# ANÁLISIS TRASCENDENTAL: DIFERENTES MODOS DE CONTEMPLARLO.

Determinamos, en el segundo capítulo, el carácter filosófico del análisis trascendental, de cualquier manera que se le conciba, considerando únicamente la naturaleza general de su destino real como parte de la ciencia matemática.

Este análisis ha sido presentado por los geómetras bajo varios puntos de vista, realmente distintos, aunque necesariamente equivalentes, y conduciendo siempre a resultados idénticos. Pueden reducirse a tres principales: los de Leibniz, los de Newton y los de Lagrange, de los cuales todos los demás son solo modificaciones secundarias.

En el estado actual de la ciencia, cada una de estas tres concepciones generales ofrece ventajas esenciales que le son exclusivas, sin que hayamos conseguido aún construir un único método que reúna todas estas diferentes cualidades características.

Esta combinación se efectuará probablemente en lo sucesivo mediante algún método fundado en la concepción de Lagrange; cuando esa importante labor filosófica se haya llevado a cabo, el estudio de las demás concepciones tendrá solo un interés histórico; pero, hasta entonces, la ciencia debe ser considerada como en un estado meramente provisional, que exige la consideración simultánea de todos los diversos modos de ver este cálculo.

Por ilógica que pueda parecer esta multiplicidad de concepciones sobre un mismo y único objeto, aun así, sin todas ellas, solo podríamos formarnos una idea muy insuficiente de este análisis, ya sea en sí mismo, o más especialmente en relación con sus aplicaciones. Esta falta de sistema en la parte más importante del análisis matemático no parecerá extraña si consideramos, por una parte, su gran extensión y su superior dificultad, y, por otra, su reciente formación.

# SU HISTORIA TEMPRANA.

Si tuviéramos que trazar aquí la historia sistemática de la formación sucesiva del análisis trascendental, sería necesario distinguir previamente con cuidado del cálculo de funciones indirectas, propiamente dicho, la idea original del método infinitesimal, que puede concebirse por sí mismo, independientemente de cualquier cálculo.

Debemos ver que el primer germen de esta idea se encuentra en el procedimiento empleado constantemente por los geómetras griegos, bajo el nombre de método de exhausción, como medio para pasar de las propiedades de las líneas rectas a las de las curvas, y que consiste esencialmente en sustituir la curva por la consideración auxiliar de un polígono inscrito o circunscrito, mediante el cual se elevaban a la curva misma, tomando de manera adecuada los límites de las razones primitivas.

Por incontestable que sea esta filiación de ideas, se le otorgaría una importancia sumamente exagerada si se viera en este método de exhausción el equivalente real de nuestros métodos modernos, como lo han hecho algunos geómetras; pues los antiguos no disponían de medios lógicos y generales para la determinación de estos límites, lo que constituía comúnmente la mayor dificultad del problema; de modo que sus soluciones no estaban sujeta a reglas abstractas e invariables cuya aplicación uniforme condujera con certeza al conocimiento buscado, lo cual es, por el contrario, la característica principal de nuestro análisis trascendental.

En una palabra, aún restaba la tarea de generalizar las concepciones empleadas por los antiguos y, más especialmente, considerándola de un modo puramente abstracto, de reducirla a un sistema completo de cálculo, lo cual para ellos era imposible.

La primera idea que se produjo en esta nueva dirección se remonta al gran geómetra Fermat, a quien Lagrange ha presentado con justicia como habiendo esbozado la formación directa del análisis trascendental mediante su método para la determinación de máximos y mínimos, y para el hallazgo de tangentes, el cual consistía esencialmente en introducir la consideración auxiliar de los incrementos correlativos de las variables propuestas, incrementos que luego se suprimían como iguales a cero una vez que las ecuaciones habían experimentado ciertas transformaciones adecuadas.

Pero, aunque Fermat fue el primero en concebir este análisis de una manera verdaderamente abstracta, este aún distaba mucho de estar regularmente formado en un cálculo general y distinto que tuviera su propia notación, y especialmente libre de la consideración superfluas de términos que, en el análisis de Fermat, finalmente no se tomaban en cuenta, después de haber complicado sin embargo enormemente todas las operaciones con su presencia.

Esto es lo que Leibniz ejecutó tan felizmente, medio siglo más tarde, tras algunas modificaciones intermedias de las ideas de Fermat introducidas por Wallis, y aún más por Barrow; y él ha sido así el verdadero creador del análisis trascendental, tal como lo empleamos hoy en día.

Este admirable descubrimiento estaba tan maduro (como todas las grandes concepciones del intelecto humano en el momento de su manifestación), que Newton, por su parte, había llegado, al mismo tiempo, o un poco antes, a un método exactamente equivalente, al considerar este análisis bajo un punto de vista muy diferente, el cual, aunque más lógico en sí mismo, se adapta en realidad menos a dar a todo el método fundamental la extensión y la facilidad que le han sido conferidas por las ideas de Leibnitz.

Finalmente, Lagrange, dejando a un lado las consideraciones heterogéneas que habían guiado a Leibniz y a Newton, ha logrado reducir el análisis trascendente, en su mayor perfección, a un sistema puramente algebraico, al que sólo le falta una mayor aptitud para sus aplicaciones prácticas.

Después de esta ojeada sumaria a la historia general del análisis trascendental, procederemos a la exposición dogmática de las tres concepciones principales, para apreciar con exactitud sus propiedades características y mostrar la identidad necesaria de los métodos que de ahí se derivan. Comencemos por el de Leibniz.

# MÉTODO DE LEIBNITZ.

Elementos infinitamente pequeños. Esto consiste en introducir en el cálculo, con el fin de facilitar el establecimiento de ecuaciones, los elementos infinitamente pequeños de los cuales se considera que están compuestas todas las cantidades cuyas relaciones se buscan.

Estos elementos o diferenciales tendrán ciertas relaciones entre sí, que son constante y necesariamente más simples y fáciles de descubrir que las de las cantidades primitivas, y por medio de las cuales se nos permitirá (mediante un cálculo especial que tiene por objeto peculiar la eliminación de estos infinitesimales auxiliares) volver a las ecuaciones deseadas, las cuales habría sido de lo más frecuente imposible obtener directamente.

