# GEOMETRÍA ANTIGUA O SINTÉTICA.
Constituyendo necesariamente el método geométrico de los antiguos un departamento preliminar en el sistema dogmático de la geometría, destinado a proveer a la geometría general de cimientos indispensables, conviene ahora comenzar por determinar en qué consiste estrictamente esta función preliminar de la geometría especial, reducida así a los límites más estrechos posibles.
SU DEBIDA EXTENSIÓN.
- Líneas; Polígonos; Poliedros.
Al considerarlo bajo este punto de vista, es fácil reconocer que podríamos limitarlo al estudio de la línea recta únicamente en lo que concierne a la geometría de las líneas; a la cuadratura de las áreas planas rectilíneas; y, por último, a la cubatura de los cuerpos limitados por caras planas.
Las proposiciones elementales relativas a estas tres cuestiones fundamentales constituyen, de hecho, el punto de partida necesario de todas las investigaciones geométricas; ellas por sí solas no pueden obtenerse sino mediante un estudio directo del objeto; mientras que, por el contrario, la teoría completa de todas las figuras restantes, incluso la del círculo, y la de las superficies y volúmenes que se conectan con él, puede comprenderse hoy en día por completo en el dominio de la geometría general o analítica; proporcionando estos elementos primitivos desde un principio ecuaciones que son suficientes para permitir la aplicación del cálculo a las cuestiones geométricas, lo cual no habría sido posible sin esta condición previa.
De esta consideración resulta que, en la práctica común, le damos a la geometría elemental más extensión de la que le sería rigurosamente necesaria; ya que, además de la línea recta, los polígonos y los poliedros, incluimos también en ella el círculo y los cuerpos "redondos"; cuyo estudio podría ser, sin embargo, tan puramente analítico como el, por ejemplo, de las cónicas.
Una veneración sin reflexión por la antigüedad contribuye a mantener este defecto de método; pero la mejor razón que puede darse de él es el serio inconveniente que habría para la instrucción ordinaria en posponer, hasta una época tan lejana de la educación matemática, la solución de varias cuestiones esenciales que son susceptibles de una aplicación directa y continua a un gran número de usos importantes.
De hecho, para proceder de la manera más racional, deberíamos emplear el cálculo integral para obtener los interesantes resultados relativos a la longitud o al área del círculo, o a la cuadratura de la esfera, etc., que han sido determinados por los antiguos a partir de consideraciones extremadamente simples.
Este inconveniente tendría poca importancia con respecto a las personas destinadas a estudiar el conjunto de la ciencia matemática, y la ventaja de proceder en un orden perfectamente lógico tendría un valor comparativo mucho mayor.
Pero siendo el caso contrario el más frecuente, las teorías tan esenciales se han retenido necesariamente en la geometría elemental. Quizá las secciones cónicas, la cicloide, etc., podrían añadirse ventajosamente en tales casos.
Not to be farther restricted. While this preliminary portion of geometry, which cannot be founded on the application of the calculus, is reduced by its nature to a very limited series of fundamental researches, relating to the right line, polygonal areas, and polyhedrons, it is certain, on the other hand, that we cannot restrict it any more; although, by a veritable abuse of the spirit of analysis, it has been recently attempted to present the establishment of the principal theorems of elementary geometry under an algebraical point of view.
Thus some have pretended to demonstrate, by simple abstract considerations of mathematical analysis, the constant relation which exists between the three angles of a rectilinear triangle, the fundamental proposition of the theory of similar triangles, that of parallelopipedons, &c.; in a word, precisely the only geometrical propositions which cannot be obtained except by a direct study of the subject, without the calculus being susceptible of having any part in it.
Such aberrations are the unreflecting exaggerations of that natural and philosophical tendency which leads us to extend farther and farther the influence of analysis in mathematical studies. In mechanics, the pretended analytical demonstrations of the parallelogram of forces are of similar character.
