CONSIDERACIONES GENERALES.

Aunque la ciencia matemática es la más antigua y la más perfecta de todas, sin embargo, la idea general que debemos formarnos de ella aún no se ha determinado claramente.

Su definición y sus principales divisiones han permanecido hasta ahora vagas e inciertas. En efecto, el nombre en plural —«las matemáticas»— con el que comúnmente la designamos, bastaría por sí solo para indicar la falta de unidad en la concepción común de la misma.

En verdad, no fue hasta principios del siglo pasado cuando las diferentes concepciones fundamentales que constituyen esta gran ciencia se desarrollaron lo suficiente como para permitir que el verdadero espíritu del conjunto se manifestara con claridad.

Desde esa época, la atención de los geómetras ha estado demasiado exclusivamente absorbida por el perfeccionamiento especial de las diferentes ramas, y por la aplicación que han hecho de ellas a las leyes más importantes del universo, como para permitirles prestar la debida atención al sistema general de la ciencia.

Pero en el tiempo presente los progresos de los departamentos especiales ya no son tan rápidos como para prohibir la contemplación del conjunto.

La ciencia de las matemáticas está hoy suficientemente desarrollada, tanto en sí misma como en cuanto a su aplicación más esencial, como para haber llegado a ese estado de coherencia en el que debemos esforzarnos por ordenar sus diferentes partes en un solo sistema, a fin de preparar nuevos avances.

Podemos observar incluso que las últimas mejoras importantes de la ciencia han preparado directamente el camino para esta importante operación filosófica, al imprimir en sus partes principales un carácter de unidad que no existía anteriormente.

Para formarnos una idea justa del objeto de la ciencia matemática, podemos partir de la definición indefinida y carente de sentido que se suele dar de ella, al llamarla "La ciencia de las magnitudes", o, lo que es más preciso, "La ciencia que tiene por objeto la medida de las magnitudes".

Veamos cómo podemos elevar este esbozo impreciso (singularmente carente de precisión y profundidad, aunque, en el fondo, justo) a una definición verdadera, digna de la importancia, la extensión y la dificultad de la ciencia.

# EL OBJETO DE LAS MATEMÁTICAS.

Measuring Magnitudes. The question of measuring a magnitude in itself presents to the mind no other idea than that of the simple direct comparison of this magnitude with another similar magnitude, supposed to be known, which it takes for the unit of comparison among all others of the same kind.

According to this definition, then, the science of mathematics—vast and profound as it is with reason reputed to be—instead of being an immense concatenation of prolonged mental labours, which offer inexhaustible occupation to our intellectual activity, would seem to consist of a simple series of mechanical processes for obtaining directly the ratios of the quantities to be measured to those by which we wish to measure them, by the aid of operations of similar character to the superposition of lines, as practiced by the carpenter with his rule.

El error de esta definición consiste en presentar como directo un objeto que casi siempre es, por el contrario, muy indirecto. La medición directa de una magnitud, por superposición o cualquier proceso similar, es con suma frecuencia una operación del todo imposible de realizar para nosotros; de modo que si no tuviéramos otros medios para determinar las magnitudes que las comparaciones directas, nos veríamos obligados a renunciar al conocimiento de la mayoría de aquellas que nos interesan.

Dificultades.

La fuerza de esta observación general se comprenderá si nos limitamos a considerar especialmente el caso particular que evidentemente ofrece más facilidad: el de la medida de una línea recta por medio de otra. Esta comparación, que es sin duda la más sencilla que podemos concebir, apenas puede efectuarse jamás, sin embargo, de manera directa. Al reflexionar sobre el conjunto de las condiciones necesarias para hacer que una línea sea susceptible de una medición directa, vemos que, la mayoría de las veces, no pueden cumplirse todas al mismo tiempo.

La primera y más palpable de estas condiciones —la de poder recorrer la línea de un extremo a otro para aplicar la unidad de medida a toda su longitud— excluye de entrada y por mucho la mayor parte de las distancias que más nos interesan; en primer lugar, todas las distancias entre los cuerpos celestes, o de cualquiera de ellos a la Tierra; y luego, también, incluso la mayor parte de las distancias terrestres, que con tanta frecuencia son inaccesibles.

Pero aun si se descubre que esta primera condición se cumple, es necesario además que la longitud no sea ni demasiado grande ni demasiado pequeña, lo cual haría igualmente imposible una medición directa. La línea debe estar también situada de manera adecuada; pues supongamos que se trata de una que podríamos medir con la mayor facilidad si fuese horizontal, pero imaginemos que se la coloca en posición vertical, y entonces resulta imposible medirla.

Las dificultades que hemos indicado en lo referente a la medida de las líneas existen en un grado muchísimo mayor en la medida de las superficies, volúmenes, velocidades, tiempos, fuerzas, etc.

Es este hecho el que hace necesaria la formación de la ciencia matemática, como vamos a ver; pues la mente humana se ha visto obligada a renunciar, en casi todos los casos, a la medida directa de las magnitudes, y a buscar determinarlas indirectamente, y es así como ha sido conducida a la creación de las matemáticas.

