Capítulo I. Vista general del análisis matemático

# VISTA GENERAL DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO.

En el desarrollo histórico de la ciencia matemática desde la época de Descartes, los avances de su parte abstracta han estado siempre determinados por los de su parte concreta; pero no es por ello menos necesario, para concebir la ciencia de un modo verdaderamente lógico, considerar el Cálculo en todas sus ramas principales antes de proceder al estudio filosófico de la Geometría y la Mecánica.

Sus teorías analíticas, más simples y más generales que las de las matemáticas concretas, son en sí mismas esencialmente independientes de estas últimas; mientras que estas, por el contrario, tienen, por su naturaleza, una necesidad continua de las primeras, sin cuya ayuda apenas podrían hacer ningún progreso.

Aunque las principales concepciones del análisis conservan hoy día algunos rastros muy perceptibles de su origen geométrico o mecánico, están ya, sin embargo, liberadas en su mayor parte de ese carácter primitivo, que ya no se manifiesta sino en algunos puntos secundarios; de modo que es posible (especialmente desde los trabajos de Lagrange) presentarlas en una exposición dogmática, por un método puramente abstracto, en un sistema único y continuo. Esto es lo que se emprenderá en el presente y en los cinco capítulos siguientes, limitando nuestras investigaciones a las consideraciones más generales sobre cada rama principal de la ciencia del cálculo.

El objeto definitivo de nuestras investigaciones en matemáticas concretas siendo el descubrimiento de las ecuaciones que expresan las leyes matemáticas del fenómeno bajo consideración, y constituyendo estas ecuaciones el verdadero punto de partida del cálculo, el cual tiene por objeto obtener de ellas la determinación de ciertas cantidades por medio de otras, creo indispensable, antes de proceder más lejos, profundizar más de lo que es habitual en esa idea fundamental de ecuación, objeto continuo, ya sea como fin o como principio, de todas las labores matemáticas.

Además de la ventaja de circunscribir más definidamente el verdadero campo del análisis, resultará de ello la importante consecuencia de trazar de manera más exacta la verdadera línea de demarcación entre la parte concreta y la abstracta de las matemáticas, lo cual completará la exposición general de la división fundamental establecida en el capítulo introductorio.

# LA VERDADERA IDEA DE UNA ECUACIÓN.

Solemos formarnos una idea demasiado imprecisa de lo que es una ecuación, cuando damos ese nombre a toda clase de relación de igualdad entre cualesquiera dos funciones de las magnitudes que estamos considerando.

Pues, aunque toda ecuación es evidentemente una relación de igualdad, dista mucho de ser verdad que, recíprocamente, toda relación de igualdad sea una verdadera ecuación, de la clase de aquellas a las que, por su naturaleza, son aplicables los métodos del análisis.

Esta falta de precisión en la consideración lógica de una idea tan fundamental en las matemáticas trae consigo el grave inconveniente de hacer casi imposible explicar, en términos generales, la gran y fundamental dificultad que encontramos al establecer la relación entre lo concreto y lo abstracto, y que destaca de manera tan prominente en cada gran cuestión matemática tomada por sí misma.

Si el significado de la palabra ecuación fuera verdaderamente tan amplio como habitualmente suponemos en nuestra definición de ella, no se ve qué gran dificultad podría haber realmente, en general, para establecer las ecuaciones de cualquier problema que sea; pues el conjunto parecería consistir así en una simple cuestión de forma, que no debería jamás exigir ningún gran esfuerzo intelectual, dado que apenas podemos concebir ninguna relación precisa que no sea inmediatamente una cierta relación de igualdad, o que no pueda reducirse fácilmente a ella mediante algunas transformaciones muy sencillas.

Por consiguiente, cuando admitimos toda clase de funciones en la definición de ecuaciones, no explicamos en absoluto la extrema dificultad que casi siempre experimentamos al plantear un problema en forma de ecuación, y que tan a menudo puede compararse con los esfuerzos que exige la elaboración analítica de la ecuación una vez obtenida.

En una palabra, la idea abstracta y general ordinaria de una ecuación no corresponde en absoluto al significado real que los geómetras atribuyen a esa expresión en el desarrollo efectivo de la ciencia. He aquí, pues, un fallo lógico, un defecto de correlación, que es muy importante rectificar.

División de las funciones en abstractas y concretas.