La perversidad de un modo de proceder semejante se sigue de los principios expuestos con anterioridad. Ya hemos reconocido, en efecto, que, dado que el cálculo no es, ni puede ser, otra cosa que un medio de deducción, se manifestaría una idea radicalmente falsa de él al querer emplearlo para establecer los fundamentos elementales de cualquier ciencia; pues ¿sobre qué descansarían los razonamientos analíticos en semejante operación?
Una labor de esta índole, muy lejos de perfeccionar realmente el carácter filosófico de una ciencia, constituiría un retorno hacia la edad metafísica, al presentar los hechos reales como meras abstracciones lógicas.
Cuando examinamos en sí mismas estas pretendidas demostraciones analíticas de las proposiciones fundamentales de la geometría elemental, verificamos fácilmente su necesaria falta de sentido.
Todas se fundan en un modo vicioso de concebir el principio de homogeneidad, cuya verdadera idea general fue explicada en el segundo capítulo del libro precedente.
Estas demostraciones suponen que este principio no nos permite admitir la coexistencia en una misma ecuación de números obtenidos mediante diferentes comparaciones concretas, lo cual es evidentemente falso y contrario a la práctica constante de los geómetras.
Así, es fácil reconocer que, empleando la ley de homogeneidad en esta acepción arbitraria e ilegítima, se podría lograr «demostrar», con bastante aparente rigor, proposiciones cuya absurdidad se manifiesta a primera vista.
Examinando atentamente, por ejemplo, el procedimiento con cuya ayuda se ha intentado demostrar analíticamente que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo rectilíneo es constantemente igual a dos ángulos rectos, vemos que se funda en este principio preliminar de que, si dos triángulos tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales, el tercer ángulo del uno será necesariamente igual al tercer ángulo del otro.
Concedido este primer punto, la relación propuesta se deduce inmediatamente de él de un modo muy exacto y sencillo.
Ahora bien, la consideración analítica mediante la cual se ha intentado establecer esta proposición anterior es de tal naturaleza que, si pudiera ser correcta, podríamos deducir rigurosamente de ella, reproduciéndola de manera inversa, este absurdo palpable de que dos lados de un triángulo bastan, sin ningún ángulo, para la determinación completa del tercer lado. Podemos hacer observaciones análogas sobre todas las demostraciones de esta índole, cuyos sofismas quedarán así verificados de una manera perfectamente aparente.
Cuanto más motivos tenemos hoy en día para considerar que la geometría es esencialmente analítica, más necesario era precaverse contra esta exageración abusiva del análisis matemático, según la cual se prescindiría de toda observación geométrica al establecer sobre puras abstracciones algebraicas los fundamentos mismos de esta ciencia natural.
Intentos de demostración de los axiomas, etc.
Otro indicio de que los geómetras han pasado demasiado por alto el carácter de ciencia natural que es necesariamente inherente a la geometría, se manifiesta en sus vanos intentos, prolongados durante tanto tiempo, de demostrar rigurosamente, no con la ayuda del cálculo, sino por medio de ciertas construcciones, varias proposiciones fundamentales de la geometría elemental.
Hágase lo que se hágase, será evidentemente imposible evitar el recurrir a veces a la observación simple y directa en geometría como medio para establecer diversos resultados. Si bien en esta ciencia los fenómenos considerados están, en virtud de su extrema simplicidad, mucho más estrechamente conectados entre sí que los relativos a cualquier otra ciencia física, aun así deben hallarse algunos que no pueden deducirse y que, por el contrario, sirven como puntos de partida.
Puede admitirse que la mayor perfección lógica de la ciencia consiste en reducir estos al menor número posible, pero sería absurdo pretender hacerlos desaparecer por completo. Confieso, por lo demás, que encuentro menos inconvenientes reales en extender, un poco más allá de lo que sería estrictamente necesario, el número de estas nociones geométricas establecidas así por observación directa, siempre que sean suficientemente simples, que en convertirlas en objeto de demostraciones complicadas e indirectas, aun cuando estas demostraciones puedan ser lógicamente irreprochables.