Método general. El método general que se emplea constantemente, y que es evidentemente el único concebible para determinar magnitudes que no admiten una medida directa, consiste en relacionarlas con otras que son susceptibles de ser determinadas inmediatamente, y por cuyo medio logramos descubrir las primeras a través de las relaciones que subsisten entre ambas.

Tal es el objeto preciso de la ciencia matemática considerada en su conjunto.

Para formarse una idea suficientemente amplia de ella, debemos considerar que esta determinación indirecta de las magnitudes puede serlo en grados muy diferentes. En un gran número de casos, que a menudo son los más importantes, las magnitudes por medio de las cuales se han de determinar las magnitudes principales buscadas no pueden medirse directamente por sí mismas, y deben por tanto, a su vez, convertirse en objeto de una cuestión similar, y así sucesivamente; de modo que en muchas ocasiones el espíritu humano se ve obligado a establecer una larga serie de intermediarios entre el sistema de magnitudes desconocidas que constituyen el objeto final de sus investigaciones y el sistema de magnitudes susceptibles de medida directa, por cuyo medio determinamos finalmente las primeras, con las cuales al principio parecen no tener conexión.

Ilustraciones. Algunos ejemplos clarificarán cualquier cosa que pueda parecer demasiado abstracta en las generalidades precedentes.

1. Falling Bodies.

Consideremos, en primer lugar, un fenómeno natural, en verdad muy sencillo, pero que, sin embargo, puede dar lugar a una cuestión matemática, realmente existente y susceptible de aplicaciones concretas: el fenómeno de la caída vertical de los cuerpos pesados.

El espíritu menos acostumbrado a las concepciones matemáticas, al observar este fenómeno, percibe de inmediato que las dos cantidades que este presenta —a saber, la altura desde la cual un cuerpo ha caído y el tiempo de su caída— están necesariamente conectadas entre sí, ya que varían juntas y simultáneamente permanecen fijas; o, en el lenguaje de los geómetras, que son "funciones" una de otra.

El fenómeno, considerado desde este punto de vista, da lugar entonces a una cuestión matemática, que consiste en sustituir la medición directa de una de estas dos magnitudes, cuando esta es imposible, por la medición de la otra. Es así, por ejemplo, como podemos determinar indirectamente la profundidad de un precipicio con solo medir el tiempo que tardaría un cuerpo pesado en caer hasta su fondo, y mediante procedimientos adecuados esta profundidad inaccesible se conocerá con tanta precisión como si se tratara de una línea horizontal situada en las circunstancias más favorables para una medición fácil y exacta.

En otras ocasiones es la altura desde la cual ha caído un cuerpo lo que resultará fácil de averiguar, mientras que el tiempo de la caída no podría observarse directamente; entonces el mismo fenómeno daría lugar a la cuestión inversa, a saber, determinar el tiempo a partir de la altura; como, por ejemplo, si deseáramos averiguar cuál sería la duración de la caída vertical de un cuerpo que cayera desde la luna hasta la tierra.

En este ejemplo la cuestión matemática es muy sencilla, al menos cuando no prestamos atención a la variación en la intensidad de la gravedad, o a la resistencia del fluido por el que el cuerpo pasa en su caída. Pero, para ampliar la cuestión, no tenemos más que considerar el mismo fenómeno en su mayor generalidad, suponiendo la caída oblicua, y teniendo en cuenta todas las circunstancias principales.

Entonces, en lugar de ofrecer simplemente dos cantidades variables conectadas entre sí por una relación fácil de seguir, el fenómeno presentará un número mucho mayor; a saber, el espacio recorrido, ya sea en dirección vertical u horizontal; el tiempo empleado en recorrerlo; la velocidad del cuerpo en cada punto de su trayectoria; incluso la intensidad y la dirección de su impulso primitivo, que también pueden considerarse como variables; y por último, en ciertos casos (para tenerlo todo en cuenta), la resistencia del medio y la intensidad de la gravedad. Todas estas diferentes cantidades estarán conectadas entre sí, de tal manera que cada una a su vez podrá ser determinada indirectamente por medio de las demás; y esto presentará tantas cuestiones matemáticas distintas como magnitudes coexistan en el fenómeno bajo consideración.

Un cambio tan sumamente leve en las condiciones físicas de un problema puede hacer (como en el ejemplo anterior) que una investigación matemática, al principio muy elemental, sea colocada de golpe en el rango de las cuestiones más difíciles, cuya solución completa y rigurosa supera todavía el máximo poder del intelecto humano.

2. Distancias inaccesibles.

Tomemos un segundo ejemplo de los fenómenos geométricos. Supongamos que se propone determinar una distancia que no es susceptible de medición directa; esta será concebida generalmente como parte de una figura, o cierto sistema de líneas, elegidas de tal manera que todas sus demás partes puedan ser observadas directamente; así, en el caso que es más simple, y al cual todos los demás pueden reducirse en última instancia, la distancia propuesta se considerará perteneciente a un triángulo en el que podemos determinar directamente otro lado y dos ángulos, o bien dos lados y un ángulo. A partir de entonces, el conocimiento de la distancia deseada, en lugar de obtenerse directamente, será el resultado de un cálculo matemático que consistirá en deducirla de los elementos observados mediante la relación que la vincula con ellos.