Para conseguirlo, empiezo por distinguir dos clases de funciones: abstractas o analíticas, y funciones concretas. Las primeras son las únicas que pueden entrar en ecuaciones verdaderas. Podemos, por lo tanto, definir en adelante toda ecuación, de una manera exacta y suficientemente profunda, como una relación de igualdad entre dos funciones abstractas de las magnitudes consideradas.

Para no tener que volver más sobre esta definición fundamental, debo añadir aquí, como un complemento indispensable sin el cual la idea no sería suficientemente general, que estas funciones abstractas pueden referirse no solo a las magnitudes que el problema presenta por sí mismo, sino también a todas las demás magnitudes auxiliares que están vinculadas a él, y que a menudo podremos introducir, simplemente como un artificio matemático, con el único objeto de facilitar el descubrimiento de las ecuaciones de los fenómenos.

Me adelanto aquí sumariamente al resultado de una discusión general de la mayor importancia, que se encontrará al final de este capítulo. Volveremos ahora a la distinción esencial entre funciones abstractas y concretas.

Esta distinción puede establecerse de dos maneras, esencialmente diferentes, pero complementarias entre sí, à priori y à posteriori; es decir, caracterizando de manera general la naturaleza peculiar de cada especie de funciones, y haciendo luego la enumeración real de todas las funciones abstractas actualmente conocidas, al menos en lo que se refiere a los elementos de que están compuestas.

À priori, las funciones que denomino abstractas son aquellas que expresan un modo de dependencia entre magnitudes, que puede concebirse únicamente entre números, sin que haya necesidad de indicar fenómeno alguno en el que se realice.

Lamo, por otra parte, concretas a aquellas funciones para las cuales el modo de dependencia expresado no puede definirse ni concebirse sino asignando un caso determinado de la física, la geometría, la mecánica, etc., en el que exista realmente.

La mayoría de las funciones en su origen, aun aquellas que en el presente son las más puramente abstractas, han comenzado por ser concretas; de modo que es fácil hacer comprender la distinción precedente citando únicamente los diversos puntos de vista sucesivos bajo los cuales, a medida que la ciencia se ha ido formando, los geómetras han considerado las funciones analíticas más simples.

Indicaré las potencias, por ejemplo, que en general se han convertido en funciones abstractas solo desde los trabajos de Vieta y Descartes.

Las funciones x², x³, que en nuestro análisis actual se conciben tan bien como simplemente abstractas, eran, para los geómetras de la antigüedad, funciones perfectamente concretas, que expresaban la relación de la superficie de un cuadrado o del volumen de un cubo con la longitud de su lado. Estas tenían a sus ojos un carácter tan exclusivo de este tipo que solo por medio de las definiciones geométricas descubrieron las propiedades algebraicas elementales de estas funciones, relativas a la descomposición de la variable en dos partes, propiedades que en esa época eran solo teoremas reales de geometría, a los cuales no se les adjuntó un significado numérico sino mucho más tarde.

Tendré ocasión de citar pronto, por otra razón, un nuevo ejemplo, muy apto para hacer patente la distinción fundamental que acabo de exponer; es el de las funciones circulares, tanto directas como inversas, que en la actualidad todavía son a veces concretas, a veces abstractas, según el punto de vista bajo el cual se las considere.

À posteriori, una vez establecido el carácter general que hace que una función sea abstracta o concreta, la cuestión de si una determinada función es verdaderamente abstracta y, por tanto, susceptible de entrar en verdaderas ecuaciones analíticas, se convierte en una simple cuestión de hecho, en la medida en que vamos a enumerar todas las funciones de esta especie.

Enumeración de Funciones Abstractas. A primera vista esta enumeración parece imposible, siendo infinitas en número las funciones analíticas distintas. Pero cuando las dividimos en simples y compuestas, la dificultad desaparece; pues, aunque el número de las diferentes funciones consideradas en el análisis matemático es en verdad infinito, están, por el contrario, aun hoy en día, compuestas de un número muy pequeño de funciones elementales, que pueden señalarse fácilmente, y que son evidentemente suficientes para decidir el carácter abstracto o concreto de cualquier función dada; la cual será de la una o de la otra naturaleza, según esté compuesta exclusivamente de estas funciones abstractas simples, o según incluya otras.