Habiendo quedado así caracterizado con la mayor exactitud posible el verdadero destino dogmático de la geometría de los antiguos, reducida a sus desarrollos indispensables mínimos, conviene considerar sumariamente cada una de las partes principales de las que debe componerse. Pienso que aquí puedo limitarme a considerar la primera y más extensa de estas partes, aquella que tiene por objeto el estudio de la línea recta; las otras dos secciones, a saber, la * cuadratura de los polígonos y la cubatura de los poliedros*, debido a su extensión limitada, no son capaces de dar lugar a ninguna consideración filosófica de importancia alguna, distinta de las indicadas en el capítulo precedente con respecto a la medida de las áreas y de los volúmenes en general.
# GEOMETRÍA DE LA LÍNEA RECTA.
La cuestión final que siempre tenemos en vista en el estudio de la línea recta consiste propiamente en determinar, por medio de los unos a los otros, los diferentes elementos de cualquier figura rectilínea que sea; lo que nos permite conocer siempre indirectamente la longitud y la posición de una línea recta, en cualesquiera circunstancias en que se encuentre.
Este problema fundamental es susceptible de dos soluciones generales, cuya naturaleza es muy distinta, la una gráfica, la otra algebraica. La primera, aunque muy imperfecta, es la que debe considerarse en primer lugar, porque se deriva espontáneamente del estudio directo del sujeto; la segunda, mucho más perfecta en los aspectos más importantes, no puede estudiarse hasta después, porque se funda en el conocimiento previo de la otra.
# SOLUCIONES GRÁFICAS.
La solución gráfica consiste en construir a voluntad la figura propuesta, ya sea con las mismas dimensiones, o, lo que es más habitual, con dimensiones modificadas en cualquier razón que sea.
El primer modo solo necesita ser mencionado por ser el más sencillo y el que primero vendría a la mente, pues es evidentemente, por su naturaleza, casi totalmente inaplicable.
El segundo, por el contrario, es susceptible de la aplicación más amplia y útil. Todavía hoy hacemos un uso importante y continuo de él, no solo para representar con exactitud las formas de los cuerpos y sus posiciones relativas, sino incluso para la determinación real de magnitudes geométricas, cuando no necesitamos una gran precisión.
Los antiguos, como consecuencia de la imperfección de sus conocimientos geométricos, emplearon este procedimiento de una manera mucho más extensa, ya que fue durante mucho tiempo el único que pudieron aplicar, incluso en las determinaciones precisas más importantes. Fue así, por ejemplo, como Aristarco de Samos estimó la distancia relativa del sol y de la luna a la tierra, haciendo mediciones en un triángulo construido con la mayor exactitud posible, para que fuera semejante al triángulo rectángulo formado por los tres cuerpos en el instante en que la luna se encuentra en cuadratura, y en que una observación del ángulo en la tierra sería por consiguiente suficiente para definir el triángulo. El propio Arquímedes, aunque fue el primero en introducir determinaciones calculadas en la geometría, empleó varias veces medios similares.
La formación de la trigonometría no hizo que este método fuera abandonado por completo, aunque disminuyó considerablemente su uso; los griegos y los árabes continuaron empleándolo para un gran número de investigaciones, en las cuales hoy consideramos indispensable el uso del cálculo.
Esta reproducción exacta de cualquier figura que sea a una escala diferente no puede presentar gran dificultad teórica cuando todas las partes de la figura propuesta se encuentran en el mismo plano. Pero si suponemos, como ocurre más frecuentemente, que están situadas en diferentes planos, vemos entonces surgir un nuevo orden de consideraciones geométricas.
La figura artificial, que es constantemente plana, no siendo capaz, en ese caso, de ser una imagen perfectamente fiel de la figura real, es necesario fijar previamente con precisión el modo de representación, lo que da origen a diferentes sistemas de Proyección.