Este cálculo llegará a ser sucesivamente cada vez más complicado, si las partes que hemos supuesto conocidas no pueden ser determinadas por sí mismas (como ocurre con mayor frecuencia) sino de un modo indirecto, con la ayuda de nuevos sistemas auxiliares, cuyo número, en las grandes operaciones de este género, llega a ser finalmente muy considerable.

Una vez determinada la distancia, el conocimiento de esta será con frecuencia suficiente para obtener nuevas magnitudes, que se convertirán en el objeto de nuevas cuestiones matemáticas.

Así, cuando sabemos a qué distancia se encuentra situado un objeto, la simple observación de su diámetro aparente nos permitirá evidentemente determinar de manera indirecta sus dimensiones reales, por inaccesible que pueda ser, y, mediante una serie de investigaciones análogas, su superficie, su volumen, incluso su peso y una serie de otras propiedades cuyo conocimiento nos parecía vedado.

3. Hechos astronómicos.

Es mediante tales cálculos que el hombre ha podido averiguar, no solo las distancias de los planetas a la tierra y, por consiguiente, entre sí, sino su magnitud real, su verdadera figura, incluso las irregularidades de su superficie; y, lo que parecía aún más completamente oculto para nosotros, sus respectivas masas, sus densidades medias, las principales circunstancias de la caída de los cuerpos pesados sobre la superficie de cada uno de ellos, etc.

Por el poder de las teorías matemáticas, todos estos diferentes resultados, y muchos otros relativos a las diversas clases de fenómenos matemáticos, no han requerido más mediciones directas que las de un número muy pequeño de líneas rectas, convenientemente elegidas, y de un número mayor de ángulos.

Podemos decir incluso, con absoluta verdad, para indicar en una sola palabra el alcance general de la ciencia, que si no temiéramos multiplicar innecesariamente los cálculos, y si no tuviéramos, en consecuencia, que reservarlos para la determinación de las cantidades que no pudieron medirse directamente, la determinación de todas las magnitudes susceptibles de estimación precisa que los diversos órdenes de fenómenos pueden ofrecernos, podría reducirse finalmente a la medición directa de una sola línea recta y de un número adecuado de ángulos.

# VERDADERA DEFINICIÓN DE LAS MATEMÁTICAS.

Ahora podemos definir con precisión la ciencia matemática, asignándole como objeto la medida indirecta de las magnitudes, y diciendo que se propone constantemente determinar ciertas magnitudes a partir de otras por medio de las relaciones precisas que existen entre ellas.

Esta enunciación, en lugar de dar la idea de un mero arte, como lo hacen todas las definiciones ordinarias, caracteriza inmediatamente a una verdadera ciencia, y muestra que está compuesta desde un principio por una inmensa cadena de operaciones intelectuales, que evidentemente pueden volverse muy complicadas a causa de la serie de eslabones intermedios que será necesario establecer entre las cantidades desconocidas y aquellas que admiten una medida directa; del número de variables coexistentes en la cuestión propuesta; y de la naturaleza de las relaciones entre todas estas diferentes magnitudes aportadas por los fenómenos bajo consideración.

Según semejante definición, el espíritu de las matemáticas consiste en considerar siempre todas las cantidades que cualquier fenómeno pueda presentar como conectadas e intrincadas entre sí, con vistas a deducirlas unas de otras. Ahora bien, es evidente que no hay fenómeno alguno que no pueda dar lugar a consideraciones de este género; de donde resulta la extensión naturalmente indefinida y aun la rigurosa universalidad lógica de la ciencia matemática. Trataremos más adelante de circunscribir con la mayor exactitud posible su extensión real.

Las explicaciones precedentes establecen claramente la propiedad del nombre empleado para designar la ciencia que estamos considerando. Esta denominación, que ha adquirido hoy un significado tan preciso, significa por sí misma simplemente ciencia en general. Tal designación, rigurosamente exacta para los griegos, que no tenían otra ciencia real, solo pudo ser conservada por los modernos para indicar las matemáticas como la ciencia por excelencia, por encima de todas las demás: la ciencia de las ciencias.

En verdad, toda verdadera ciencia tiene por objeto la determinación de ciertos fenómenos por medio de otros, de acuerdo con las relaciones que existen entre ellos.

Toda ciencia consiste en la coordinación de hechos; si las diferentes observaciones fueran completamente aisladas, no habría ciencia. Podemos decir incluso, en términos generales, que la ciencia está esencialmente destinada a dispensarnos, en la medida en que los diferentes fenómenos lo permitan, de toda observación directa, permitiéndonos deducir a partir del menor número posible de datos inmediatos el mayor número posible de resultados.