Evidently tenemos que considerar, para este propósito, únicamente las funciones de una sola variable, ya que aquellas relativas a varias variables independientes son constantemente, por su naturaleza, más o menos compuestas.

Sea x la variable independiente, y la variable correlativa que depende de ella. Los diferentes modos simples de dependencia abstracta, que ahora podemos concebir entre y y x, se expresan mediante las diez fórmulas elementales siguientes, en las cuales cada función está acoplada con su inversa, es decir, con aquella que se obtendría de la función directa refiriendo x a y, en lugar de referir y a x.

Tales son los elementos, en número muy reducido, que componen directamente todas las funciones abstractas conocidas en la actualidad. Por pocos que sean, son evidentemente suficientes para dar origen a un número infinito de combinaciones analíticas.

Ninguna consideración racional circunscribe rigurosamente, a priori, la tabla precedente, que no es más que la expresión actual del estado de la ciencia.

Nuestros elementos analíticos son en la actualidad más numerosos de lo que eran para Descartes, e incluso para Newton y Leibniz: hace apenas un siglo que estos dos últimos pares fueron introducidos en el análisis por los trabajos de Juan Bernoulli y Euler.

Sin duda, en el futuro se admitirán otros nuevos; pero, como mostraré hacia el final de este capítulo, no podemos esperar que lleguen a multiplicarse en gran medida, ya que su aumento real da lugar a dificultades muy grandes.

Ahora podemos formarnos una idea precisa y, al mismo tiempo, suficientemente amplia de lo que los geómetras entienden por una ecuación verdadera.

Esta explicación es especialmente apta para hacernos comprender cuán difícil debe ser establecer verdaderamente las ecuaciones de los fenómenos, ya que solo hemos logrado con éxito hacerlo cuando hemos podido concebir las leyes matemáticas de estos fenómenos con la ayuda de funciones compuestas enteramente tan solo por los elementos matemáticos que acabo de enumerar.

Es evidente, en efecto, que solo entonces el problema se vuelve verdaderamente abstracto y se reduce a una pura cuestión de números, siendo estas funciones las únicas relaciones simples que podemos concebir entre los números, considerados por sí mismos.

Hasta este período de la solución, cualesquiera que sean las apariencias, la cuestión es aún esencialmente concreta y no entra dentro del dominio del cálculo. Ahora bien, la dificultad fundamental de este paso del concreto al abstracto en general consiste sobre todo en la insuficiencia de este número muy pequeño de elementos analíticos que poseemos y por medio de los cuales, sin embargo, a pesar de la poca variedad real que nos ofrecen, debemos lograr representar todas las relaciones precisas que todos los diferentes fenómenos naturales pueden manifestarnos.

Considerando la infinita diversidad que necesariamente debe existir a este respecto en el mundo exterior, comprendemos fácilmente cuán por debajo de la verdadera dificultad deben encontrarse frecuentemente nuestras concepciones, sobre todo si añadimos que, como estos elementos de nuestro análisis nos han sido proporcionados en primer lugar por la consideración matemática de los fenómenos más simples, no tenemos, a priori, ninguna garantía racional de su idoneidad necesaria para representar la ley matemática de cualquier otra clase de fenómenos.

Explicaré en seguida el artificio general, tan profundamente ingenioso, por el cual la mente humana ha logrado disminuir, en un grado notable, esta dificultad fundamental que presenta la relación de lo concreto con lo abstracto en las matemáticas, sin que, sin embargo, haya sido necesario multiplicar el número de estos elementos analíticos.

# LAS DOS DIVISIONES PRINCIPALES DEL CÁLCULO.

Las explicaciones precedentes determinan con precisión el verdadero objeto y el campo real de las matemáticas abstractas.

Debo pasar ahora al examen de sus principales divisiones, pues hasta ahora hemos considerado el cálculo en su conjunto.

La primera consideración directa que debe presentarse sobre la composición de la ciencia del cálculo consiste en dividirla, en primer lugar, en dos ramas principales, a las que, a falta de denominaciones más adecuadas, daré los nombres de cálculo algebraico, o álgebra, y de cálculo aritmético, o aritmética; pero con la advertencia de tomar estas dos expresiones en su aceptación lógica más amplia, en lugar del significado con mucho demasiado restringido que habitualmente se les atribuye.

La solución completa de cualquier cuestión del cálculo, desde la más elemental hasta la más trascendental, se compone necesariamente de dos partes sucesivas, cuya naturaleza es esencialmente distinta.