Queda por determinar, según qué leyes, los fenómenos geométricos se corresponden en las dos figuras. Esta consideración genera una nueva serie de investigaciones geométricas, cuyo objeto final es propiamente descubrir cómo podemos reemplazar las construcciones en relieve por construcciones planas.
Los antiguos tuvieron que resolver varias cuestiones elementales de este género para diversos casos en los que hoy empleamos la trigonometría esférica, principalmente para diferentes problemas relativos a la esfera celeste. Tal fue el objeto de sus analemas, y de las otras figuras planas que durante mucho tiempo suplieron el lugar del cálculo.
Vemos por esto que los antiguos conocían realmente los elementos de lo que hoy llamamos Geometría Descriptiva, aunque no la concibieron de un modo distinto y general.
Creo oportuno indicar brevemente en este lugar el verdadero carácter filosófico de esta "Geometría Descriptiva"; aunque, siendo esencialmente una ciencia de aplicación, no deba ser incluida dentro del dominio propio de esta obra.
# GEOMETRÍA DESCRIPTIVA.
Todas las cuestiones de geometría del espacio dan lugar necesariamente, cuando consideramos su solución gráfica, a una dificultad común que les es propia: la de sustituir las diferentes construcciones en relieve, necesarias para resolverlas directamente y que es casi siempre imposible de ejecutar, por construcciones planas simples y equivalentes, mediante las cuales obtenemos finalmente los mismos resultados.
Sin esta transformación indispensable, toda solución de este tipo sería evidentemente incompleta e inaplicable en la práctica, aunque teóricamente las construcciones en el espacio suelen ser preferibles por ser más directas.
Fue con el fin de proporcionar los medios generales para efectuar siempre tal transformación como la Geometría Descriptiva fue creada, y constituida en un sistema distinto y homogéneo, por el ilustre Monge. Él inventó, en primer lugar, un método uniforme para representar cuerpos mediante figuras trazadas sobre un solo plano, con la ayuda de proyecciones sobre dos planos diferentes, por lo general perpendiculares entre sí, y uno de los cuales se supone que gira alrededor de su intersección común para coincidir con el otro prolongado; en este sistema, o en cualquier otro equivalente a él, basta con considerar los puntos y las líneas como determinados por sus proyecciones, y las superficies por las proyecciones de sus líneas generatrices.
Esto establecido, Monge —analizando con profunda sagacidad los diversos trabajos parciales de este género que antes se habían ejecutado mediante una serie de procedimientos incongruentes, y considerando además, de un modo general y directo, en qué debían consistir cualesquiera cuestiones de esa naturaleza— halló que siempre podían reducirse a un número muy pequeño de problemas abstractos e invariables, susceptibles de ser resueltos por separado, de una vez para siempre, mediante operaciones uniformes, relativas esencialmente unas a los contactos y otras a las intersecciones de superficies.
Habiéndose formulado métodos sencillos y enteramente generales para la solución gráfica de estos dos órdenes de problemas, todas las cuestiones geométricas que puedan surgir en cualquiera de las diversas artes de la construcción —estereotomía, carpintería, perspectiva, gnomónica, fortificación, etc.— podrán en adelante tratarse como simples casos particulares de una sola teoría, cuya aplicación invariable conducirá siempre necesariamente a una solución exacta, la cual podrá facilitarse en la práctica aprovechando las circunstancias peculiares de cada caso.
Esta importante creación merece en sumo grado fijar la atención de aquellos filósofos que consideran todo lo que la especie humana ha efectuado hasta ahora como un primer paso, y hasta el momento el único realmente completo, hacia esa renovación general de las labores humanas, que debe imprimir en todas nuestras artes un carácter de precisión y de racionalidad, tan necesario para su futuro progreso.
Tal revolución debe, de hecho, comenzar inevitablemente por esa clase de labores industriales que está esencialmente conectada con aquella ciencia que es la más simple, la más perfecta y la más antigua. No podrá dejar de extenderse en el futuro, aunque con menor facilidad, a todas las demás operaciones prácticas. En efecto, el propio Monge, que concebía la verdadera filosofía de las artes mejor que nadie, se esforzó por esbozar un sistema correspondiente para las artes mecánicas.