Este análisis indirecto puede tener diferentes grados de indirectibilidad; pues, cuando hay demasiada dificultad para formar inmediatamente la ecuación entre los diferenciales de las magnitudes bajo consideración, habrá que hacer una segunda aplicación del mismo artificio general, y tratar estos diferenciales, a su vez, como nuevas cantidades primitivas, y buscar una relación entre sus elementos infinitamente pequeños (los cuales, con referencia a los objetos finales de la cuestión, serán segundos diferenciales), y así sucesivamente; admitiendo la misma transformación ser repetida cualquier número de veces, bajo la condición de eliminar finalmente el número constantemente creciente de cantidades infinitesimales introducidas como auxiliares.

Una persona que aún no esté familiarizada con estas consideraciones no percibe de inmediato cómo el empleo de estas cantidades auxiliares puede facilitar el descubrimiento de las leyes analíticas de los fenómenos; pues, al ser los incrementos infinitamente pequeños de las magnitudes propuestas de la misma especie que ellas, parecería que sus relaciones no deberían obtenerse con mayor facilidad, dado que el valor mayor o menor de una cantidad no puede, de hecho, ejercer influencia alguna en una investigación que es necesariamente independiente, por su naturaleza, de toda idea de valor.

Sin embargo, es fácil explicar con mucha claridad, y de un modo bastante general, hasta qué punto debe simplificarse la cuestión mediante tal artificio.

Para este propósito, es necesario comenzar distinguiendo diferentes órdenes de cantidades infinitamente pequeñas, de las cuales se puede obtener una idea muy precisa considerándolas ya sea como las potencias sucesivas de una misma cantidad infinitamente pequeña primitiva, o bien como cantidades que pueden considerarse con razones finitas respecto a estas potencias; de modo que, para tomar un ejemplo, los diferenciales segundo, tercero, etc., de cualquier variable se clasifican como cantidades infinitamente pequeñas del segundo orden, del tercero, etc., porque es fácil descubrir en ellos múltiplos finitos de las potencias segunda, tercera, etc., de cierto primer diferencial.

Establecidas estas ideas preliminares, el espíritu del análisis infinitesimal consiste en despreciar constantemente las cantidades infinitamente pequeñas en comparación con las cantidades finitas, y en general las cantidades infinitamente pequeñas de cualquier orden que sea en comparación con todas las de un orden inferior.

Se comprende enseguida cuánta libertad debe facilitar esto a la formación de ecuaciones entre los diferenciales de las cantidades, ya que, en lugar de estos diferenciales, podemos sustituir otros elementos que elijamos y que sean más simples de considerar, cuidando únicamente de ajustarnos a esta única condición: que los nuevos elementos difieran de los precedentes solo en cantidades infinitamente pequeñas en comparación con ellos.

Es así como será posible, en geometría, tratar las líneas curvas como compuestas por una infinidad de elementos rectilíneos, las superficies curvas como formadas por elementos planos, y, en la mecánica, los movimientos variables como una serie infinita de movimientos uniformes, que se suceden unos a otros en intervalos de tiempo infinitamente pequeños.

Ejemplos.

Considerando la importancia de esta admirable concepción, creo que debo completar aquí la ilustración de su carácter fundamental mediante la indicación sumaria de algunos ejemplos principales.

Tangentes. Sea requerido determinar, para cada punto de una curva plana, cuya ecuación viene dada, la dirección de su tangente; una cuestión cuya solución general fue el objeto primitivo de los inventores del análisis trascendente. Consideraremos la tangente como una secante que une dos puntos infinitamente próximos el uno al otro; y entonces, designando por dy y dx las diferencias infinitamente pequeñas de las coordenadas de esos dos puntos, los principios elementales de la geometría darán inmediatamente la ecuación t = dy/dx para la tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje de las abscisas la tangente deseada, siendo esta la manera más sencilla de fijar su posición en un sistema de coordenadas rectilíneas. Establecida esta ecuación, común a todas las curvas, la cuestión se reduce a un simple problema analítico, que consistirá en eliminar los infinitesimales dx y dy, introducidos como auxiliares, determinando en cada caso particular, mediante la ecuación de la curva propuesta, la razón de dy a dx, lo cual se hará constantemente por métodos uniformes y muy sencillos.

Rectificación de un arco.

En segundo lugar, supongamos que deseamos conocer la longitud del arco de cualquier curva, considerado como una función de las coordenadas de sus extremos. Sería imposible establecer directamente la ecuación entre este arco s y estas coordenadas, mientras que es fácil hallar la relación correspondiente entre los diferenciales de estas diferentes magnitudes.

Los teoremas más simples de la geometría elemental darán de hecho inmediatamente, considerando el arco infinitamente pequeño ds como una línea recta, las ecuaciones ds² = dy² + dx², o ds² = dx² + dy² + dz², según que la curva sea de simple o doble curvatura.

En cualquiera de los dos casos, la cuestión pertenece ya enteramente al dominio del análisis, el cual, mediante la eliminación de los diferenciales (que es el objeto peculiar del cálculo de las funciones indirectas), nos reconducirá desde esta relación a la que existe entre las propias cantidades finitas bajo examen.

Cuadratura de una curva. Lo mismo sucedería con la cuadratura de áreas curvilíneas. Si la curva es plana y está referida a coordenadas rectilíneas, concebiremos que el área A comprendida entre esta curva, el eje de las abscisas y dos coordenadas extremas, aumenta en una cantidad infinitamente pequeña dA, como resultado de un incremento correspondiente de la abscisa. La relación entre estos dos diferenciales se puede obtener inmediatamente con la mayor facilidad sustituyendo el elemento curvilíneo del área propuesta por el rectángulo formado por la ordenada extrema y el elemento de la abscisa, del cual evidentemente solo difiere en una cantidad infinitamente pequeña de segundo orden. Esto dará de inmediato, cualquiera que sea la curva, la ecuación diferencial muy simple dA = ydx, a partir de la cual, cuando la curva esté definida, el cálculo de funciones indirectas mostrará cómo deducir la ecuación finita, que es el objeto inmediato del problema.

Velocidad en el movimiento variable.