En la primera, el objeto es transformar las ecuaciones propuestas de modo que se haga manifiesto el modo en que las cantidades incógnitas son formadas por las conocidas: esto es lo que constituye la cuestión algebráica.

En la segunda, nuestro objeto es hallar los valores de las fórmulas así obtenidas; es decir, determinar directamente los valores de los números buscados, los cuales ya están representados por ciertas funciones explícitas de números dados: esta es la cuestión aritmética.

Es evidente que, en toda solución que sea verdaderamente racional, esta sigue necesariamente a la cuestión algebraica, de la cual forma el complemento indispensable, puesto que es evidentemente necesario conocer el modo de generación de los números buscados antes de determinar sus valores reales para cada caso particular.

Así, el punto de detención de la parte algebraica de la solución se convierte en el punto de partida de la parte aritmética.

Vemos por tanto que el cálculo algebraico y el cálculo aritmético difieren esencialmente en su objeto. No difieren menos en el punto de vista bajo el cual consideran las cantidades; las cuales se consideran en el primero en cuanto a sus relaciones, y en el segundo en cuanto a sus valores.

El verdadero espíritu del cálculo, en general, exige que esta distinción se mantenga con la más severa exactitud, y que la línea de demarcación entre los dos periodos de la solución sea tan clara y distinta como lo permita la cuestión propuesta.

La observación atenta de este precepto, que se descuida demasiado, puede ser de gran ayuda, en cada cuestión particular, para dirigir los esfuerzos de nuestra mente, en cualquier momento de la solución, hacia la dificultad real correspondiente.

En verdad, la imperfección de la ciencia del cálculo nos obliga muy a menudo (como se explicará en el capítulo siguiente) a entrelazar consideraciones algebraicas y aritméticas en la solución de una misma cuestión. Pero, por imposible que sea separar claramente las dos partes de la labor, las indicaciones precedentes nos permitirán siempre evitar confundirlas.

Al esforzarnos por resumir con la mayor concisión posible la distinción que acabamos de establecer, vemos que el Álgebra puede definirse, en general, como teniendo por objeto la resolución de ecuaciones; tomando esta expresión en su pleno significado lógico, lo que significa la transformación de funciones implícitas en otras explícitas equivalentes.

De la misma manera, la Aritmética puede definirse como destinada a la determinación de los valores de las funciones.

En consecuencia, de aquí en adelante diremos brevemente que el Álgebra es el Cálculo de Funciones, y la Aritmética el Cálculo de Valores.

Podemos percibir ahora cuán insuficientes y aun erróneas son las definiciones ordinarias.

De la manera más general, la importancia exagerada atribuida a los Signos ha llevado a distinguir las dos ramas fundamentales de la ciencia del Cálculo por la manera de designar en cada una los objetos de discusión, una idea que es evidentemente absurda en principio y falsa en los hechos.

Aun la célebre definición dada por Newton, que caracteriza el Álgebra como Aritmética Universal, da ciertamente una idea muy falsa de la naturaleza del álgebra y de la de la aritmética.

Habiendo establecido así la división fundamental del cálculo en dos ramas principales, debo comparar ahora en términos generales la extensión, la importancia y la dificultad de estas dos suertes de cálculo, para no tener que considerar en adelante más que el Cálculo de Funciones, que ha de ser el objeto principal de nuestro estudio.

# EL CÁLCULO DE LOS VALORES, O ARITMÉTICA.

Su extensión. El cálculo de los valores, o aritmética, parecería, a primera vista, presentar un campo tan vasto como el del álgebra, ya que parecería admitir tantas preguntas distintas como fórmulas algebraicas diferentes podamos concebir cuyos valores deban determinarse. Pero una reflexión muy simple mostrará la diferencia.

Dividiendo las funciones en simples y compuestas, es evidente que cuando sepamos determinar el valor de las funciones simples, la consideración de las funciones compuestas ya no presentará ninguna dificultad.

Desde el punto de vista algebraico, una función compuesta desempeña un papel muy diferente al de las funciones elementales de las que consta, y de esto, en efecto, proceden todas las principales dificultades del análisis.

Pero ocurre muy otra cosa con el Cálculo Aritmético.

