cada una a su vez podrá ser determinada indirectamente por medio de las demás; y esto presentará tantas cuestiones matemáticas distintas como magnitudes coexistan en el fenómeno bajo consideración.
Un cambio tan sumamente leve en las condiciones físicas de un problema puede hacer (como en el ejemplo anterior) que una investigación matemática, al principio muy elemental, sea colocada de golpe en el rango de las cuestiones más difíciles, cuya solución completa y rigurosa supera todavía el máximo poder del intelecto humano.
- Distancias inaccesibles.
Tomemos un segundo ejemplo de los fenómenos geométricos. Supongamos que se propone determinar una distancia que no es susceptible de medición directa; esta será concebida generalmente como parte de una figura, o cierto sistema de líneas, elegidas de tal manera que todas sus demás partes puedan ser observadas directamente; así, en el caso que es más simple, y al cual todos los demás pueden reducirse en última instancia, la distancia propuesta se considerará perteneciente a un triángulo en el que podemos determinar directamente otro lado y dos ángulos, o bien dos lados y un ángulo. A partir de entonces, el conocimiento de la distancia deseada, en lugar de obtenerse directamente, será el resultado de un cálculo matemático que consistirá en deducirla de los elementos observados mediante la relación que la vincula con ellos.
Este cálculo llegará a ser sucesivamente cada vez más complicado, si las partes que hemos supuesto conocidas no pueden ser determinadas por sí mismas (como ocurre con mayor frecuencia) sino de un modo indirecto, con la ayuda de nuevos sistemas auxiliares, cuyo número, en las grandes operaciones de este género, llega a ser finalmente muy considerable.
Una vez determinada la distancia, el conocimiento de esta será con frecuencia suficiente para obtener nuevas magnitudes, que se convertirán en el objeto de nuevas cuestiones matemáticas.
Así, cuando sabemos a qué distancia se encuentra situado un objeto, la simple observación de su diámetro aparente nos permitirá evidentemente determinar de manera indirecta sus dimensiones reales, por inaccesible que pueda ser, y, mediante una serie de investigaciones análogas, su superficie, su volumen, incluso su peso y una serie de otras propiedades cuyo conocimiento nos parecía vedado.
- Hechos astronómicos.
Es mediante tales cálculos que el hombre ha podido averiguar, no solo las distancias de los planetas a la tierra y, por consiguiente, entre sí, sino su magnitud real, su verdadera figura, incluso las irregularidades de su superficie; y, lo que parecía aún más completamente oculto para nosotros, sus respectivas masas, sus densidades medias, las principales circunstancias de la caída de los cuerpos pesados sobre la superficie de cada uno de ellos, etc.
Por el poder de las teorías matemáticas, todos estos diferentes resultados, y muchos otros relativos a las diversas clases de fenómenos matemáticos, no han requerido más mediciones directas que las de un número muy pequeño de líneas rectas, convenientemente elegidas, y de un número mayor de ángulos. Podemos decir incluso, con absoluta verdad, para indicar en una sola palabra el alcance general de la ciencia, que si no temiéramos multiplicar innecesariamente los cálculos, y si no tuviéramos, en consecuencia, que reservarlos para la determinación de las cantidades que no pudieron medirse directamente, la determinación