De igual manera, en Dinámica, cuando deseamos conocer la expresión de la velocidad adquirida en cada instante por un cuerpo impreso con un movimiento que varía según una ley cualquiera, consideraremos el movimiento como uniforme durante un elemento infinitamente pequeño del tiempo t, y formaremos así inmediatamente la ecuación diferencial de = vdt, en la que v designa la velocidad adquirida cuando el cuerpo ha recorrido el espacio e; y de ahí será fácil deducir, mediante procedimientos analíticos sencillos e invariables, la fórmula que daría la velocidad en cada movimiento particular, de acuerdo con la relación correspondiente entre el tiempo y el espacio; o, recíprocamente, cuál sería esta relación si se supusiera conocido el modo de variación de la velocidad, ya sea con respecto al espacio o al tiempo.

Distribución del calor.

Por último, para indicar otra clase de cuestiones, es mediante pasos similares como podemos, en el estudio de los fenómenos termológicos, según la feliz concepción del Sr. Fourier, formar de un modo muy sencillo la ecuación diferencial general que expresa la distribución variable del calor en cualquier cuerpo que sea, sometido a cualesquiera influencias, mediante la relación única y fácilmente obtenida que representa la distribución uniforme del calor en un paralelepípedo rectángulo, considerando (geométricamente) cualquier otro cuerpo como descompuesto en elementos infinitamente pequeños de una forma similar, y (termológicamente) el flujo del calor como constante durante un elemento de tiempo infinitamente pequeño.

En adelante, todas las cuestiones que pueda plantear la termología abstracta se reducirán, al igual que en la geometría y en la mecánica, a meras dificultades de análisis, las cuales consistirán siempre en la eliminación de los diferenciales introducidos como auxiliares para facilitar el establecimiento de las ecuaciones.

Ejemplos de naturalezas tan diversas son más que suficientes para dar una clara idea general de la inmensa amplitud de la concepción fundamental del análisis trascendental tal como fue formado por Leibniz, constituyendo, como sin duda lo hace, el pensamiento más elevado al que la mente humana ha accedido hasta ahora.

Es evidente que esta concepción era indispensable para completar los cimientos de la ciencia matemática, al permitirnos establecer, de un modo amplio y fructífero, la relación de lo concreto con lo abstracto.

A este respecto debe ser considerada como el complemento necesario de la gran idea fundamental de Descartes sobre la representación analítica general de los fenómenos naturales: una idea que no empezó a ser dignamente apreciada y empleada de manera adecuada hasta después de la formación del análisis infinitesimal, sin el cual no habría podido producir, ni siquiera en geometría, resultados muy importantes.

Generalidad de las fórmulas.

Además de la admirable facilidad que proporciona el análisis trascendental para la investigación de las leyes matemáticas de todos los fenómenos, una segunda propiedad fundamental e inherente, quizás tan importante como la primera, es la extrema generalidad de las fórmulas diferenciales, que expresan en una sola ecuación cada fenómeno determinado, por muy variados que sean los temas en relación con los cuales se considere.

Así vemos, en los ejemplos precedentes, que una sola ecuación diferencial da las tangentes de todas las curvas, otra sus rectificaciones, una tercera sus cuadraturas; y del mismo modo, una fórmula invariable expresa la ley matemática de cada movimiento variable; y, finalmente, una sola ecuación representa constantemente la distribución del calor en cualquier cuerpo y para cualquier caso.

Esta generalidad, que es tan sumamente notable y que constituye para los geómetras la base de las consideraciones más elevadas, es una consecuencia afortunada y necesaria del espíritu mismo del análisis trascendental, especialmente en la concepción de Leibniz.

Así el análisis infinitesimal no solo ha proporcionado un método general para formar indirectamente ecuaciones que hubiera sido imposible descubrir de un modo directo, sino que también nos ha permitido considerar, para el estudio matemático de los fenómenos naturales, un nuevo orden de leyes más generales, que sin embargo presentan una significación clara y precisa a toda mente habituada a su interpretación.

En virtud de esta segunda propiedad característica, el sistema entero de una ciencia inmensa, como la geometría o la mecánica, se ha condensado en un pequeño número de fórmulas analíticas, a partir de las cuales la mente humana puede deducir, mediante reglas ciertas e invariables, la solución de todos los problemas particulares.

Demostración del método. Para completar la exposición general de la concepción de Leibniz, falta por considerar la demostración del procedimiento lógico al que conduce, y esta, por desgracia, es la parte más imperfecta de este hermoso método.

Al principio del análisis infinitesimal, los geómetras más célebres concedieron con razón más importancia a extender el inmortal descubrimiento de Leibniz y a multiplicar sus aplicaciones que a establecer rigurosamente las bases lógicas de sus operaciones.

Se contentaron durante mucho tiempo con responder a las objeciones de los geómetras de segundo orden con la solución inesperada de los problemas más difíciles; sin duda persuadidos de que en la ciencia matemática, mucho más que en cualquier otra, podemos acoger audazmente los nuevos métodos, incluso cuando su explicación racional es imperfecta, siempre que sean fructíferos en resultados, puesto que sus verificaciones, mucho más fáciles y numerosas, no permitirían que ningún error permaneciera oculto por mucho tiempo.

Pero este estado de cosas no podía durar mucho, y fue necesario retroceder hasta los cimientos mismos del análisis de Leibniz para probar, de manera perfectamente general, la rigurosa exactitud de los procedimientos empleados en este método, a pesar de las aparentes infracciones a las reglas ordinarias del razonamiento que este permitía.

Leibnitz, instado a responder, había presentado una explicación enteramente errónea, diciendo que trataba las cantidades infinitamente pequeñas como incomparables, y que las desdeñaba en comparación con las cantidades finitas, «como granos de arena en comparación con el mar»: un punto de vista que habría cambiado por completo la naturaleza de su análisis al reducirlo a un mero cálculo aproximativo, el cual, bajo este aspecto, habría sido radicalmente vicioso, puesto que habría sido imposible prever, en general, hasta qué punto las operaciones sucesivas podían incrementar estos primeros errores, los cuales habrían podido alcanzar así cualquier magnitud.

Leibnitz, pues, no vio, salvo de manera muy confusa, los verdaderos fundamentos lógicos del análisis que había creado. Sus primeros sucesores se limitaron, al principio, a verificar su exactitud mostrando la conformidad de sus resultados, en aplicaciones particulares, con los obtenidos por el álgebra ordinaria o la geometría de los antiguos; reproduciendo, según los métodos antiguos, en la medida de lo posible, las soluciones de algunos problemas una vez que habían sido obtenidas por el nuevo método, el único capaz de descubrirlas en primer lugar.

