoga en este caso, y es incluso mayor—, es fácil percibir que el orden superior de las ecuaciones diferenciales da lugar necesariamente a cuestiones de una naturaleza nueva.

De hecho, aun si pudiéramos integrar cada ecuación de primer orden relativa a una sola función, eso no sería suficiente para obtener la integral final de una ecuación de cualquier orden que fuere, puesto que toda ecuación diferencial no es reducible a la de un orden inmediatamente inferior.

Así, por ejemplo, si nos fuera dada cualquier relación entre x, y, dx/dy y d²y/dx², para determinar una función y de una variable x, no podríamos deducir de ella de inmediato, tras efectuar una primera integración, la relación diferencial correspondiente entre x, y y dy/dx, a partir de la cual, mediante una segunda integración, podríamos ascender a las ecuaciones primitivas.

Esto no ocurriría necesariamente, al menos sin introducir nuevas funciones auxiliares, a menos que la ecuación propuesta de segundo orden no contuviera la función requerida y, junto con sus derivadas.

Como principio general, las ecuaciones diferenciales deberán considerarse como casos que se presentan cada vez más implícitos, a medida que son de un orden superior, y que no pueden hacerse depender unas de otras sino mediante métodos especiales, cuya investigación constituye en consecuencia una nueva clase de cuestiones, respecto de las cuales apenas sabemos nada todavía, ni siquiera para funciones de una sola variable.

Otra distinción equivalente. Aún más allá, cuando examinamos más profundamente esta distinción de los diferentes órdenes de ecuaciones diferenciales, hallamos que siempre puede hacerse reducir a una distinción general final, relativa a las ecuaciones diferenciales, que resta por señalar.

Las ecuaciones diferenciales con una o más variables independientes pueden contener simplemente una sola función, o (en un caso evidentemente más complicado y más implícito, que corresponde a la diferenciación de funciones implícitas simultáneas) podemos tener que determinar al mismo tiempo varias funciones a partir de las ecuaciones diferenciales en las que se encuentran unidas, junto con sus diferentes derivadas.

Es evidente que tal estado de la cuestión presenta necesariamente una nueva dificultad especial, la de separar las diferentes funciones deseadas, formando para cada una, a partir de las ecuaciones diferenciales propuestas, una ecuación diferencial aislada que no contenga las otras funciones ni sus derivadas.

Este trabajo preliminar, que es análogo a la eliminación del álgebra, es evidentemente indispensable antes de intentar cualquier integración directa, puesto que no podemos emprender en general (excepto mediante artificios especiales que muy raramente son aplicables) determinar directamente varias funciones distintas a la vez.

Ahora es fácil establecer la exacta y necesaria coincidencia de esta nueva distinción con la precedente respecto al orden de las ecuaciones diferenciales.

Sabemos, en efecto, que el método general para aislar funciones en ecuaciones diferenciales simultáneas consiste esencialmente en formar ecuaciones diferenciales, separadamente en relación con cada función, y de un orden igual a la suma de todos los de las diferentes ecuaciones propuestas. Esta transformación siempre puede efectuarse.

Por otra parte, toda ecuación diferencial de cualquier orden en relación con una sola función podría evidentemente reducirse siempre al primer orden, introduciendo un número adecuado de ecuaciones diferenciales auxiliares, que contengan al mismo tiempo las diferentes derivadas anteriores consideradas como nuevas funciones por determinar. Este método ha sido, de hecho, empleado a veces con éxito, aunque no sea el natural.

He aquí, pues, dos órdenes de condiciones necesariamente equivalentes en la teoría general de las ecuaciones diferenciales: la simultaneidad de un número mayor o menor de funciones, y el orden superior o inferior de diferenciación de una sola función.

Aumentando el orden de las ecuaciones diferenciales, podemos aislar todas las funciones;
y, multiplicando artificialmente el número de las funciones, podemos reducir todas las ecuaciones al primer orden.

Existe, en consecuencia, en ambos casos, una sola y idéntica dificultad vista desde dos puntos de vista diferentes. Pero, comoquiera que la concebamos, esta nueva dificultad no deja de ser real y constituye no obstante, por su naturaleza, una marcada separación entre la integración de las ecuaciones de primer orden y la de las ecuaciones de un orden superior.

Prefiero indicar la distinción bajo esta última forma por ser más simple, más general y más lógica.

Cuadraturas.

De las diferentes consideraciones que se han indicado respecto a la dependencia lógica de las diversas partes principales del cálculo integral, vemos que la integración de fórmulas diferenciales explícitas de primer orden y de una sola variable es la base necesaria de todas las demás integraciones, que nunca logramos efectuar sino en la medida en que las reducimos a este caso elemental, evidentemente el único que, por su naturaleza, es susceptible de ser tratado directamente.