Por muy esencial que sea en realidad la concepción de la geometría descriptiva, es muy importante no engañarnos respecto a su verdadero destino, como lo hicieron quienes, en el entusiasmo de su primer descubrimiento, vieron en ella un medio para ampliar el dominio general y abstracto de la geometría racional.
El resultado no ha respondido en absoluto a estas esperanzas equivocadas. Y, en efecto, ¿no es evidente que la geometría descriptiva no tiene un valor especial sino como ciencia de aplicación y por constituir la verdadera teoría especial de las artes geométricas?
Considerada en sus relaciones abstractas, no podría introducir ningún orden verdaderamente distinto de especulaciones geométricas. No debemos olvidar que, para que una cuestión geométrica pertenezca al dominio peculiar de la geometría descriptiva, necesariamente ha tenido que ser resuelta previamente por la geometría especulativa, cuyas soluciones, como ya hemos visto, necesitan siempre prepararse para la práctica de tal modo que suplan las construcciones en relieve por construcciones planas; una sustitución que en realidad constituye la única función característica de la geometría descriptiva.
Conviene, sin embargo, observar aquí que, en lo que respecta a la educación intelectual, el estudio de la geometría descriptiva posee una importante peculiaridad filosófica, bastante independiente de su alta utilidad industrial.
Esta es la ventaja que ofrece de manera tan preeminente —al habituar a la mente a considerar combinaciones geométricas muy complicadas en el espacio, y a seguir con precisión su correspondencia continua con las figuras que están realmente trazadas— de ejercitar así al máximo, de la manera más cierta y precisa, esa importante facultad de la mente humana que se denomina propiamente "imaginación", y que consiste, en su aceptación elemental y positiva, en representarnos a nosotros mismos, con claridad y facilidad, una vasta y variable colección de objetos ideales, como si estuvieran realmente ante nosotros.
Finalmente, para completar la indicación de la naturaleza general de la geometría descriptiva determinando su carácter lógico, debemos observar que, si bien pertenece a la geometría de los antiguos por el carácter de sus soluciones, por otro lado se acerca a la geometría de los modernos por la naturaleza de las cuestiones que la componen.
Estas cuestiones son, en efecto, eminentemente notables por esa generalidad que, como vimos en el capítulo precedente, constituye el verdadero carácter fundamental de la geometría moderna; pues los métodos utilizados se concebirán siempre como aplicables a cualesquiera figuras, teniendo la peculiaridad de cada una solo una influencia puramente secundaria.
Las soluciones de la geometría descriptiva son entonces gráficas, como la mayor parte de las de los antiguos, y al mismo tiempo generales, como las de los modernos.
Tras esta importante digresión, seguiremos el examen filosófico de la geometría especial, considerada siempre como reducida a su menor desarrollo posible, como una introducción indispensable a la geometría general.
Hemos considerado ya suficientemente la solución gráfica del problema fundamental relativo a la línea recta —esto es, la determinación de los diferentes elementos de cualquier figura rectilínea por medio unos de otros— y nos queda por examinar de un modo especial la solución algebraica.
# SOLUCIONES ALGEBRAICAS.
Esta clase de solución, cuya evidente superioridad no es necesario detallar aquí, pertenece necesariamente, por la naturaleza misma de la cuestión, al sistema de la geometría antigua, aunque el método lógico que se emplea hace que por lo general se la separe de él, de manera muy impropia.
Tenemos así la oportunidad de comprobar, en un aspecto muy importante, lo que se estableció de manera general en el capítulo anterior: que no es mediante el empleo del cálculo como la geometría moderna debe distinguirse esencialmente de la antigua.
Los antiguos son de hecho los verdaderos inventores de la trigonometría actual, tanto esférica como rectilínea; la cual solo era mucho menos perfecta en sus manos debido a la extrema inferioridad de sus conocimientos algebraicos.