Cuando esta gran cuestión fue considerada de un modo más general, los geómetras, en lugar de atacar directamente la dificultad, prefirieron eludirla de algún modo, como lo han hecho Euler y D'Alembert, por ejemplo, demostrando la conformidad necesaria y constante de la concepción de Leibniz, considerada en todas sus aplicaciones, con otras concepciones fundamentales del análisis trascendental, especialmente la de Newton, cuya exactitud estaba libre de toda objeción. Tal verificación general es sin duda estrictamente suficiente para disipar cualquier incertidumbre sobre el empleo legítimo del análisis de Leibniz. Pero el método infinitesimal es tan importante —y ofrece todavía, en casi todas sus aplicaciones, tan gran superioridad práctica sobre las otras concepciones generales que se han propuesto sucesivamente— que habría una imperfección real en el carácter filosófico de la ciencia si esta no pudiera justificarse a sí misma, y necesitara fundarse lógicamente en consideraciones de otro orden, que entonces dejarían de emplearse.

Era, pues, de verdadera importancia establecer directa y de manera general la racionalidad necesaria del método infinitesimal. Tras varios intentos más o menos imperfectos, un geómetra distinguido, Carnot, presentó por fin la verdadera explicación lógica directa del método de Leibniz, al mostrar que se funda en el principio de la compensación necesaria de errores, siendo esta, de hecho, la manifestación precisa y luminosa de lo que Leibniz había percibido de manera vaga y confusa.

Carnot ha prestado así a la ciencia un servicio esencial, aunque, como veremos hacia el final de este capítulo, todo este andamiaje lógico del método infinitesimal, propiamente dicho, es muy probablemente susceptible de una existencia meramente provisional, en la medida en que es radicalmente vicioso en su naturaleza.

Aun así, no debemos dejar de observar el sistema general de razonamiento propuesto por Carnot para legitimar directamente el análisis de Leibniz. He aquí su sustancia:

Al establecer la ecuación diferencial de un fenómeno, sustituimos, por los elementos inmediatos de las distintas cantidades consideradas, otros infinitésimos más simples, que difieren de ellos infinitamente poco en comparación con ellos; y esta sustitución constituye el artificio principal del método de Leibniz, que sin él no poseería ninguna facilidad real para la formación de ecuaciones.

Carnot considera que dicha hipótesis produce en realidad un error en la ecuación así obtenida, y al que por esta razón denomina imperfecto; solo que es evidente que este error debe ser infinitamente pequeño.

Ahora bien, por otra parte, todas las operaciones analíticas, ya sean de diferenciación o de integración, que se realizan sobre estas ecuaciones diferenciales, con el fin de elevarlas a ecuaciones finitas mediante la eliminación de todos los infinitesimales que se han introducido como auxiliares, producen tan constantemente, por su naturaleza, como es fácil de ver, otros errores análogos, de modo que tiene lugar una compensación exacta y las ecuaciones finales, en palabras de Carnot, se vuelven perfectas.

Carnot ve, como indicio cierto e invariable del establecimiento real de esta compensación necesaria, la eliminación completa de las diversas cantidades infinitamente pequeñas, que es siempre, de hecho, el objeto final de todas las operaciones del análisis trascendental; pues si no hemos cometido más infracciones de las reglas generales del razonamiento que las exigidas así por la naturaleza misma del método infinitesimal, los errores infinitamente pequeños así producidos no habrán podido engendrar más que errores infinitamente pequeños en todas las ecuaciones, y las relaciones son necesariamente de una rigorosa exactitud tan pronto como existen únicamente entre cantidades finitas, ya que los únicos errores entonces posibles deben ser finitos, mientras que ninguno de estos ha podido introducirse.

Todo este razonamiento general se funda en la concepción de las cantidades infinitesimales, consideradas como decrecientes indefinidamente, mientras que aquellas de las que derivan se consideran fijas.

Ilustración de Tangents.

Así, para ilustrar esta exposición abstracta con un solo ejemplo, retomemos la cuestión de las tangentes, que es la más fácil de analizar por completo.

Consideraremos la ecuación t = dy/dx, obtenida anteriormente, como afectada por un error infinitamente pequeño, ya que solo sería perfectamente rigurosa para la secante.

Ahora completemos la solución buscando, según la ecuación de cada curva, la razón entre los diferenciales de las coordenadas.

Si suponemos que esta ecuación es y = ax², evidentemente tendremos dy = 2axdx + adx².

En esta fórmula tendremos que despreciar el término dx² como una cantidad infinitamente pequeña de segundo orden.

Luego, la combinación de las dos ecuaciones imperfectas.

t = dy/dx, dy = 2ax(dx), siendo suficiente para eliminar por completo los infinitésimos, el resultado finito, t = 2ax, será necesariamente rigurosamente correcto, por efecto de la exacta compensación de los dos errores cometidos; puesto que, por su naturaleza finita, no puede estar afectado por un error infinitamente pequeño, y este es, sin embargo, el único que podría tener, según el espíritu de las operaciones que se han ejecutado.

Sería fácil reproducir de manera uniforme el mismo razonamiento con referencia a todas las demás aplicaciones generales del análisis de Leibnitz.

Esta ingeniosa teoría es sin duda más sutil que sólida, si la examinamos con mayor detenimiento; pero en realidad no tiene otro defecto lógico radical que el del método infinitesimal mismo, del cual es, según me parece, el desarrollo natural y la explicación general, de modo que debe ser adoptada durante todo el tiempo que se considere oportuno emplear directamente este método.

Paso ahora a la exposición general de las otras dos concepciones fundamentales del análisis trascendental, limitándome en cada una a su idea principal, pues el carácter filosófico del análisis ha quedado suficientemente determinado más arriba en el examen de la concepción de Leibniz, en la que me he detenido especialmente porque permite ser comprendida más fácilmente en su conjunto y descrita con mayor rapidez.

# MÉTODO DE NEWTON.

Newton ha presentado sucesivamente su propio método de concebir el análisis trascendental bajo varias formas diferentes. El que hoy en día es más comúnmente adoptado fue designado por Newton, a veces bajo el nombre de Método de las razones primeras y últimas, a veces bajo el de Método de los límites.