Esta simple integración fundamental se designa a menudo con la expresión conveniente de cuadraturas, dado que toda integral de este tipo, Sf(x)dx, puede considerarse, de hecho, como la representación del área de una curva cuya ecuación en coordenadas rectilíneas sería y = f(x). Tal clase de cuestiones corresponde, en el cálculo diferencial, al caso elemental de la diferenciación de funciones explícitas de una sola variable.

Pero la cuestión integral es, por su naturaleza, muy diversamente complicada, y sobre todo mucho más extensa que la cuestión diferencial. Esta última se reduce, en realidad, necesariamente, como hemos visto, a la diferenciación de las diez funciones simples, cuyos elementos se consideran todos en el análisis.

Por otra parte, la integración de las funciones compuestas no se sigue necesariamente de la de las funciones simples, pues cada combinación de estas puede presentar dificultades especiales con respecto al cálculo integral. De ahí resulta la extensión naturalmente indefinida, y la tan variada complicación de la cuestión de las quadratures, sobre la cual, a pesar de todos los esfuerzos de los analistas, aún poseemos tan pocos conocimientos completos.

Al descomponer esta pregunta, como es natural, según las diferentes formas que puede adoptar la función derivada, distinguimos el caso de las funciones algebraicas y el de las funciones trascendentes.

Integración de funciones trascendentes.

La integración verdaderamente analítica de las funciones trascendentes está aún muy poco avanzada, ya sea para las funciones exponenciales, o logarítmicas, o circulares. Pero un número muy pequeño de casos de estas tres especies diferentes ha sido tratado hasta ahora, y aquellos elegidos entre los más simples; y aun así los cálculos necesarios son en la mayoría de los casos extremadamente laboriosos.

Una circunstancia que debemos señalar particularmente en su conexión filosófica es que los diferentes procedimientos de cuadratura no guardan relación con ninguna visión general de la integración, y consisten en simples artificios muy incoherentes entre sí, y muy numerosos, debido a la extensión muy limitada de cada uno.

Conviene, sin embargo, señalar aquí uno de estos artificios que, sin ser propiamente un método de integración, resulta notable por su generalidad; se trata del procedimiento inventado por Juan Bernoulli, conocido bajo el nombre de integración por partes, mediante el cual toda integral puede reducirse a otra cuya obtención resulta a veces más sencilla.

Esta ingeniosa relación merece ser señalada por otra razón: por haber sugerido la primera idea de aquella transformación de integrales aún desconocida, que recientemente ha recibido una mayor extensión y de la cual el señor Fourier ha hecho un uso tan nuevo e importante en las cuestiones analíticas que produce la teoría del calor.

Integración de funciones algebraicas.

En cuanto a la integración de funciones algebraicas, está más avanzada. Sin embargo, apenas sabemos nada en relación con las funciones irracionales, cuyas integrales solo se han obtenido en casos extremadamente limitados, y en particular volviéndolas racionales.

La integración de funciones racionales es hasta ahora la única teoría del cálculo integral que ha permitido ser tratada de una manera verdaderamente completa; desde un punto de vista lógico, constituye, pues, su parte más satisfactoria, pero tal vez también la menos importante.

Es incluso esencial señalar, para tener una idea justa de la extrema imperfección del cálculo integral, que este caso, por limitado que sea, no está enteramente resuelto excepto en lo que concierne propiamente a la integración vista de un modo abstracto; pues, en la ejecución, la teoría ve su progreso la mayoría de las veces totalmente detenido, independientemente de la complicación de los cálculos, por la imperfección del análisis ordinario, dado que hace que la integración dependa finalmente de la resolución algebraica de las ecuaciones, lo cual limita en gran medida su uso.

Para comprender de manera general el espíritu de los diferentes procedimientos que se emplean en las cuadraturas, debemos observar que, por su naturaleza, solo pueden fundarse primitivamente en la diferenciación de las diez funciones simples.

Los resultados de esto, considerados inversamente, establecen tantos teoremas directos del cálculo integral, los únicos que pueden conocerse directamente. Todo el arte de la integración consiste después, como se ha dicho al principio de este capítulo, en reducir todas las demás cuadraturas, en la medida de lo posible, a este pequeño número de otras elementales, lo cual, desgraciadamente, somos incapaces de lograr en la mayoría de los casos.

Soluciones singulares. En esta enumeración sistemática de las diversas partes esenciales del cálculo integral, consideradas en sus relaciones lógicas, he omitido deliberadamente (para no romper la cadena de secuencia) la consideración de una teoría muy importante, que forma implícitamente una porción de la teoría general de la integración de ecuaciones diferenciales, pero que debo señalar aquí por separado, por encontrarse, por decirlo así, fuera del cálculo integral, y ser no obstante del mayor interés, tanto por su perfección lógica como por la extensión de sus aplicaciones.

