# ANÁLISIS ORDINARIO O ÁLGEBRA.
El Cálculo de funciones directas, o Álgebra, es (como se demostró al final del capítulo precedente) enteramente suficiente para la resolución de cuestiones matemáticas cuando estas son tan simples que podemos formar directamente las ecuaciones entre las magnitudes mismas que estamos considerando, sin que sea necesario introducir en su lugar, o conjuntamente con ellas, ningún sistema de cantidades auxiliares derivadas de las primeras.
Es verdad que en la gran mayoría de los casos importantes su uso requiere ser precedido y preparado por el del Cálculo de funciones indirectas, el cual está destinado a facilitar el establecimiento de las ecuaciones.
Pero, aunque el álgebra tiene entonces tan solo un papel secundario que desempeñar, no por ello deja de tener una parte necesaria en la completa solución de la cuestión, de modo que el Cálculo de funciones directas debe seguir siendo, por su naturaleza, la base fundamental de todo análisis matemático.
Debemos por tanto, antes de ir más lejos, considerar de un modo general la composición lógica de este cálculo y el grado de desarrollo al que ha llegado en la actualidad.
Su objeto. Siendo el objeto final de este cálculo la resolución (propiamente dicha) de las ecuaciones, es decir, el descubrimiento de la manera en que las cantidades incógnitas se forman a partir de las cantidades conocidas, de acuerdo con las ecuaciones que existen entre ellas, este presenta naturalmente tantos departamentos diferentes como clases de ecuaciones verdaderamente distintas podamos concebir. Su extensión apropiada es por consiguiente rigurosamente indefinida, siendo en sí mismo completamente ilimitado el número de funciones analíticas susceptibles de entrar en las ecuaciones, a pesar de que estén compuestas por un número muy pequeño de elementos primitivos.
Clasificación de las ecuaciones. La clasificación racional de las ecuaciones debe determinarse evidentemente por la naturaleza de los elementos analíticos de que se componen sus expresiones; cualquier otra clasificación sería esencialmente arbitraria. En consecuencia, los analistas empiezan por dividir las ecuaciones con una o más variables en dos clases principales, según contengan funciones de solo las tres primeras parejas (véase la tabla del capítulo I, página 51), o según incluyan también funciones exponenciales o circulares.
Los nombres de funciones algebraicas y funciones trascendentes, dados comúnmente a estos dos grupos principales de elementos analíticos, son indudablemente muy inadecuados. Pero la división universalmente establecida entre las ecuaciones correspondientes no deja de ser muy real en este sentido, a saber, que la resolución de las ecuaciones que contienen las funciones llamadas trascendentes presenta necesariamente más dificultades que la de las ecuaciones llamadas algebraicas. De ahí que el estudio de las primeras sea todavía sumamente imperfecto, de modo que con frecuencia la resolución de la más simple de ellas nos sigue siendo desconocida, y nuestros métodos analíticos se refieren casi exclusivamente a la elaboración de las segundas.
# ECUACIONES ALGEBRAICAS.
Considerando ahora únicamente estas ecuaciones algebraicas, debemos observar, en primer lugar, que aunque a menudo puedan contener funciones irracionales de las cantidades desconocidas además de funciones racionales, siempre podemos, mediante transformaciones más o menos sencillas, reducir el primer caso al segundo, de modo que es de este último del que los analistas han tenido que ocuparse exclusivamente para resolver todo tipo de ecuaciones algebraicas.
Su clasificación. En los albores del álgebra, estas ecuaciones se clasificaban según el número de sus términos. Pero esta clasificación era evidentemente defectuosa, ya que separaba casos que eran realmente similares y reunía otros que no tenían nada en común además de esta característica sin importancia. Se ha conservado únicamente para las ecuaciones con dos términos, las cuales son, de hecho, susceptibles de resolverse de un modo que les es propio.
La clasificación de las ecuaciones según lo que se denomina sus grados, es, por otra parte, eminentemente natural, pues esta distinción determina rigurosamente la mayor o menor dificultad de su resolución.
Esta gradación es aparente en los casos de todas las ecuaciones que pueden resolverse; pero puede indicarse de una manera general independientemente del hecho de la resolución. Solo necesitamos considerar que la ecuación más general de cada grado comprende necesariamente a todas las de los diferentes grados inferiores, como debe hacerlo también la fórmula que determina la incógnita.