Método de los límites. El espíritu general del análisis trascendente, desde este punto de vista, consiste en introducir como auxiliares, en lugar de las cantidades primitivas, o conjuntamente con ellas, con el fin de facilitar el establecimiento de las ecuaciones, los límites de las razones de los incrementos simultáneos de estas cantidades; o, en otras palabras, las razones últimas de dichos incrementos; límites o razones últimas de los cuales es fácil demostrar que poseen un valor determinado y finito.

Un cálculo especial, que es el equivalente del cálculo infinitesimal, se emplea entonces para pasar de las ecuaciones entre estos límites a las ecuaciones correspondientes entre las cantidades primitivas mismas.

El poder que confiere semejante análisis, el de expresar con mayor facilidad las leyes matemáticas de los fenómenos, depende en general de esto: que, puesto que el cálculo se aplica, no a los incrementos mismos de las cantidades propuestas, sino a los límites de las razones de dichos incrementos, siempre podemos sustituir por cada incremento cualquier otra magnitud más fácil de considerar, con tal de que su razón final sea la razón de igualdad, o, en otras palabras, que el límite de su razón sea la unidad. Es claro, en efecto, que el cálculo de límites no se vería alterado en modo alguno por esta sustitución. Partiendo de este principio, hallamos casi el equivalente de las facilidades que ofrece el análisis de Leibniz, las cuales son concebidas entonces meramente bajo otro punto de vista. Así, las curvas serán consideradas como los límites de una serie de polígonos rectilíneos, los movimientos variables como los límites de una colección de movimientos uniformes de duraciones constantemente decrecientes, y así sucesivamente.

Ejemplos. 1. Tangentes. Supongamos, por ejemplo, que deseamos determinar la dirección de la tangente a una curva; la consideraremos como el límite hacia el cual tendería una secante, que debe girar alrededor del punto dado de modo que su segundo punto de intersección se aproxime indefinidamente al primero. Representando las diferencias de las coordenadas de los dos puntos por Δy y Δx, tendríamos en cada instante, para la tangente trigonométrica del ángulo que la secante forma con el eje de abscisas, t = Δy/Δx;

de la cual, tomando los límites, obtendremos, en relación con la propia tangente, esta fórmula general del análisis trascendente, t = L(Δy/Δx), empleándose la característica L para designar el límite.

El cálculo de las funciones indirectas mostrará cómo deducir de esta fórmula en cada caso particular, cuando se da la ecuación de la curva, la relación entre t y x, eliminando las cantidades auxiliares que se han introducido. Si suponemos, para completar la solución, que la ecuación de la curva propuesta es y = ax², tendremos evidentemente

Δy = 2axΔx + a(Δx)², de donde obtendremos

Δy/Δx = 2ax + aΔx.

Ahora resulta evidente que el límite hacia el cual tiende el segundo número, a medida que Δx disminuye, es 2ax.

Hallaremos, por lo tanto, por este método, t = 2ax, tal como lo obtuvimos para el mismo caso mediante el método de Leibnitz.

Rectificaciones.

De igual manera, cuando se desea la rectificación de una curva, debemos sustituir el incremento del arco $s$ por la cuerda de este incremento, la cual evidentemente tiene tal conexión con él que el límite de su razón es la unidad; y entonces hallamos (siguiendo por lo demás el mismo plan que con el método de Leibniz) esta ecuación general de las rectificaciones:

(LΔs/Δx)² = 1 + (LΔy/Δx)²,

or (LΔs/Δx)² = 1 + (LΔy/Δx)² + (LΔz/Δx)², according as the curve is plane or of double curvature.

It will now be necessary, for each particular curve, to pass from this equation to that between the arc and the abscissa, which depends on the transcendental calculus properly so called.

Podríamos tratar, con la misma facilidad, mediante el método de los límites, todas las demás cuestiones generales cuya solución ya ha sido indicada según el método infinitesimal.

Tal es, en esencia, la concepción que Newton formó para el análisis trascendental, o, más precisamente, la que Maclaurin y D'Alembert han presentado como la base más racional de dicho análisis, al buscar fijar y ordenar las ideas de Newton sobre el tema.

Fluxiones y Fluentes.

Otra forma distinta bajo la cual Newton ha presentado este mismo método debe señalarse aquí, y merece particularmente fijar nuestra atención, tanto por su ingeniosa claridad en algunos casos como por haber proporcionado la notación más adecuada a este modo de ver el análisis trascendente y, además, por haber sido hasta hace poco la forma especial del cálculo de funciones indirectas comúnmente adoptada por los geómetras ingleses. Me refiero al cálculo de fluxiones y de fluentes, fundamentado en la idea general de velocidades.

Para facilitar la concepción de la idea fundamental, consideremos toda curva como generada por un punto impreso con un movimiento que varía según una ley cualquiera.

Las diferentes cantidades que la curva puede presentar, la abscisa, la ordenada, el arco, el área, etc., serán consideradas como producidas simultáneamente por grados sucesivos durante este movimiento. La velocidad con la que cada una habrá sido descrita será llamada la fluxión de dicha cantidad, la cual será llamada inversamente su fluente.

En adelante, el análisis trascendental consistirá, según esta concepción, en formar directamente las ecuaciones entre las fluxions de las cantidades propuestas, para deducir de ahí, mediante un cálculo especial, las ecuaciones entre los fluentes mismos.

Lo que se ha expuesto respecto a las curvas puede, además, aplicarse evidentemente a cualesquiera magnitudes, consideradas, con la ayuda de imágenes adecuadas, como producidas por el movimiento.

Es fácil comprender la identidad general y necesaria de este método con el de los límites complicado con la idea ajena del movimiento.

En realidad, retomando el caso de la curva, si suponemos, como evidentemente siempre podemos hacer, que el movimiento del punto descritor es uniforme en una cierta dirección, la de la abscisa, por ejemplo, entonces la fluxión de la abscisa será constante, como el elemento del tiempo; para todas las demás cantidades generadas, el movimiento no puede concebirse como uniforme, excepto durante un tiempo infinitesimal.

Ahora bien, siendo la velocidad, en general, según su concepción mecánica, la razón de cada espacio al tiempo empleado en recorrerlo, y siendo este tiempo aquí proporcional al incremento de la abscisa, se sigue que las fluxiones de la ordenada, del arco, del área, etc., no son en realidad otra cosa (rechazando la consideración intermedia del tiempo) que las razones últimas de los incrementos de estas diferentes cantidades al incremento de la abscisa.