¿No es este el uso real, ya sea en la especulación o en la acción, de las leyes que logramos descubrir entre los fenómenos naturales? La ciencia matemática, desde este punto de vista, no hace sino llevar al grado más alto posible el mismo género de investigaciones que son perseguidas, en grados más o menos inferiores, por toda ciencia real en su esfera respectiva.

SUS DOS DIVISIONES FUNDAMENTALES.

Hemos considerado hasta ahora la ciencia matemática únicamente como un todo, sin prestar atención a sus divisiones.

Debemos ahora, para completar esta visión general y formarnos una idea justa del carácter filosófico de la ciencia, considerar su división fundamental. Las divisiones secundarias serán examinadas en los capítulos siguientes.

Esta división principal, que estamos a punto de investigar, solo puede ser verdaderamente racional y derivada de la naturaleza real del sujeto en la medida en que se nos presente espontáneamente al hacer el análisis exacto de una cuestión matemática completa.

Por lo tanto, habiendo determinado anteriormente cuál es el objeto general de las labores matemáticas, caracterizaremos ahora con precisión los principales órdenes diferentes de investigaciones de los que se componen constantemente.

Sus diferentes objetos.

La solución completa de toda cuestión matemática se divide necesariamente en dos partes, de naturalezas esencialmente distintas y con relaciones invariablemente determinadas. Hemos visto que toda investigación matemática tiene por objeto determinar magnitudes desconocidas, según las relaciones entre ellas y las magnitudes conocidas.

Ahora bien, para este objeto es evidentemente necesario, en primer lugar, determinar con precisión las relaciones que existen entre las cantidades que estamos considerando. Esta primera rama de las investigaciones constituye lo que llamo la parte concreta de la solución.

Cuando esta ha concluido, la cuestión cambia; ahora se reduce a una pura cuestión de números, que consiste simplemente en determinar números desconocidos, cuando sabemos qué relaciones precisas los conectan con números conocidos. Esta segunda rama de las investigaciones es lo que llamo la parte abstracta de la solución.

De aquí se sigue la división fundamental de la ciencia matemática general en dos grandes ciencias: las MATEMÁTICAS ABSTRACTAS y las MATEMÁTICAS CONCRETAS.

Este análisis puede observarse en toda cuestión matemática completa, por simple o complicada que sea. Un solo ejemplo bastará para hacerlo inteligible.

Retomando el fenómeno de la caída vertical de un cuerpo pesado, y considerando el caso más simple, vemos que para lograr determinar, por medio de la una y de la otra, la altura de donde el cuerpo ha caído y la duración de su caída, debemos comenzar por descubrir la relación exacta de estas dos cantidades, o, para usar el lenguaje de los geómetras, la ecuación que existe entre ellas.

Antes de que esta primera investigación esté concluida, todo intento de determinar numéricamente el valor de una de estas dos magnitudes a partir de la otra sería evidentemente prematuro, pues carecería de base. No basta con saber vagamente que dependen la una de la otra —lo cual cualquiera percibe al punto—, sino que es necesario determinar en qué consiste esta dependencia. Esta indagación puede ser muy difícil y, de hecho, en el presente caso, constituye incomparablemente la mayor parte del problema.

El verdadero espíritu científico es tan moderno que nadie, tal vez, antes de Galileo, había observado jamás el aumento de velocidad que un cuerpo experimenta en su caída: una circunstancia que excluye la hipótesis, hacia la cual nuestra mente (siempre inclinada involuntariamente a suponer en cada fenómeno las funciones más simples, sin otro motivo que su mayor facilidad para concebirlas) se habría visto naturalmente conducida, de que la altura era proporcional al tiempo.

En una palabra, esta primera indagación culminó en el descubrimiento de la ley de Galileo.

Cuando esta parte concreta queda terminada, la investigación pasa a ser de otra índole por completo.

Sabiendo que los espacios recorridos por el cuerpo en cada segundo sucesivo de su caída aumentan según la serie de los números impares, tenemos entonces un problema puramente numérico y abstracto: deducir la altura a partir del tiempo, o el tiempo a partir de la altura; y esto consiste en hallar que la primera de estas dos cantidades, según la ley que se ha establecido, es un múltiplo conocido de la segunda potencia de la otra; a partir de lo cual, finalmente, debemos calcular el valor de la una cuando se da el de la otra.

En este ejemplo, la cuestión concreta es más difícil que la abstracta. Lo contrario ocurriría si consideráramos el mismo fenómeno en su mayor generalidad, como he hecho más arriba para otro objeto.

Según las circunstancias, a veces la primera y a veces la segunda de estas dos partes constituirá la principal dificultad de toda la cuestión; pues la ley matemática del fenómeno puede ser muy simple, pero muy difícil de obtener, o puede ser fácil de descubrir, pero muy complicada; de modo que las dos grandes secciones de la ciencia matemática, si las comparamos en su conjunto, deben considerarse exactamente equivalentes en extensión y en dificultad, así como en importancia, como mostraremos más adelante, al considerar cada una de ellas por separado.