Es, por tanto, realmente en este capítulo, y no, como podría pensarse en un principio, en aquellos que dedicaremos más adelante al examen filosófico de la geometría general, donde corresponde considerar el carácter de esta importante teoría preliminar, que por lo general, aunque de manera impropia, se incluye en lo que se llama geometría analítica, pero que en realidad no es sino un complemento de la geometría elemental propiamente dicha.
Como todas las figuras rectilíneas pueden descomponerse en triángulos, es evidentemente suficiente saber cómo determinar los diferentes elementos de un triángulo por medio de los unos a los otros, lo que reduce la poligonometría a la simple trigonometría.
# TRIGONOMETRÍA.
La dificultad en resolver algebraicamente una cuestión como la anterior consiste esencialmente en formar, entre los ángulos y los lados de un triángulo, tres ecuaciones distintas; las cuales, una vez obtenidas, reducirán evidentemente todos los problemas trigonométricos a meras cuestiones de análisis.
Cómo introducir los ángulos.
Al considerar el establecimiento de estas ecuaciones de la manera más general, tropezamos inmediatamente con una distinción fundamental respecto al modo de introducir los ángulos en el cálculo, según se haga que entren en él de manera directa, por sí mismos o por los arcos circulares que les son proporcionales; o de manera indirecta, por las cuerdas de estos arcos, que por ello reciben el nombre de sus líneas trigonométricas.
De estos dos sistemas de trigonometría, el segundo fue necesariamente el único adoptado en su origen, por ser el único practicable, ya que el estado de la geometría facilitaba bastante encontrar relaciones exactas entre los lados de los triángulos y las líneas trigonométricas que representan los ángulos, mientras que habría sido absolutamente imposible en aquella época establecer ecuaciones entre los lados y los ángulos mismos.
Ventajas de la introducción de las Líneas Trigonométricas.
En la actualidad, puesto que la solución puede obtenerse indistintamente por uno u otro sistema, ese motivo de preferencia ya no existe; pero los geómetras no han dejado por ello de persistir en seguir por elección el sistema admitido primitivamente por necesidad; pues la misma razón que permitió obtener estas ecuaciones trigonométricas con mucha mayor facilidad, debe del mismo modo, según es aún más fácil de concebir a priori, hacer estas ecuaciones mucho más simples, ya que entonces existen solo entre líneas rectas, en lugar de establecerse entre líneas rectas y arcos de círculo. Tal consideración tiene tanta más importancia cuanto que la cuestión se refiere a fórmulas que son eminentemente elementales y están destinadas a ser empleadas continuamente en todas las partes de la ciencia matemática, así como en todas sus diversas aplicaciones.
Podría objetarse, sin embargo, que cuando un ángulo es dado, lo es, en realidad, siempre por sí mismo, y no por sus líneas trigonométricas; y que cuando es desconocido, es su valor angular el que propiamente debe determinarse, y no el de ninguna de sus líneas trigonométricas.
Parece, según esto, que tales líneas no son sino intermediarios inútiles entre los lados y los ángulos, los cuales deben ser finalmente eliminados, y cuya introducción no parece capaz de simplificar la investigación propuesta.
Es en verdad importante explicar, con más generalidad y precisión de lo habitual, la gran utilidad real de este modo de proceder.
División de la Trigonometría en dos partes.
Consiste en que la introducción de estas magnitudes auxiliares divide toda la cuestión de la trigonometría en otras dos esencialmente distintas, una de las cuales tiene por objeto pasar de los ángulos a sus líneas trigonométricas, o a la inversa, y la otra propone determinar los lados de los triángulos mediante las líneas trigonométricas de sus ángulos, o a la inversa.