Por consiguiente, el número de operaciones aritméticas verdaderamente distintas es tan solo el determinado por el número de las funciones abstractas elementales, cuya lista, muy limitada, se ha dado más arriba.

La determinación de los valores de estas diez funciones da necesariamente la de todas las funciones, infinitas en número, que se consideran en el conjunto del análisis matemático, al menos tal como este existe en la actualidad.

No puede haber nuevas operaciones aritméticas sin la creación de elementos analíticos verdaderamente nuevos, cuyo número debe ser siempre sumamente pequeño.

El campo de la aritmética es, pues, por su naturaleza, extraordinariamente restringido, mientras que el del álgebra es rigurosamente indefinido.

Es, sin embargo, importante señalar que el dominio del cálculo de valores es, en realidad, mucho más extenso de lo que comúnmente se representa; pues varias cuestiones verdaderamente aritméticas, ya que consisten en determinaciones de valores, no se clasifican ordinariamente como tales, porque estamos acostumbrados a tratarlas solo como incidentales en medio de un conjunto de investigaciones analíticas más o menos elevadas, siendo la opinión demasiado alta que comúnmente se forma de la influencia de los signos, una vez más, la causa principal de esta confusión de ideas.

Por lo tanto, no solo la construcción de una tabla de logaritmos, sino también el cálculo de las tablas trigonométricas, son verdaderas operaciones aritméticas de un orden superior.

Podemos citar asimismo como pertenecientes a la misma clase, aunque en un orden muy distinto y más elevado, todos los métodos mediante los cuales determinamos directamente el valor de cualquier función para cada sistema particular de valores atribuidos a las cantidades de las que depende, cuando no podemos expresar en términos generales la forma explícita de dicha función.

En este punto de vista, la solución numérica de cuestiones que no podemos resolver algebraicamente, e incluso el cálculo de «integrales definidas», cuyas integrales generales no conocemos, forman verdaderamente parte, a pesar de todas las apariencias, del dominio de la aritmética, en el cual debemos comprender necesariamente todo aquello que tiene por objeto la determinación de los valores de las funciones.

Las consideraciones relativas a este objeto son, de hecho, constantemente homogéneas, cualesquiera que sean las determinaciones en cuestión, y son siempre muy distintas de las consideraciones verdaderamente algebraicas.

Para hacernos una idea justa de la extensión real del cálculo de valores, debemos incluir en él asimismo aquella parte de la ciencia general del cálculo que lleva hoy el nombre de Teoría de Números, y que está todavía tan poco avanzada.

Esta rama, muy extensa por su naturaleza, pero cuya importancia en el sistema general de la ciencia no es muy grande, tiene por objeto el descubrimiento de las propiedades inherentes a los diferentes números en virtud de sus valores, e independientes de cualquier sistema particular de numeración.

Forma, pues, una especie de aritmética trascendental; y a ella se aplicaría verdaderamente la definición propuesta por Newton para el álgebra.

Todo el dominio de la aritmética es, por tanto, mucho más extenso de lo que comúnmente se supone; pero este cálculo de valores nunca será más que un punto, por así decirlo, en comparación con el cálculo de funciones, que es en lo que esencialmente consiste la ciencia matemática.

Esta estimación comparativa será aún más evidente a partir de algunas consideraciones que debo señalar ahora respecto a la verdadera naturaleza de las cuestiones aritméticas en general, cuando se examinan más profundamente.

Su verdadera Naturaleza. Al procurar determinar con precisión en qué consisten propiamente las determinaciones de valores, reconocemos fácilmente que no son otra cosa que verdaderas transformaciones de las funciones que han de ser valoradas; transformaciones que, a pesar de su fin especial, no dejan de ser esencialmente de la misma naturaleza que todas aquellas enseñadas por el análisis. Desde este punto de vista, el cálculo de valores podría concebirse simplemente como un apéndice, y una aplicación particular del cálculo de funciones, de modo que la aritmética desaparecería, por decirlo así, como una sección distinta en el cuerpo entero de las matemáticas abstractas.

Para comprender a fondo esta consideración, debemos observar que, cuando nos proponemos determinar el valor de un número desconocido cuyo modo de formación nos es dado, este ya queda definido y expresado bajo cierta forma por el mero enunciado de la cuestión aritmética; y que al determinar su valor no hacemos más que colocar su expresión bajo otra forma determinada, a la cual estamos acostumbrados a referir la noción exacta de cada número en particular, haciéndolo reentrar en el sistema regular de la numeración.