Sus naturalezas diferentes. Estas dos partes, esencialmente distintas en su objeto, como acabamos de ver, no lo son menos con respecto a la naturaleza de las indagaciones de las que se componen.

La primera debe llamarse concreta, puesto que depende evidentemente del carácter de los fenómenos considerados, y debe variar necesariamente cuando examinamos nuevos fenómenos; mientras que la segunda es completamente independiente de la naturaleza de los objetos examinados y se ocupa tan solo de las relaciones numéricas que presentan, razón por la cual debe llamarse abstracta.

Unas mismas relaciones pueden existir en un gran número de fenómenos diferentes que, a pesar de su extrema diversidad, serán considerados por el geómetra como ofrecimiento de una cuestión analítica susceptible, cuando se estudia por sí misma, de ser resuelta de una vez por todas.

Así, por ejemplo, la misma ley que existe entre el espacio y el tiempo de la caída vertical de un cuerpo en el vacío se reencuentra en muchos otros fenómenos que no guardan analogía con el primero ni entre sí; pues expresa la relación entre la superficie de un cuerpo esférico y la longitud de su diámetro; determina, del mismo modo, la disminución de la intensidad de la luz o del calor en relación con la distancia de los objetos iluminados o calentados, etc.

La parte abstracta, común a estas diferentes cuestiones matemáticas, habiendo sido tratada con referencia a una de ellas, lo habrá sido de este modo para todas; mientras que la parte concreta tendrá que ser retomada necesariamente para cada cuestión por separado, sin que la solución de ninguna de ellas pueda proporcionar una ayuda directa, a este respecto, para la solución de las demás.

La parte abstracta de las matemáticas es, por tanto, general en su naturaleza; la parte concreta, especial.

Para presentar esta comparación bajo un nuevo punto de vista, podemos decir que las matemáticas concretas tienen un carácter filosófico, que es esencialmente experimental, físico, fenomenal; mientras que el de las matemáticas abstractas es puramente lógico, racional. La parte concreta de toda cuestión matemática se funda necesariamente en la consideración del mundo exterior, y nunca podría resolverse mediante una simple serie de combinaciones intelectuales.

La parte abstracta, por el contrario, cuando se ha separado por completo, solo puede consistir en una serie de deducciones lógicas, más o menos prolongadas; pues si una vez hemos hallado las ecuaciones de un fenómeno, la determinación de las cantidades en él consideradas, mediante unas y otras, es un asunto exclusivo del razonamiento, cualesquiera que sean las dificultades.

Corresponde únicamente al entendimiento deducir de estas ecuaciones resultados que están evidentemente contenidos en ellas, aunque tal vez de un modo muy enmarañado, sin que haya ocasión de consultar de nuevo al mundo exterior; cuya consideración, habiéndose vuelto desde entonces ajena al tema, debe incluso ser cuidadosamente descartada para reducir la labor a su verdadera y peculiar dificultad.

La parte abstracta de las matemáticas es, por tanto, puramente instrumental, y no es más que una inmensa y admirable extensión de la lógica natural a cierta clase de deducciones.

Por otra parte, la geometría y la mecánica, que, como veremos en seguida, constituyen la parte concreta, deben ser consideradas como verdaderas ciencias naturales, fundadas en la observación, como todas las demás, aunque la extrema simplicidad de sus fenómenos permite un grado infinitamente mayor de sistematización, lo que a veces ha hecho que se comprenda mal el carácter experimental de sus primeros principios.

Vemos, por esta breve comparación general, cuán natural y profunda es nuestra división fundamental de la ciencia matemática.

Ahora tenemos que delimitar, tan exactamente como podamos en este primer esbozo, cada una de estas dos grandes secciones.

# CONCRETE MATHEMATICS.

Concrete Mathematics teniendo por objeto el descubrimiento de las ecuaciones de los fenómenos, parecería a primera vista que debe componerse de tantas ciencias distintas como categorías verdaderamente distintas hallamos entre los fenómenos naturales.

Pero estamos aún muy lejos de haber descubierto leyes matemáticas en toda clase de fenómenos; veremos incluso, próximamente, que la mayor parte se ocultará muy probablemente siempre a nuestras investigaciones.

En realidad, en el estado actual de la mente humana, no existen directamente más que dos grandes clases generales de fenómenos cuyas ecuaciones conocemos constantemente; estos son, en primer lugar, los fenómenos geométricos y, en segundo lugar, los mecánicos.

Así pues, la parte concreta de las matemáticas se compone de la Geometría y de la Mecánica racional.

Esto es suficiente, es verdad, para conferirle un carácter completo de universalidad lógica, cuando consideramos todos los fenómenos desde el punto de vista más elevado de la filosofía natural.

En realidad, si todas las partes del universo fuesen concebidas como inamovibles, tendríamos evidentemente solo fenómenos geométricos que observar, puesto que todo se reduciría a relaciones de forma, magnitud y posición; luego, teniendo en cuenta los movimientos que tienen lugar en él, tendríamos que considerar también los fenómenos mecánicos.