Ahora bien, la primera de estas dos cuestiones fundamentales es evidentemente susceptible, por su naturaleza, de ser enteramente tratada y reducida a tablas numéricas de una vez por todas, considerando todos los ángulos posibles, puesto que depende únicamente de dichos ángulos, y en absoluto de los triángulos particulares en los que puedan intervenir en cada caso; mientras que la solución de la segunda cuestión debe renovarse necesariamente, al menos en sus relaciones aritméticas, para cada nuevo triángulo que sea necesario resolver.
Esta es la razón por la cual la primera porción de la obra completa, que sería precisamente la más laboriosa, ya no se toma en cuenta, al realizarse siempre de antemano; mientras que, si dicha descomposición no se hubiera llevado a cabo, nos habríamos hallado evidentemente bajo la obligación de recomenzar el cálculo entero en cada caso particular.
Tal es la propiedad esencial del presente sistema trigonométrico, el cual de hecho no presentaría ninguna ventaja real si fuese necesario calcular continuamente la línea trigonomé-trica de cada ángulo que deba considerarse, o la inversa; el intermediario introducido resultaría entonces más molesto que conveniente.
Para comprender claramente la verdadera naturaleza de esta concepción, será útil compararla con otra aún más importante, destinada a producir un efecto análogo ya sea en sus relaciones algebraicas, o, más aún, en las aritméticas: la admirable teoría de los logaritmos.
Al examinar de manera filosófica la influencia de esta teoría, vemos en efecto que su resultado general es descomponer todas las operaciones aritméticas imaginables en dos partes distintas. La primera y más complicada de ellas es capaz de ser ejecutada de antemano de una vez por todas (puesto que depende únicamente de los números que deben considerarse, y en absoluto de las combinaciones infinitamente diversas en las que pueden entrar), y consiste en considerar a todos los números como potencias asignables de un número constante. La segunda parte del cálculo, que debe necesariamente ser recommenzada para cada nueva fórmula cuyo valor deba ser determinado, queda reducida desde entonces a ejecutar sobre estos exponentes operaciones correlativas que son infinitamente más simples. Me limito aquí a indicar meramente esta semejanza, que cualquiera puede desarrollar por sí mismo.
Debemos además observar, como una propiedad (secundaria en la actualidad, pero importantísima en su origen) del sistema trigonométrico adoptado, la circunstancia muy notable de que la determinación de los ángulos por sus líneas trigonométricas, o a la inversa, admite una solución aritmética (la única que es directamente indispensable para el destino especial de la trigonometría) sin la resolución previa de la cuestión algebraica correspondiente.
Es indudable que a tal peculiaridad debieron los antiguos la posibilidad de conocer la trigonometría. La investigación concebida de este modo era tanto más fácil cuanto que las tablas de cuerdas (que los antiguos tomaron naturalmente como las líneas trigonométricas) se habían construido previamente con un objeto muy distinto, en el curso de los trabajos de Arquímedes sobre la rectificación del círculo, de los cuales resultó la determinación efectiva de cierta serie de cuerdas; de modo que cuando Hiparco inventó posteriormente la trigonometría, pudo limitarse a completar dicha operación mediante intercalaciones adecuadas, lo cual muestra claramente la conexión de las ideas en ese asunto.
El aumento de dichas líneas trigonométricas.
Para completar este esbozo filosófico de la trigonometría, conviene ahora observar que la extensión de las mismas consideraciones que nos llevan a reemplazar ángulos o arcos de círculos por líneas rectas, con el fin de simplificar nuestras ecuaciones, debe llevarnos también a emplear simultáneamente varias líneas trigonométricas, en lugar de limitarnos a una sola (como hicieron los antiguos), de modo que se perfeccione este sistema eligiendo la que resulte algebraicamente más conveniente en cada ocasión.
Desde este punto de vista, es evidente que el número de estas líneas no está en modo alguno limitado en sí mismo; siempre que estén determinadas por el arco y que lo determinen, cualquiera que sea la ley según la cual se deriven de él, son aptas para ser sustituidas por él en las ecuaciones.