En consecuencia, por leve que supongamos la dificultad propia del grado que estamos considerando, puesto que se complica inevitablemente en la ejecución con las presentadas por todos los grados precedentes, la resolución ofrece realmente cada vez más obstáculos, a medida que el grado de la ecuación se eleva.
# RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE ECUACIONES.
Sus Límites. La resolución de ecuaciones algebraicas solo nos es conocida hasta ahora en los cuatro primeros grados, tal es el incremento de dificultad señalado más arriba. A este respecto, el álgebra no ha hecho ningún progreso considerable desde los trabajos de Descartes y de los analistas italianos del siglo XVI, aunque en los dos últimos siglos apenas haya habido quizás un solo geómetra que no se haya ocupado en intentar hacer avanzar la resolución de ecuaciones. La ecuación general de quinto grado misma ha resistido hasta ahora todos los ataques.
La complicación constantemente creciente que las fórmulas para resolver ecuaciones deben presentar necesariamente, a medida que el grado aumenta (la dificultad de emplear la fórmula de cuarto grado la vuelve casi inaplicable), ha determinado que los analistas renuncien, mediante un acuerdo tácito, a la persecución de tales investigaciones, aunque están muy lejos de considerarla imposible para obtener la resolución de ecuaciones de quinto grado y de varias otras superiores.
Solución general.
La única cuestión de este género que sería realmente de gran importancia, al menos en sus relaciones lógicas, sería la resolución general de las ecuaciones algebraicas de cualquier grado que sea. Ahora bien, cuanto más meditamos sobre este asunto, más somos conducidos a pensar, con Lagrange, que supera en realidad el alcance de nuestra inteligencia.
Debemos además observar que la fórmula que expresaría la raíz de una ecuación del grado m incluiría necesariamente radicales del orden m (o funciones de una multiplicidad equivalente), a causa de las m determinaciones que debe admitir.
Puesto que hemos visto, además, que esta fórmula debe también abarcar, como caso particular, aquella fórmula que corresponde a todo grado inferior, se sigue que contendría inevitablemente también radicales del grado inmediatamente inferior, del inmediatamente inferior a este, etc., de modo que, aun si fuese posible descubrirla, presentaría casi siempre una complicación demasiado grande como para poder ser empleada útilmente, a menos que lográsemos simplificarla, conservando al mismo tiempo toda su generalidad, mediante la introducción de una nueva clase de elementos analíticos de los que aún no tenemos ninguna idea.
Tenemos, pues, razones para creer que, sin haber llegado ya aquí a los límites impuestos por la escasa extensión de nuestra inteligencia, no tardaríamos en alcanzarlos si prolongásemos activa y seriamente esta serie de investigaciones.
Es, además, importante observar que, aun suponiendo que hubiésemos obtenido la resolución de las ecuaciones algebraicas de un grado cualquiera, habríamos tratado todavía solo una parte muy pequeña del álgebra, propiamente dicha, es decir, del cálculo de las funciones directas, incluida la resolución de todas las ecuaciones que pueden formarse mediante las funciones analíticas conocidas.
Finalmente, debemos recordar que, por una ley indiscutible de la naturaleza humana —siendo nuestros medios para concebir nuevas cuestiones mucho más poderosos que nuestros recursos para resolverlas, o, en otras palabras, estando la mente humana mucho más dispuesta a inquirir que a razonar—, necesariamente permaneceremos siempre por debajo de la dificultad, sin importar a qué grado de desarrollo llegue nuestra labor intelectual.
Así, aunque algún día descubriéramos la resolución completa de todas las ecuaciones analíticas conocidas en la actualidad, por quimérica que sea la suposición, no cabe duda de que, antes de alcanzar este fin, y probablemente incluso como medio subsidiario, ya habríamos superado la dificultad (mucho menor, aunque todavía muy grande) de concebir nuevos elementos analíticos cuya introducción daría lugar a clases de ecuaciones de las que, en el presente, somos por completo ignorantes; de modo que una imperfección semejante en la ciencia algebraica se reproduciría continuamente, a pesar del aumento real y muy importante de la masa absoluta de nuestros conocimientos.
Lo que sabemos en álgebra.