De ahí que el universo, desde el punto de vista estático, presente solo fenómenos geométricos; y, considerado dinámicamente, solo fenómenos mecánicos.

Así, la geometría y la mecánica constituyen las dos ciencias naturales fundamentales, en este sentido, que todos los efectos naturales pueden ser concebidos como simples resultados necesarios, ya sea de las leyes de la extensión o de las leyes del movimiento.

Pero aunque esta concepción sea siempre lógicamente posible, la dificultad estriba en precisarla con la exactitud necesaria y en seguirla rigurosamente en cada uno de los casos generales que nos ofrece el estudio de la naturaleza; es decir, en reducir efectivamente cada cuestión principal de la filosofía natural, para un cierto orden determinado de fenómenos, a la cuestión de geometría o de mecánica a la que racionalmente podamos suponer que debe ser reconducida. Esta transformación, que exige que se hayan realizado previamente grandes progresos en el estudio de cada clase de fenómenos, solo se ha llevado a cabo realmente hasta ahora para los de la astronomía y para una parte de los considerados por la física terrestre propiamente dicha. Así es como la astronomía, la acústica, la óptica, etc., han llegado finalmente a ser aplicaciones de la ciencia matemática a ciertos órdenes de observaciones.¹

Pero como estas aplicaciones no están rigurosamente circunscritas por su naturaleza, confundirlas con la ciencia equivaldría a asignarle un dominio vago e indefinido; y esto es lo que se hace en la división habitual de las matemáticas en «puras» y «aplicadas», tan defectuosa en tantos otros aspectos.

# MATEMÁTICAS ABSTRACTAS.

La naturaleza de las matemáticas abstractas (cuya división general se examinará en el capítulo siguiente) está clara y exactamente determinada. Se compone de lo que se llama el Cálculo, tomando esta palabra en su mayor extensión, que abarca desde las operaciones numéricas más simples hasta las combinaciones más sublimes del análisis trascendente.

El Cálculo tiene como objeto peculiar la solución de todas las cuestiones relativas a los números. Su punto de partida es, constante y necesariamente, el conocimiento de las relaciones precisas, es decir, de las ecuaciones, entre las diferentes magnitudes que se consideran simultáneamente; lo que es, por el contrario, el punto de llegada de las matemáticas concretas.

Por complicadas o indirectas que sean estas relaciones, el objeto final del cálculo es siempre obtener de ellas los valores de las cantidades desconocidas por medio de aquellas que son conocidas.

Esta ciencia, aunque más cercana a la perfección que cualquier otra, está en realidad poco avanzada aún, de modo que este objetivo rara vez se alcanza de una manera completamente satisfactoria.

El análisis matemático es, por tanto, la verdadera base racional del conjunto de nuestro sistema de conocimientos actuales. Constituye la primera y la más perfecta de todas las ciencias fundamentales. Las ideas de las que se ocupa son las más universales, las más abstractas y las más simples que nos es posible concebir.

Esta naturaleza peculiar del análisis matemático nos permite explicar fácilmente por qué, cuando se emplea adecuadamente, es un instrumento tan poderoso, no solo para dar mayor precisión a nuestros conocimientos reales, lo cual es evidente por sí mismo, sino especialmente para establecer una coordinación infinitamente más perfecta en el estudio de los fenómenos que admiten tal aplicación; pues, habiéndose generalizado y simplificado nuestras concepciones de tal modo que una sola cuestión analítica, resuelta en abstracto, contiene la solución implícita de una gran cantidad de diversas cuestiones físicas, la mente humana debe adquirir necesariamente por estos medios una mayor facilidad para percibir relaciones entre fenómenos que al principio parecían enteramente distintos unos de otros.

Vemos así surgir naturalmente, por medio del análisis, las aproximaciones más frecuentes y más inesperadas entre problemas que al principio no ofrecían ninguna conexión aparente, y que a menudo terminamos viendo como idénticos.

¿Podríamos, por ejemplo, sin la ayuda del análisis, percibir la menor semejanza entre la determinación de la dirección de una curva en cada uno de sus puntos y la de la velocidad adquirida por un cuerpo en cada instante de su movimiento variable? Y, sin embargo, estas cuestiones, por diferentes que sean, no componen sino una sola ante los ojos del geómetra.

La alta perfección relativa del análisis matemático es igualmente perceptible. Esta perfección no se debe, como algunos han pensado, a la naturaleza de los signos empleados como instrumentos de razonamiento, por eminentemente concisos y generales que sean.

En realidad, todas las grandes ideas analíticas se han formado sin que los signos algebraicos hayan sido de ninguna ayuda esencial, excepto para desarrollarlas después de que la mente las hubiera concebido.

