According to this definition, then, the science of mathematics—vast and profound as it is with reason reputed to be—instead of being an immense concatenation of prolonged mental labours, which offer inexhaustible occupation to our intellectual activity, would seem to consist of a simple series of mechanical processes for obtaining directly the ratios of the quantities to be measured to those by which we wish to measure them, by the aid of operations of similar character to the superposition of lines, as practiced by the carpenter with his rule.
El error de esta definición consiste en presentar como directo un objeto que casi siempre es, por el contrario, muy indirecto. La medición directa de una magnitud, por superposición o cualquier proceso similar, es con suma frecuencia una operación del todo imposible de realizar para nosotros; de modo que si no tuviéramos otros medios para determinar las magnitudes que las comparaciones directas, nos veríamos obligados a renunciar al conocimiento de la mayoría de aquellas que nos interesan.
Dificultades.
La fuerza de esta observación general se comprenderá si nos limitamos a considerar especialmente el caso particular que evidentemente ofrece más facilidad: el de la medida de una línea recta por medio de otra. Esta comparación, que es sin duda la más sencilla que podemos concebir, apenas puede efectuarse jamás, sin embargo, de manera directa. Al reflexionar sobre el conjunto de las condiciones necesarias para hacer que una línea sea susceptible de una medición directa, vemos que, la mayoría de las veces, no pueden cumplirse todas al mismo tiempo.
La primera y más palpable de estas condiciones —la de poder recorrer la línea de un extremo a otro para aplicar la unidad de medida a toda su longitud— excluye de entrada y por mucho la mayor parte de las distancias que más nos interesan; en primer lugar, todas las distancias entre los cuerpos celestes, o de cualquiera de ellos a la Tierra; y luego, también, incluso la mayor parte de las distancias terrestres, que con tanta frecuencia son inaccesibles.
Pero aun si se descubre que esta primera condición se cumple, es necesario además que la longitud no sea ni demasiado grande ni demasiado pequeña, lo cual haría igualmente imposible una medición directa. La línea debe estar también situada de manera adecuada; pues supongamos que se trata de una que podríamos medir con la mayor facilidad si fuese horizontal, pero imaginemos que se la coloca en posición vertical, y entonces resulta imposible medirla.
Las dificultades que hemos indicado en lo referente a la medida de las líneas existen en un grado muchísimo mayor en la medida de las superficies, volúmenes, velocidades, tiempos, fuerzas, etc.
Es este hecho el que hace necesaria la formación de la ciencia matemática, como vamos a ver; pues la mente humana se ha visto obligada a renunciar, en casi todos los casos, a la medida directa de las magnitudes, y a buscar determinarlas indirectamente, y es así como ha sido conducida a la creación de las matemáticas.
Método general. El método general que se emplea constantemente, y que es evidentemente el único concebible para determinar magnitudes que no admiten una medida directa, consiste en relacionarlas con otras que son susceptibles de ser determinadas inmediatamente, y por cuyo medio logramos descubrir las primeras a través de las relaciones que subsisten entre ambas. > Tal es el objeto preciso de la ciencia matemática considerada en su