Este método de las fluxiones y fluentes es, por tanto, en realidad, solo una manera de representar, mediante una comparación tomada de la mecánica, el método de las razones primeras y últimas, el cual es el único que puede reducirse a un cálculo. Es evidente, pues, que ofrece las mismas ventajas generales en las diversas aplicaciones principales de la análisis trascendental, sin que sea necesario presentar pruebas especiales de ello.

# MÉTODO DE LAGRANGE.

Funciones derivadas. La concepción de Lagrange, en su admirable simplicidad, consiste en representar el análisis trascendental como un gran artificio algebraico, mediante el cual, con el fin de facilitar el establecimiento de ecuaciones, introducimos, en lugar de las funciones primitivas, o conjuntamente con ellas, sus funciones derivadas; esto es, según la definición de Lagrange, el coeficiente del primer término del incremento de cada función, ordenado según las potencias ascendentes del incremento de su variable. El cálculo especial de las funciones indirectas tiene por objeto constante, aquí así como en las concepciones de Leibniz y de Newton, eliminar estas derivadas que han sido empleadas de este modo como auxiliares, para deducir de sus relaciones las ecuaciones correspondientes entre las magnitudes primitivas.

Una prolongación del Análisis ordinario.

El análisis trascendental no es, por tanto, sino una simple aunque muy considerable prolongación del análisis ordinario. Los geómetras están habituados desde hace mucho tiempo a introducir en las investigaciones analíticas, en lugar de las magnitudes mismas que deseaban estudiar, sus diferentes potencias, o sus logaritmos, o sus senos, etc., con el fin de simplificar las ecuaciones, y aun de obtenerlas con mayor facilidad.

Esta derivación sucesiva es un artificio de la misma naturaleza, solo que de mayor extensión, y que procura, en consecuencia, recursos mucho más importantes para este objeto común.

Pero, aunque podemos concebir fácilmente, a priori, que la consideración auxiliar de estas derivadas puede facilitar el establecimiento de las ecuaciones, no es fácil explicar por qué esto debe seguirse necesariamente de este modo de derivación más que de cualquier otra transformación.

Tal es el punto débil de la gran idea de Lagrange. Las ventajas precisas de este análisis no pueden comprenderse todavía de manera abstracta, sino únicamente demostrarse considerando por separado cada cuestión principal, de modo que la comprobación resulta a menudo sumamente laboriosa.

Ejemplo. Tangentes.

Este modo de concebir el análisis trascendental puede ilustrarse mejor mediante su aplicación al más simple de los problemas examinados anteriormente: el de las tangentes.

En vez de concebir la tangente como la prolongación del elemento infinitamente pequeño de la curva, según la noción de Leibniz —o como el límite de las secantes, según las ideas de Newton—, Lagrange la considera, según su simple carácter geométrico, análogo a las definiciones de los antiguos, como una línea recta tal que ninguna otra línea recta puede pasar por el punto de contacto entre ella y la curva.

Luego, para determinar su dirección, debemos buscar la expresión general de su distancia a la curva, medida en cualquier dirección que sea —en la de la ordenada, por ejemplo— y disponer de la constante arbitraria relativa a la inclinación de la línea recta, que necesariamente entrará en esa expresión, de tal manera que se disminuya esa separación tanto como sea posible.

Ahora bien, esta distancia, siendo evidentemente igual a la diferencia de las dos ordenadas de la curva y de la línea recta, que corresponden a la misma abscisa nueva x + h, estará representada por la fórmula (f'(x) - t)h + qh² + rh³ + etc., en la que t designa, como antes, la tangente trigonométrica desconocida del ángulo que la línea requerida forma con el eje de abscisas, y f'(x) la función derivada de la ordenada f(x).

Comprendido esto, es fácil ver que, al disponer de t de modo que el primer término de la fórmula precedente sea igual a cero, haremos que el intervalo entre las dos líneas sea el menor posible, de modo que cualquier otra línea para la cual t no tuviera el valor así determinado se apartaría necesariamente más de la curva propuesta.

Tenemos, pues, para la dirección de la tangente buscada, la expresión general t = f'(x), un resultado exactamente equivalente a los proporcionados por el Método Infinitesimal y el Método de los Límites. Aún nos queda por hallar f'(x) en cada curva en particular, lo cual es una mera cuestión de análisis, totalmente idéntica a las que se presentan, en esta etapa de las operaciones, mediante los otros métodos.

Tras estas consideraciones sobre las principales concepciones generales, no necesitamos detenernos a examinar otras teorías propuestas, como el Cálculo de las cantidades que anulan de Euler, que son en realidad modificaciones —más o menos importantes y, por lo demás, ya no utilizadas— de los métodos precedentes.

Me toca ahora establecer la comparación y la apreciación de estos tres métodos fundamentales. Su perfecta y necesaria conformidad debe demostrarse primero de manera general.

# IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS TRES MÉTODOS.

Es, en primer lugar, evidente por lo que precede, considerando estos tres métodos en cuanto a su destino real, independientemente de sus ideas preliminares, que todos consisten en el mismo artificio lógico general, que ha sido caracterizado en el primer capítulo; a saber, la introducción de cierto sistema de magnitudes auxiliares, que guardan relaciones uniformes con aquellas que son los objetos especiales de la investigación, y sustituidas por ellas expresamente para facilitar la expresión analítica de las leyes matemáticas de los fenómenos, aunque finalmente deban ser eliminadas con la ayuda de un cálculo especial.

Es esto lo que me ha determinado a definir regularmente el análisis trascendental como el cálculo de las funciones indirectas, con el fin de señalar su verdadero carácter filosófico, evitando al mismo tiempo cualquier discusión sobre el modo mejor de concebirlo y aplicarlo.

El efecto general de este análisis, cualquiera que sea el método empleado, es, pues, reducir toda cuestión matemática con mucha mayor prontitud al dominio del cálculo, y disminuir así considerablemente la seria dificultad que por lo general presenta el paso de lo concreto a lo abstracto.

Por más progresos que podamos hacer, jamás podemos esperar que el cálculo sea capaz de abarcar todas las cuestiones de filosofía natural, ya sean geométricas, mecánicas, termológicas, etc., inmediatamente en su nacimiento, lo que evidentemente implicaría una contradicción.