La determinación de los valores consiste de manera tan completa en una simple transformación, que cuando la expresión primitiva del número resulta estar ya conforme con el sistema regular de numeration, ya no hay determinación de valor propiamente dicha, o, más bien, la cuestión queda respondida por la propia cuestión.

Supongamos que el problema consiste en sumar los dos números uno y veinte: lo respondemos repitiendo simplemente el enunciado de la cuestión y, sin embargo, creemos que hemos determinado el valor de la suma. Esto significa que en este caso la primera expresión de la función no necesitaba ser transformada, mientras que no sucedería lo mismo al sumar veintitrés y catorce, pues entonces la suma no estaría expresada inmediatamente de una manera conforme al rango que ocupa en la escala fija y general de la numeración.

Para resumir del modo más exhaustivo posible las opiniones precedentes, podemos decir que determinar el valor de un número no es otra cosa que expresar su forma primitiva como a + bz + cz² + dz³ + ez⁴ . . . . . + pz^m, siendo z por lo general igual a 10, y estando los coeficientes a, b, c, d, etc., sujetos a las condiciones de ser números enteros menores que z; capaces de volverse iguales a cero; pero nunca negativos.

Toda cuestión aritmética puede plantearse así como consistente en dar dicha forma a cualquier función abstracta de diferentes cantidades, las cuales se supone que ya tienen de por sí una forma similar. Podríamos ver entonces en las diferentes operaciones de la aritmética únicamente casos particulares y simples de ciertas transformaciones algebraicas, a excepción de las dificultades especiales inherentes a las condiciones relativas a la naturaleza de los coeficientes.

De ello se deduce claramente que la matemática abstracta se compone esencialmente del Cálculo de Funciones, el cual ya se había considerado como su parte más importante, más extensa y más difícil.

Este será en adelante el objeto exclusivo de nuestras investigaciones analíticas. Por lo tanto, no me detendré más en el Cálculo de Valores, sino que pasaré inmediatamente al examen de la división fundamental del Cálculo de Funciones.

EL CÁLCULO DE FUNCIONES, O ÁLGEBRA.

Principio de su división fundamental.

Hemos determinado, al principio de este capítulo, en qué consiste propiamente la dificultad que experimentamos al traducir las cuestiones matemáticas a ecuaciones. Se debe esencialmente a la insuficiencia del número muy pequeño de elementos analíticos que poseemos, lo que hace que la relación de lo concreto con lo abstracto sea por lo general tan difícil de establecer.

Esforcémonos ahora en apreciar de manera filosófica el proceso general mediante el cual la inteligencia humana ha logrado, en un gran número de casos importantes, superar este obstáculo fundamental para el establecimiento de ecuaciones.

1. Mediante la creación de nuevas funciones.

Al considerar esta importante cuestión desde el punto de vista más general, somos conducidos inmediatamente a la concepción de un medio para facilitar el establecimiento de las ecuaciones de los fenómenos.

Dado que el principal obstáculo en este asunto proviene del número demasiado pequeño de nuestros elementos analíticos, toda la cuestión parecería reducirse a crear otros nuevos. Pero este medio, aunque natural, es realmente ilusorio; y aunque podría ser útil, es sin duda insuficiente.

En realidad, la creación de una función abstracta elemental, que sea verdaderamente nueva, presenta en sí misma las mayores dificultades.

Hay incluso algo contradictorio en semejante idea; pues un nuevo elemento analítico evidentemente no cumpliría sus condiciones esenciales y apropiadas si no pudiéramos determinar su valor inmediatamente.

Ahora bien, por otra parte, ¿cómo hemos de determinar el valor de una nueva función que sea verdaderamente simple, es decir, que no esté formada por una combinación de las ya conocidas? Eso parece casi imposible.

La introducción en el análisis de otra función abstracta elemental, o más bien de otro par de funciones (pues cada una iría siempre acompañada de su inversa), supone entonces, por necesidad, la creación simultánea de una nueva operación aritmética, lo cual es ciertamente muy difícil.

Si nos esforzamos por formarnos una idea de los medios que la mente humana emplea para inventar nuevos elementos analíticos mediante el examen de los procedimientos con cuya ayuda ha concebido efectivamente aquellos que ya poseemos, nuestras observaciones nos dejan al respecto en una total incertidumbre, pues los artificios de los que ya se ha valido con ese fin están evidentemente agotados.