La perfección superior de la ciencia del cálculo se debe principalmente a la extrema simplicidad de las ideas que considera, cualesquiera que sean los signos con los que se expresen; de modo que no hay la menor esperanza, mediante ningún artificio del lenguaje científico, de perfeccionar en el mismo grado las teorías que se refieren a materias más complejas y que están necesariamente condenadas por su naturaleza a una inferioridad lógica mayor o menor.

# LA EXTENSIÓN DE SU CAMPO.

Nuestro examen del carácter filosófico de la ciencia matemática permanecería incompleto si, después de haber considerado su objeto y composición, no examináramos la extensión real de su dominio.

Su universalidad. Para este propósito es indispensable percibir, ante todo, que, desde el punto de vista puramente lógico, esta ciencia es por sí misma necesaria y rigurosamente universal; pues no hay cuestión alguna que no pueda concebirse en último término como consistente en determinar ciertas cantidades a partir de otras mediante ciertas relaciones, y consiguientemente como susceptible de reducirse, en el análisis final, a una simple cuestión de números.

En todas nuestras investigaciones, en efecto, sea cual fuere el asunto, nuestro objetivo es llegar a los números, a las cantidades, aunque a menudo de un modo muy imperfecto y por métodos muy inciertos.

Así, tomando un ejemplo en la clase de temas menos accesibles a las matemáticas, los fenómenos de los cuerpos vivos, aun cuando sean considerados (para tomar el caso más complicado) en el estado de enfermedad, ¿no es manifiesto que todas las cuestiones de la terapéutica pueden verse como consistentes en determinar las cantidades de los diferentes agentes que modifican el organismo, y que deben actuar sobre él para llevarlo a su estado normal, admitiendo, para algunas de estas cantidades en ciertos casos, valores que son iguales a cero, o negativos, o incluso contradictorios?

La idea fundamental de Descartes sobre la relación entre lo concreto y lo abstracto en las matemáticas ha demostrado, en oposición a la distinción superficial de la metafísica, que todas las ideas de cualidad pueden reducirse a las de cantidad. Esta concepción, establecida en un principio por su inmortal autor únicamente en relación con los fenómenos geométricos, ha sido desde entonces extendida con eficacia a los fenómenos mecánicos y, en nuestros días, a los del calor.

Como resultado de esta gradual generalización, ya no hay geómetras que no la consideren, en un sentido puramente teórico, como susceptible de ser aplicada a todas nuestras ideas reales de cualquier tipo, de modo que todo fenómeno es lógicamente susceptible de ser representado por una ecuación; tanto es así, en verdad, como lo es una curva o un movimiento, exceptuando la dificultad de descubrirla y luego de resolverla, la cual puede ser, y a menudo es, superior a las mayores facultades de la mente humana.

Sus limitaciones. Por importante que sea comprender la rigurosa universalidad, desde un punto de vista lógico, de la ciencia matemática, no es menos indispensable considerar ahora las grandes y reales limitaciones que, a causa de la flaqueza de nuestro intelecto, estrechan en un grado notable su dominio efectivo, a medida que los fenómenos, al volverse especiales, se complican.

Toda pregunta puede concebirse como susceptible de ser reducida a una pura cuestión de números; pero la dificultad de efectuar tal transformación aumenta tanto con la complicación de los fenómenos de la filosofía natural, que pronto se vuelve insuperable.

Esto se verá fácilmente si consideramos que, para llevar una cuestión al campo del análisis matemático, primero debemos haber descubierto las relaciones precisas que existen entre las cantidades que se encuentran en el fenómeno bajo examen, siendo el establecimiento de estas ecuaciones el punto de partida necesario de toda labor analítica.

Esto debe ser evidentemente tanto más difícil cuanto más especiales y, por tanto, más complicados sean los fenómenos con los que tratamos. Veremos así que solo en la física inorgánica, a lo sumo, podemos abrigar la justa esperanza de alcanzar jamás ese alto grado de perfección científica.

La primera condición necesaria para que los fenómenos admitan leyes matemáticas susceptibles de ser descubiertas es, evidentemente, que sus diferentes cantidades admitan ser expresadas por números fijos.

Pronto descubrimos que, a este respecto, el conjunto de la física orgánica, y probablemente también las partes más complicadas de la física inorgánica, son necesariamente inaccesibles por su naturaleza a nuestro análisis matemático, debido a la extrema variabilidad numérica de los fenómenos correspondientes.

Toda idea precisa de números fijos está verdaderamente fuera de lugar en los fenómenos de los cuerpos vivos, cuando queremos emplearla de otro modo que no sea como un medio para aliviar la atención, y cuando concedemos alguna importancia a las relaciones exactas de los valores asignados.

No debemos, sin embargo, por esta causa, dejar de concebir todos los fenómenos como necesariamente sujetos a leyes matemáticas, de las cuales estamos condenados a ignorar solo debido a la demasiada gran complicación de los fenómenos.

Los fenómenos más complejos de los cuerpos vivos no son indudablemente, en su esencia, de otra naturaleza especial que los fenómenos más simples de la materia inorgánica.