Me refiero a las llamadas Soluciones Singulares de las ecuaciones diferenciales, a veces llamadas, pero de manera impropia, particulares, las cuales han sido objeto de investigaciones muy notables por parte de Euler y Laplace, y de las cuales Lagrange en especial ha presentado una teoría general tan bella y simple. Clairaut, quien tuvo ocasión por primera vez de notar su existencia, vio en ellas una paradoja del cálculo integral, dado que estas soluciones tienen la peculiaridad de satisfacer las ecuaciones diferenciales sin estar comprendidas en las integrales generales correspondientes.

Lagrange ha explicado desde entonces esta paradoja de la manera más ingeniosa y satisfactoria, mostrando cómo tales soluciones se derivan siempre de la integral general mediante la variación de las constantes arbitrarias. Fue también el primero en apreciar debidamente la importancia de esta teoría, y con sobrada razón le dedicó un desarrollo tan completo en su "Cálculo de las funciones".

Desde un punto de vista lógico, esta teoría merece toda nuestra atención por el carácter de perfecta generalidad que admite, ya que Lagrange ha proporcionado procedimientos invariables y muy sencillos para hallar la solución singular de cualquier ecuación diferencial que sea susceptible de ella; y, lo que no es menos notable, estos procedimientos no requieren ninguna integración, consistiendo únicamente en diferenciaciones, y por lo tanto son siempre aplicables.

La diferenciación se ha convertido así, mediante un feliz artificio, en un medio para compensar, en ciertas circunstancias, la imperfección del cálculo integral.

En verdad, ciertos problemas requieren especialmente, por su naturaleza, el conocimiento de estas soluciones singulares; tales son, por ejemplo, en geometría, todas las cuestiones en las que se debe determinar una curva a partir de cualquier propiedad de su tangente o de su círculo osculador.

En todos los casos de esta especie, después de haber expresado esta propiedad mediante una ecuación diferencial, será, en sus relaciones analíticas, la ecuación singular la que constituirá el objeto más importante de la investigación, ya que ella sola representará la curva requerida; la integral general, que desde entonces resulta innecesario conocer, designando únicamente el sistema de las tangentes, o de los círculos osculadores de esta curva.

Podemos comprender fácilmente a partir de esto toda la importancia de esta teoría, que me parece que aún no es suficientemente apreciada por la mayoría de los geómetras.

Integrales definidas.

Finalmente, para completar nuestra revisión de la vasta colección de investigaciones analíticas de que se compone el cálculo integral, propiamente dicho, resta mencionar una teoría, muy importante en todas las aplicaciones del análisis trascendental, que he tenido que dejar fuera del sistema, por no estar realmente destinada a la integración verdadera y proponiéndose, por el contrario, suplir el conocimiento de las integrales verdaderamente analíticas, que son la mayoría de las veces desconocidas.

Me refiero a la determinación de integrales definidas.

La expresión, siempre posible, de las integrales en series infinitas, puede considerarse al principio como un medio general y afortunado de compensar la extrema imperfección del cálculo integral.

Pero el empleo de tales series, debido a su complicación y a la dificultad de descubrir la ley de sus términos, es por lo común de una utilidad moderada desde el punto de vista algebraico, aunque a veces se hayan deducido de ahí relaciones muy esenciales.

Es particularmente desde el punto de vista aritmético que este procedimiento adquiere una gran importancia, como medio para calcular las llamadas integrales definidas, es decir, los valores de las funciones requeridas para ciertos valores determinados de las variables correspondientes.

Una investigación de esta naturaleza corresponde exactamente, en análisis trascendental, a la resolución numérica de las ecuaciones en el análisis ordinario. Al verse generalmente incapaces de obtener la integral verdadera —llamada por oposición la integral general o indefinida; es decir, la función que, diferenciada, ha producido la fórmula diferencial propuesta—, los analistas se han visto obligados a emplearse en determinar al menos, sin conocer esta función, los valores numéricos particulares que esta tomaría al asignar ciertos valores designados a las variables.

Esto equivale evidentemente a resolver la cuestión aritmética sin haber resuelto previamente la algebraica correspondiente, que la mayoría de las veces es la más importante.

Un tal análisis es, pues, por su naturaleza, tan imperfecto como hemos visto que es la resolución numérica de las ecuaciones. Presenta, al igual que esta última, una viciosa confusión de consideraciones aritméticas y algebraicas, de donde resultan inconvenientes análogos, tanto desde el punto de vista puramente lógico como en las aplicaciones.

No necesitamos repetir aquí las consideraciones sugeridas en nuestro tercer capítulo. Pero se comprenderá que, siendo casi siempre incapaces de obtener las integrales verdaderas, es de la mayor importancia haber podido obtener esta solución, por incompleta y necesariamente insuficiente que sea.