Para convencernos de ello, consideremos el último par de funciones simples que se ha introducido en el análisis, y en cuya formación hemos estado presentes, por decirlo así, a saber, el cuarto par; pues, como he explicado, el quinto par no proporciona estrictamente verdaderos elementos analíticos nuevos. La función a^x y, en consecuencia, su inversa, se han formado concibiendo, bajo un nuevo punto de vista, una función que había sido conocida durante mucho tiempo, a saber, las potencias, cuando la idea de estas se hubo generalizado lo suficiente.

La consideración de una potencia relativa a la variación de su exponente, en lugar de a la variación de su base, fue suficiente para dar lugar a una función simple verdaderamente novedosa, siguiendo entonces la variación una ruta totalmente diferente. Pero este artificio, tan simple como ingenioso, no puede proporcionar nada más; pues, al revolver del mismo modo todos nuestros elementos actuales del análisis, terminamos únicamente haciendo que vuelvan a confluir los unos en los otros.

No tenemos, pues, ninguna idea de cómo podríamos proceder para la creación de nuevas funciones abstractas elementales que satisfagan adecuadamente todas las condiciones necesarias. Esto no quiere decir, sin embargo, que hayamos alcanzado por el momento el límite efectivo establecido a este respecto por los límites de nuestra inteligencia. Es incluso seguro que los últimos perfeccionamientos especiales en el análisis matemático han contribuido a ampliar nuestros recursos a este respecto, al introducir en el dominio del cálculo ciertas integrales definidas que en algunos aspectos suplen a las nuevas funciones simples, aunque están lejos de cumplir todas las condiciones necesarias, lo que me ha impedido introducirlas en la tabla de los verdaderos elementos analíticos.

Pero, en conjunto, considero indiscutible que el número de estos elementos no puede aumentar sino con extrema lentitud. No es, por tanto, de estas fuentes de donde la mente humana ha extraído sus medios más poderosos para facilitar, tanto como sea posible, el establecimiento de ecuaciones.

2. Mediante la Concepción de Ecuaciones entre ciertas Cantidades auxiliares.

Dejado de lado este primer método, es evidente que solo queda otro: consiste en que, ante la imposibilidad de hallar directamente las ecuaciones entre las cantidades en consideración, se busquen otras correspondientes entre otras cantidades auxiliares, vinculadas a las primeras según una ley determinada, y a partir de cuya relación podamos retornar a la existente entre las magnitudes primitivas. Tal es, en esencia, la concepción eminentemente fructífera que la mente humana ha logrado establecer, y que constituye su instrumento más admirable para la explicación matemática de los fenómenos naturales: el análisis, denominado trascendental.

Como principio filosófico general, las cantidades auxiliares, que se introducen en lugar de las magnitudes primitivas, o simultáneamente con ellas, con el fin de facilitar el establecimiento de ecuaciones, podrían derivarse según cualquier ley concebible a partir de los elementos inmediatos de la cuestión.

Esta concepción tiene así un alcance mucho más extenso del que comúnmente le han atribuido incluso los más profundos geómetras. Es sumamente importante para nosotros considerarla en toda su extensión lógica, pues será quizás mediante el establecimiento de un modo general de derivación diferente de aquel a cuyas limitaciones nos hemos confinado hasta ahora (aunque este es evidentemente muy lejos de ser el único posible) como lograremos un día perfeccionar esencialmente el análisis matemático en su conjunto y, por consiguiente, establecer medios más poderosos para investigar las leyes de la naturaleza que nuestros procesos actuales, los cuales son indudablemente susceptibles de agotarse.

Pero, respecto meramente a la constitución actual de la ciencia, las únicas cantidades auxiliares introducidas habitualmente en lugar de las cantidades primitivas en el Análisis trascendental son las que se denominan,

1^o, elementos infinitesimales, los diferenciales (de diferentes órdenes) de esas cantidades, si consideramos este análisis a la manera de Leibniz; o bien,

2^o, las fluxiones, los límites de las razones de los incrementos simultáneos de las cantidades primitivas comparadas entre sí, o, más brevemente, las razones primas y últimas de estos incrementos, si adoptamos la concepción de Newton; o bien,

3^o, las derivadas, propiamente dichas, de esas cantidades, es decir, los coeficientes de los diferentes términos de sus incrementos respectivos, según la concepción de Lagrange.