Los árabes, y posteriormente los modernos, al limitarse a las construcciones más sencillas, elevaron a cuatro o cinco el número de líneas trigonométricas directas, el cual podría extenderse mucho más.
Pero en vez de recurrir a formaciones geométricas, que acabarían por volverse muy complicadas, concebimos con la mayor facilidad tantas líneas trigonométricas nuevas como las transformaciones analíticas puedan requerir, mediante un artificio notable que no suele comprenderse de un modo suficientemente general.
Consiste en no multiplicar directamente las líneas trigonométricas apropiadas para cada arco considerado, sino en introducir nuevas líneas, al considerar este arco como indirectamente determinado por todas las líneas relativas a un arco que es una función muy simple de la primera.
Es así, por ejemplo, que, para calcular un ángulo con más facilidad, determinaremos, en lugar de su seno, el seno de su mitad, o de su doble, etc.
Una tal creación de líneas trigonométricas indirectas es evidentemente mucho más fructífera que todos los métodos geométricos directos para obtener nuevas líneas.
Podemos decir en consecuencia que el número de líneas trigonométricas empleadas en la actualidad por los geómetras es en realidad ilimitado, puesto que a cada instante, por decirlo así, las transformaciones del análisis pueden llevarnos a aumentarlo mediante el método que acabo de indicar.
Sin embargo, se han dado nombres especiales únicamente a aquellas de estas líneas indirectas que se refieren al complemento del arco primitivo, ya que las demás no aparecen con la frecuencia suficiente como para hacer necesarias tales denominaciones; una circunstancia que ha provocado una idea equívoca muy extendida sobre el verdadero alcance del sistema de la trigonometría.
Estudio de sus relaciones mutuas. Esta multiplicidad de líneas trigonométricas da lugar evidentemente a una tercera cuestión fundamental en la trigonometría: el estudio de las relaciones que existen entre estas diferentes líneas; ya que, sin tal conocimiento, no podríamos utilizar, para nuestras necesidades analíticas, esta variedad de magnitudes auxiliares que, sin embargo, no tienen otro destino.
Es evidente además, por la consideración acabada de indicar, que esta parte esencial de la trigonometría, aunque simplemente preparatoria, es, por su naturaleza, susceptible de una extensión indefinida cuando la consideramos en toda su generalidad, mientras que las otras dos están circunscritas dentro de límites rigurosamente definidos.
No es necesario añadir que estas tres partes principales de la trigonometría deben estudiarse en orden precisamente inverso a aquel en el que las hemos visto deducirse necesariamente de la naturaleza general del tema; pues la tercera es evidentemente independiente de las otras dos, y la segunda, de la que se presentó en primer lugar —la resolución de triángulos, propiamente dicha—, la cual debe por esa razón tratarse en último término; lo que hacía tanto más importante la consideración de su sucesión natural y de sus relaciones lógicas mutuas.
Es inútil considerar aquí por separado la trigonometría esférica, que no puede dar lugar a ninguna consideración filosófica especial; puesto que, por muy esencial que sea debido a la importancia y a la multiplicidad de sus aplicaciones, hoy en día solo puede tratarse como una simple aplicación de la trigonometría rectilínea, que proporciona directamente sus ecuaciones fundamentales al sustituir el triángulo esférico por el ángulo triédrico correspondiente.
Esta exposición sumaria de la filosofía de la trigonometría se ha dado aquí con el fin de hacer evidente, mediante un ejemplo importante, esa dependencia rigurosa y esas ramificaciones sucesivas que presentan las cuestiones aparentemente más simples de la geometría elemental.
Habiendo examinado así el carácter peculiar de la geometría especial reducida a su único destino dogmático, el de proporcionar a la geometría general una base preliminar indispensable, debemos ahora consagrar toda nuestra atención a la verdadera ciencia de la geometría, considerada en su conjunto, de la manera más racional. Para tal fin, es necesario examinar cuidadosamente la gran idea original de Descartes, sobre la cual se fundamenta por entero. Este será el objeto del capítulo siguiente.