Todo problema exigirá constantemente que se realice un cierto trabajo preliminar, en el cual el cálculo no puede ser de ninguna ayuda y que, por su naturaleza, no puede someterse a reglas abstractas e invariables; es el que tiene por objeto especial el establecimiento de ecuaciones, las cuales constituyen el punto de partida indispensable de todas las investigaciones analíticas.

Pero esta labor preliminar ha sido notablemente simplificada por la creación del análisis trascendental, que ha apresurado así el momento en el que la solución admite la aplicación uniforme y precisa de métodos generales y abstractos; al reducir, en cada caso, esta labor especial a la investigación de ecuaciones entre las magnitudes auxiliares; a partir de las cuales el cálculo conduce luego a ecuaciones que se refieren directamente a las magnitudes propuestas, las cuales, antes de esta admirable concepción, había sido necesario establecer directa y separadamente.

Ya sean estas ecuaciones indirectas ecuaciones diferenciales, según la idea de Leibniz, o ecuaciones de límites, conforme a la concepción de Newton, o, por último, ecuaciones derivadas, según la teoría de Lagrange, el procedimiento general es evidentemente siempre el mismo.

Pero la coincidencia de estos tres métodos principales no se limita al efecto común que producen; existe, además, en el modo mismo de obtenerlo.

En efecto, no solo los tres consideran, en lugar de las magnitudes primitivas, ciertas magnitudes auxiliares, sino que, además, las cantidades así introducidas como subsidiarias son exactamente idénticas en los tres métodos, los cuales, por consiguiente, solo difieren en la manera de considerarlas.

Esto puede demostrarse fácilmente tomando como término general de comparación cualquiera de las tres concepciones, especialmente la de Lagrange, que es la más adecuada para servir de tipo, por estar más libre de consideraciones ajenas.

¿No es evidente, por la propia definición de las funciones derivadas, que no son otra cosa que lo que Leibnitz llama coeficientes diferenciales, o las razones del diferencial de cada función al de la variable correspondiente, puesto que, al determinar el primer diferencial, nos veremos obligados, por la propia naturaleza del método infinitesimal, a limitarnos a tomar el único término del incremento de la función que contiene la primera potencia del incremento infinitamente pequeño de la variable?

De la misma manera, ¿no es la función derivada, por su naturaleza, asimismo el límite necesario hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función primitiva y el de su variable, a medida que este último disminuye indefinidamente, ya que expresa evidentemente en qué se convierte dicha razón cuando suponemos que el incremento de la variable es igual a cero?

Aquello que es designado por dx/dy en el método de Leibniz; aquello que debe ser anotado como L(Δy/Δx) en el de Newton; y aquello que Lagrange ha indicado por f'(x), es constantemente una misma función, vista desde tres puntos de vista diferentes, consistiendo propiamente las consideraciones de Leibniz y Newton en dar a conocer dos propiedades generales necesarias de la función derivada.

El análisis trascendental, examinado abstractamente y en su principio, es pues siempre el mismo, cualquiera que sea la concepción que se adopte, y los procedimientos del cálculo de las funciones indirectas son necesariamente idénticos en estos diferentes métodos, los cuales del mismo modo deben, para cualquier aplicación que sea, conducir constantemente a resultados rigurosamente uniformes.

# VALOR COMPARATIVO DE LOS TRES MÉTODOS.

Si ahora nos esforzamos en estimar el valor comparativo de estas tres concepciones equivalentes, hallaremos en cada una ventajas e inconvenientes que le son propios, y que todavía impiden a los geómetras confinarse a una sola de ellas, considerada como definitiva.

El de Leibniz. La concepción de Leibniz presenta incontestablemente, en todas sus aplicaciones, una superioridad muy marcada, al conducir de una manera mucho más rápida, y con mucho menos esfuerzo mental, a la formación de ecuaciones entre las magnitudes auxiliares. A su uso debemos la alta perfección que han adquirido todas las teorías generales de la geometría y de la mecánica.

Cualesquiera que sean las diferentes opiniones especulativas de los geómetras respecto al método infinitesimal, desde un punto de vista abstracto, todos coinciden tácitamente en emplearlo preferentemente, tan pronto como han de tratar una nueva cuestión, para no complicar la dificultad necesaria con este obstáculo puramente artificial procedente de una obstinación mal situada en adoptar un rumbo menos expeditivo.

El propio Lagrange, después de haber reconstruido el análisis trascendental sobre nuevas bases, ha rendido (con esa noble franqueza que tan bien convenía a su genio) un homenaje rotundo y decisivo a las propiedades características de la concepción de Leibniz, al seguirla exclusivamente en todo el sistema de su Méchanique Analytique. Un hecho semejante hace innecesario cualquier comentario.

Pero cuando consideramos la concepción de Leibniz en sí misma y en sus relaciones lógicas, no podemos dejar de admitir, con Lagrange, que es radicalmente viciosa en esto: que, adoptando sus propias expresiones, la noción de cantidades infinitamente pequeñas es una idea falsa, de la cual es en realidad imposible obtener una concepción clara, por mucho que podamos engañarnos en este asunto. Aun si adoptamos la ingeniosa idea de la compensación de errores, tal como se ha explicado anteriormente, esto entraña el inconveniente radical de vernos obligados a distinguir en las matemáticas dos clases de razonamientos: aquellos que son perfectamente rigurosos y aquellos en los que cometemos deliberadamente errores que posteriormente han de ser compensados. Una concepción que conduce a semejantes consecuencias es indudablemente muy insatisfactoria desde el punto de vista lógico.

Decir, como hacen algunos geómetras, que es posible en todos los casos reducir el método infinitesimal al de los límites, cuyo carácter lógico es irreproachable, equivaldría evidentemente a eludir la dificultad más que a resolverla; además, semejante transformación despoja casi por completo a la concepción de Leibniz de sus ventajas esenciales de facilidad y rapidez.

Finalmente, aun prescindiendo de las importantes consideraciones precedentes, el método infinitesimal no presentaría con menor evidencia, por su propia naturaleza, el gravísimo defecto de romper la unidad de las matemáticas abstractas al crear un análisis trascendental fundado en principios tan diferentes de aquellos que forman la base del análisis ordinario.