Ahora bien, esto se ha conseguido afortunadamente en la actualidad para todos los casos, habiéndose reducido la determinación del valor de las integrales definidas a métodos enteramente generales, que no dejan nada que desear, en un gran número de casos, sino una menor complicación en los cálculos, un objetivo hacia el cual se dirigen actualmente todas las transformaciones especiales de los analistas.

Considerando ahora esta especie de aritmética trascendental como perfecta, la dificultad en las aplicaciones se reduce esencialmente a hacer que la investigación propuesta dependa, en última instancia, de una simple determinación de integrales definidas, lo cual evidentemente no siempre puede ser posible, cualquiera que sea la habilidad analítica que se emplee para efectuar dicha transformación.

Perspectivas del cálculo integral.

Por las consideraciones indicadas en este capítulo, vemos que, mientras que el cálculo diferencial constituye por su naturaleza un sistema limitado y perfecto, al que no queda nada esencial que añadir, el cálculo integral, o el sistema simple de integración, presenta necesariamente un campo inagotable para la actividad de la mente humana, independientemente de las aplicaciones indefinidas de las que el análisis trascendental es evidentemente susceptible.

El argumento general mediante el cual me he esforzado, en el segundo capítulo, en hacer evidente la imposibilidad de descubrir jamás la solución algebraica de ecuaciones de cualquier grado y forma que sean, tiene sin duda infinitamente más fuerza respecto a la búsqueda de un único método de integración, aplicable invariablemente a todos los casos.

«Es», dice Lagrange, «uno de aquellos problemas cuya solución general no podemos esperar».

Cuanto más meditemos sobre este tema, más nos convenceremos de que semejante investigación es totalmente quimérica, por estar muy por encima del débil alcance de nuestra inteligencia; aunque las labores de los geómetras deban sin duda aumentar en el futuro la cantidad de nuestros conocimientos respecto a la integración, creando así métodos de mayor generalidad.

El análisis trascendental está todavía demasiado cerca de su origen —hay, sobre todo, muy poco tiempo desde que ha sido concebido de una manera verdaderamente racional— para que podamos tener ahora una idea correcta de lo que llegará a ser en el futuro.

Pero, cualesquiera que deban ser nuestras esperanzas legítimas, no olvidemos considerar, ante todo, los límites que nos impone nuestra constitución intelectual y que, aunque no sean susceptibles de una determinación precisa, no tienen por ello menos una realidad incontestable.

Me inclino a pensar que, cuando los geómetras hayan agotado las aplicaciones más importantes de nuestro análisis trascendente actual, en lugar de esforzarse por imprimirle, tal como se concibe ahora, una perfección quimérica, crearán más bien nuevos recursos cambiando el modo de derivación de las cantidades auxiliares introducidas con el fin de facilitar el establecimiento de ecuaciones —cuya formación podría seguir una infinidad de otras leyes además de la relación muy sencilla que se ha elegido, de acuerdo con la concepción sugerida en el primer capítulo—.

Los recursos de esta naturaleza me parecen susceptibles de una fecundidad mucho mayor que aquellos que consistirían en llevar meramente más lejos nuestro cálculo actual de funciones indirectas. Es una sugerencia que someto a los geómetras que han volcado sus pensamientos hacia la filosofía general del análisis.

Finalmente, aunque, en la exposición sumaria que era el objeto de este capítulo, he tenido que mostrar la condición de extrema imperfección que aún pertenece al cálculo integral, el estudiante se haría una falsa idea de los recursos generales del análisis trascendental si le diera a esa consideración una importancia demasiado grande.

Ocurre con él, en efecto, como con el análisis ordinario, en el que se ha empleado una cantidad muy pequeña de conocimientos fundamentales respecto a la resolución de ecuaciones con un grado inmenso de utilidad.

Por poco avanzados que los geómetras estén todavía en la ciencia de las integraciones, han obtenido sin embargo, a partir de sus escasas concepciones abstractas, la solución de una multitud de cuestiones de primera importancia en geometría, en mecánica, en termología, etc.

La explicación filosófica de este doble hecho general resulta de la importancia y el alcance necesariamente preponderantes de las ramas abstractas del conocimiento, la menor de las cuales se encuentra naturalmente en correspondencia con una multitud de investigaciones concretas, no teniendo el hombre otro recurso para la extensión sucesiva de sus medios intelectuales que en la consideración de ideas cada vez más abstractas, y siempre positivas.

Para terminar la exposición completa del carácter filosófico del análisis trascendental, resta por considerar una última concepción, mediante la cual el inmortal Lagrange hizo que este análisis fuera aún más apto para facilitar el establecimiento de ecuaciones en los problemas más difíciles, al considerar una clase de ecuaciones aún más indirectas que las ecuaciones diferenciales ordinarias. Se trata del Cálculo, o más bien, del Método de las Variaciones; cuya apreciación general será nuestro próximo tema.