Si fuese posible aislar rigurosamente cada una de las causas simples que concurren en producir un solo fenómeno fisiológico, todo nos lleva a creer que este se mostraría dotado, en circunstancias determinadas, de un género de influencia y de una cantidad de acción tan exactamente fijas como lo vemos en la gravitación universal, un verídico tipo de las leyes fundamentales de la naturaleza.

Hay una segunda razón por la cual no podemos someter los fenómenos complicados al dominio del análisis matemático. Incluso si pudiéramos determinar la ley matemática que gobierna a cada agente, tomado por sí mismo, la combinación de un número tan grande de condiciones haría que el problema matemático correspondiente fuera tan superior a nuestros débiles medios, que la cuestión permanecería en la mayoría de los casos incapaz de solución.

Para apreciar esta dificultad, consideremos cuán complicadas se vuelven las cuestiones matemáticas, incluso aquellas relativas a los fenómenos más simples de los cuerpos inorgánicos, cuando deseamos aproximar lo suficiente el estado abstracto y el concreto, teniendo en cuenta todas las condiciones principales que pueden ejercer una influencia real sobre el efecto producido.

Sabemos, por ejemplo, que el fenómeno tan simple de la salida de un fluido por un orificio dado, en virtud de su sola gravedad, aún no tiene ninguna solución matemática completa, cuando se toman en consideración todas las circunstancias esenciales. Lo mismo ocurre incluso con el movimiento, todavía más simple, de un proyectil sólido en un medio resistente.

¿Por qué ha podido adaptarse el análisis matemático con tan admirable éxito al estudio más profundo de los fenómenos celestes? Porque estos son, a pesar de las apariencias populares, mucho más simples que cualquier otro.

El problema más complicado que presentan, el de la modificación producida en los movimientos de dos cuerpos que tienden el uno hacia el otro en virtud de su gravitación, por la influencia de un tercer cuerpo que actúa sobre ambos de la misma manera, es mucho menos complejo que el más simple de los problemas terrestres. Y, sin embargo, aun este presenta dificultades tan grandes que todavía solo poseemos soluciones aproximadas del mismo.

Es fácil ver incluso que la alta perfección a la que la astronomía solar ha podido elevarse mediante el empleo de la ciencia matemática se debe, además, esencialmente a que hemos aprovechado hábilmente todas las facilidades particulares y, por decirlo así, accidentales que presenta la constitución singularmente favorable de nuestro sistema planetario.

Los planetas que lo componen son bastante pocos en número, y sus masas son en general muy desiguales, y mucho menores que la del sol; están, además, muy distantes unos de otros; tienen formas casi esféricas; sus órbitas son casi circulares y solo ligeramente inclinadas entre sí, y así sucesivamente.

De todas estas circunstancias resulta que las perturbaciones son generalmente insignificantes, y que para calcularlas suele bastar con tomar en cuenta, en relación con la acción del sol sobre cada planeta en particular, la influencia de un solo planeta más, capaz, por su tamaño y su proximidad, de causar alteraciones perceptibles.

Si, por el contrario, en lugar de tal estado de cosas, nuestro sistema solar se hubiera compuesto de un mayor número de planetas concentrados en un espacio menor, y casi iguales en masa; si sus órbitas hubiesen presentado inclinaciones muy diferentes, y excentricidades considerables; si estos cuerpos hubiesen sido de una forma más complicada, tales como elipsoides muy excéntricos, es seguro que, aun suponiendo que existiera la misma ley de gravitación, no habríamos logrado todavía someter el estudio de los fenómenos celestes a nuestro análisis matemático, y probablemente ni siquiera habríamos sido capaces de desentrañar la actual ley principal.

Estas condiciones hipotéticas se hallarían exactamente realizadas en el grado más alto en los fenómenos químicos, si intentáramos calcularlos mediante la teoría de la gravitación general.

Bien sopesadas las consideraciones precedentes, el lector se convencerá, según creo, de que al reducir la futura extensión de las grandes aplicaciones del análisis matemático, que son realmente posibles, al campo comprendido en los diferentes departamentos de la física inorgánica, he exagerado más bien que contraído la extensión de su dominio actual.

Tan importante como era hacer patente la rigurosa universalidad lógica de la ciencia matemática, lo era igualmente indicar las condiciones que limitan para nosotros su extensión real, a fin de no contribuir a extraviar al espíritu humano de la verdadera dirección científica en el estudio de los fenómenos más complicados, mediante la búsqueda quimérica de una perfección imposible.

Habiendo expuesto así el objeto esencial y la composición principal de la ciencia matemática, así como sus relaciones generales con el cuerpo entero de la filosofía natural, debemos pasar ahora al examen especial de las grandes ciencias de que se compone.

Nota.—El Análisis y la Geometría son las dos grandes ramas bajo las cuales va a examinarse la materia. A estas M. Comte añade la Mecánica racional; pero como no está comprendida en la idea habitual de las Matemáticas, y como su discusión sería de utilidad e interés muy limitados, no se incluye en la presente traducción.

LIBRO I.

ANÁLISIS.

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# ANÁLISIS.