Estos tres métodos principales de ver nuestro análisis trascendental actual, y todos los demás menos claramente caracterizados que se han propuesto sucesivamente, son, por su naturaleza, necesariamente idénticos, ya sea en el cálculo o en la aplicación, como se explicará de manera general en el tercer capítulo.

En cuanto a su valor relativo, veremos allí que la concepción de Leibniz tiene hasta ahora, en la práctica, una superioridad incontestable, pero que su carácter lógico es sumamente vicioso; mientras que la concepción de Lagrange, admirable por su simplicidad, por su perfección lógica, por la unidad filosófica que ha establecido en el análisis matemático (hasta entonces separado en dos mundos casi enteramente independientes), presenta, sin embargo, graves inconvenientes en las aplicaciones, al retardar el progreso de la mente.

La concepción de Newton ocupa casi un término medio en estas diversas relaciones, siendo menos rápida, pero más racional que la de Leibniz; menos filosófica, pero más aplicable que la de Lagrange.

Este no es el lugar para explicar las ventajas de la introducción de esta clase de cantidades auxiliares en lugar de las magnitudes primitivas.

El tercer capítulo está dedicado a este asunto. Por el momento me limito a considerar esta concepción de la manera más general, con el fin de deducir de ella la división fundamental del cálculo de funciones en dos sistemas esencialmente distintos, cuya dependencia, para la solución completa de cualquier cuestión matemática, es invariablemente determinable.

En este sentido, y en el orden lógico de las ideas, el análisis trascendental se presenta como necesariamente el primero, ya que su objeto general es facilitar el establecimiento de ecuaciones, una operación que debe preceder evidentemente a la resolución de dichas ecuaciones, que es el objeto del análisis ordinario.

Pero, aunque es sumamente importante concebir de este modo las verdaderas relaciones de estos dos sistemas de análisis, no es menos adecuado, de conformidad con el uso regular, estudiar el análisis trascendental después del análisis ordinario; pues aunque el primero es, en el fondo, lógicamente independiente del segundo por sí mismo, o al menos puede desligarse esencialmente de él, es evidente que, dado que su empleo en la resolución de cuestiones necesita siempre más o menos ser completado por el uso del análisis ordinario, nos veríamos obligados a dejar las cuestiones en suspensivo si este último no se hubiera estudiado previamente.

Divisiones correspondientes del cálculo de funciones.

Se sigue de las consideraciones precedentes que el Cálculo de Funciones, o Álgebra (tomando esta palabra en su sentido más amplio), se compone de dos ramas fundamentales distintas, una de las cuales tiene por objeto inmediato la resolución de ecuaciones, cuando estas se establecen directamente entre las magnitudes mismas que se encuentran bajo consideración; y la otra, partiendo de ecuaciones (por lo general mucho más fáciles de formar) entre cantidades indirectamente conectadas con las del problema, tiene por destino peculiar y constante la deducción, mediante métodos analíticos invariables, de las ecuaciones correspondientes entre las magnitudes directas que estamos considerando; lo que trae la cuestión al dominio del cálculo precedente.

El primero de los cálculos lleva más frecuentemente el nombre de Análisis Ordinario, o de Álgebra, propiamente dicho.

El segundo constituye lo que se llama Análisis Transcendental, el cual ha sido designado por las diferentes denominaciones de Cálculo Infinitesimal, Cálculo de Fluxiones y de Fluentes, Cálculo de Cantidades Desvanecientes, el Cálculo Diferencial e Integral, etc., según el punto de vista bajo el cual ha sido concebido.

Con el fin de eliminar toda consideración ajena, propondré llamarlo cálculo de las funciones indirectas, dando al análisis ordinario el título de cálculo de las funciones directas. Estas expresiones, que formo esencialmente generalizando y epitetizando las ideas de Lagrange, tienen simplemente el fin de indicar con precisión el verdadero carácter general que pertenece a cada una de estas dos formas de análisis.

Habiendo establecido ya la división fundamental del análisis matemático, debo considerar a continuación por separado cada una de sus dos partes, comenzando con el Cálculo de las Funciones Directas, y reservando desarrollos más extensos para las diferentes ramas del Cálculo de las Funciones Indirectas.