Esta división del análisis en dos mundos casi enteramente independientes el uno del otro tiende a dificultar la formación de concepciones analíticas verdaderamente generales. Para apreciar plenamente las consecuencias de esto, tendríamos que remontarnos al estado de la ciencia antes de que Lagrange hubiera establecido una armonía general y completa entre estas dos grandes secciones.

La de Newton. Pasando ahora a la concepción de Newton, es evidente que por su naturaleza no está expuesta a las objeciones lógicas fundamentales que suscita el método de Leibniz. La noción de límites es, de hecho, notable por su simplicidad y su precisión.

En el análisis trascendental presentado de este modo, las ecuaciones se consideran exactas desde su mismo origen, y las reglas generales del razonamiento se observan con tanta constancia como en el análisis ordinario. Pero, por otra parte, dista mucho de ofrecer recursos tan poderosos para la solución de problemas como el método infinitesimal.

La obligación que impone de no considerar nunca los incrementos de las magnitudes por separado y en sí mismos, ni siquiera en sus razones, sino únicamente en los límites de esas razones, retarda considerablemente las operaciones de la mente en la formación de ecuaciones auxiliares. Puede decirse incluso que obstaculiza en gran medida las transformaciones puramente analíticas.

Así, el análisis trascendental, considerado independientemente de sus aplicaciones, dista mucho de presentar en este método la extensión y la generalidad que le ha imprimido la concepción de Leibniz. Es muy difícil, por ejemplo, extender la teoría de Newton a funciones de varias variables independientes. Pero es especialmente con respecto a sus aplicaciones donde se manifiesta con más fuerza la inferioridad relativa de esta teoría.

Varios geómetras continentales, al adoptar el método de Newton como la base más lógica del análisis trascendental, han disimulado parcialmente esta inferioridad mediante una grave incoherencia, que consiste en aplicar a este método la notación inventada por Leibnitz para el método infinitesimal, y que en realidad es apropiada solo para este último.

Al designar mediante dy/dx aquello que lógicamente debería, en la teoría de límites, denotarse por L(Δy/Δx), y al extender a todas las demás concepciones analíticas este desplazamiento de signos, pretendieron, indudablemente, combinar las ventajas especiales de ambos métodos; pero, en realidad, solo han logrado provocar una viciosa confusión entre ellos, cuya familiaridad obstaculiza la formación de ideas claras y exactas de cualquiera de los dos. Ciertamente sería singular, considerando este uso en sí mismo, que, por el mero medio de signos, fuera posible efectuar una verdadera combinación entre dos teorías tan distintas como las que aquí se consideran.

Finalmente, el método de límites presenta también, aunque en menor grado, el gran inconveniente que he señalado más arriba en referencia al método infinitesimal, de establecer una separación total entre el análisis ordinario y el trascendente; pues la idea de límites, aunque clara y rigurosa, no deja de ser en sí misma, como ha observado Lagrange, una idea extraña, de la cual las teorías analíticas no deberían depender.

El de Lagrange. Esta perfecta unidad del análisis, y este carácter puramente abstracto de sus nociones fundamentales, se encuentran en el más alto grado en la concepción de Lagrange, y se encuentran allí únicamente; es, por esta razón, la más racional y la más filosófica de todas.

Eliminando cuidadosamente toda consideración heterogénea, Lagrange ha reducido el análisis trascendental a su verdadero carácter peculiar, el de presentar una clase muy extensa de transformaciones analíticas, que facilitan en un grado notable la expresión de las condiciones de diversos problemas.

Al mismo tiempo, este análisis se presenta así necesariamente como una simple extensión del análisis ordinario; es tan solo un álgebra superior. Todas las diferentes partes de las matemáticas abstractas, anteriormente tan incoherentes, pudieron desde ese momento concebirse como formando un solo sistema.

Desgraciadamente, esta concepción, que posee propiedades tan fundamentales, independientemente de su notación tan simple y lúcida, y que sin duda está destinada a convertirse en la teoría definitiva del análisis trascendental, debido a su elevada superioridad filosófica sobre todos los demás métodos propuestos, presenta en su estado actual demasiadas dificultades en sus aplicaciones, en comparación con la concepción de Newton, y más aún con la de Leibniz, como para ser adoptada todavía de manera exclusiva.

El propio Lagrange solo ha conseguido con gran dificultad redescubrir, mediante su método, los principales resultados ya obtenidos por el método infinitesimal para la solución de las cuestiones generales de geometría y mecánica; podemos juzgar a partir de ahí qué obstáculos se encontrarían al tratar de la misma manera cuestiones verdaderamente nuevas e importantes.

Es verdad que Lagrange, en varias ocasiones, ha demostrado que las dificultades suscitan, en los hombres de genio, esfuerzos superiores, capaces de conducir a los mayores resultados. Fue así como, al intentar adaptar su método al examen de la curvatura de las líneas, que parecía tan poco propicia para admitir su aplicación, llegó a esa hermosa teoría de los contactos que ha perfeccionado en gran medida esa importante parte de la geometría.

Pero, a pesar de tan felices excepciones, la concepción de Lagrange no ha dejado de ser, en su conjunto, esencialmente inadecuada para las aplicaciones.

El resultado final de la comparación general que he esbozado demasiado brevemente es, pues, como ya se ha sugerido, que, para comprender realmente el análisis trascendental, no debemos considerarlo únicamente en sus principios según las tres concepciones fundamentales de Leibniz, de Newton y de Lagrange, sino que debemos además acostumbrarnos a llevar a cabo casi indiferentemente, según estos tres principales métodos, y especialmente según el primero y el último, la resolución de todas las cuestiones importantes, ya sea del cálculo puro de las funciones indirectas o de sus aplicaciones.

Este es un curso que no podría recomendar con demasiada fuerza a todos aquellos que deseen juzgar filosóficamente esta admirable creación del espíritu humano, así como a aquellos que deseen aprender a hacer uso de este poderoso instrumento con éxito y con facilidad.

En todas las demás partes de la ciencia matemática, la consideración de diferentes métodos para una sola clase de cuestiones puede ser útil, incluso independientemente de su interés histórico, pero no es indispensable; aquí, por el contrario, es estrictamente necesaria.

Habiendo determinado con precisión, en este capítulo, el carácter filosófico del cálculo de funciones indirectas, según las principales concepciones fundamentales de las que admite, debemos considerar a continuación, en el capítulo siguiente, la división lógica y la composición general de este cálculo.