En el estado actual del álgebra, la resolución completa de las ecuaciones de los primeros cuatro grados, de cualquier ecuación binomia, de ciertas ecuaciones particulares de los grados superiores, y de un número muy pequeño de ecuaciones exponenciales, logarítmicas o circulares, constituyen los métodos fundamentales que presenta el cálculo de las funciones directas para la solución de los problemas matemáticos.
Pero, por limitados que sean estos elementos, los geómetras han logrado, sin embargo, tratar de un modo verdaderamente admirable un número muy grande de cuestiones importantes, como veremos en el transcurso del volumen. Las mejoras generales introducidas desde hace un siglo en el sistema total del análisis matemático han tenido por objeto principal hacer inconmensurablemente útil este pequeño conocimiento que poseemos, en lugar de tender a aumentarlo.
Este resultado se ha obtenido de manera tan completa que, muy frecuentemente, este cálculo no tiene una participación real en la solución completa de la cuestión, excepto por sus partes más sencillas; aquellas que hacen referencia a las ecuaciones de los dos primeros grados, con una o más variables.
# RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES.
La extrema imperfección del álgebra, respecto a la resolución de ecuaciones, ha llevado a los analistas a ocuparse de una nueva clase de cuestiones, cuyo verdadero carácter debe señalarse aquí. Se han ocupado en llenar el inmenso vacío en la resolución de ecuaciones algebraicas de los grados superiores, mediante lo que han denominado la resolución numérica de ecuaciones.
No pudiendo obtener en general la fórmula que expresa qué función explícita de las cantidades dadas es la desconocida, han intentado (a falta de esta clase de resolución, la única verdaderamente algebraica) determinar, independientemente de dicha fórmula, al menos el valor de cada cantidad desconocida para varios sistemas designados de valores particulares atribuidos a las cantidades dadas.
Mediante las sucesivas labores de los analistas, esta operación incompleta e ilegítima, que presenta una íntima mezcla de cuestiones verdaderamente algebraicas con otras que son puramente aritméticas, se ha hecho posible en todos los casos para ecuaciones de cualquier grado e incluso de cualquier forma.
Los métodos de los que hoy disponemos para ello son suficientemente generales, aunque los cálculos a los que conducen son a menudo tan complicados que hacen casi imposible su ejecución.
No nos queda otra cosa que hacer, pues, en esta parte del álgebra, que simplificar los métodos lo suficiente como para hacerlos regularmente aplicables, lo cual esperamos lograr en lo sucesivo. En este estado del cálculo de funciones directas, procuramos, en su aplicación, disponer las cuestiones propuestas de tal modo que al final solo se requiera esta resolución numérica de las ecuaciones.
Su utilidad limitada. Por valioso que sea un recurso tal a falta de la solución verdadera, es fundamental no malinterpretar el verdadero carácter de estos métodos, que los analistas consideran con razón como un álgebra muy imperfecta.
De hecho, estamos lejos de poder reducir siempre nuestras cuestiones matemáticas a depender finalmente tan solo de la resolución numérica de las ecuaciones; eso solo puede hacerse para cuestiones bastante aisladas o verdaderamente finales, es decir, para el número más pequeño. La mayoría de las cuestiones, en realidad, son solo preparatorias, y están destinadas a servir como una preparación indispensable para la solución de otras cuestiones.
Ahora bien, para semejante objeto, es evidente que no es el valor efectivo de la cantidad desconocida lo que importa descubrir, sino la fórmula, que muestra cómo se deriva de las demás cantidades consideradas.
Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en una clase muy extensa de casos, siempre que una determinada cuestión incluye al mismo tiempo varias cantidades desconocidas.
Tenemos pues, antes que nada, que separarlas. Empleando adecuadamente el método sencillo y general inventado tan felizmente por los analistas, y que consiste en referir todas las demás cantidades incógnitas a una sola de ellas, la dificultad desaparecería siempre si supiéramos cómo obtener la resolución algebraica de las ecuaciones consideradas, mientras que la solución numérica sería entonces perfectamente inútil. Es solo por falta de conocer la resolución algebraica de las ecuaciones con una sola cantidad incógnita, que nos vemos obligados a tratar la Eliminación como una cuestión distinta, la cual constituye una de las mayores dificultades especiales del álgebra común. Por muy laboriosos que sean los métodos con cuya ayuda superamos esta dificultad, ni siquiera son aplicables, de un modo enteramente general, a la eliminación de una cantidad incógnita entre dos ecuaciones de cualquier forma que sea.
En las cuestiones más simples, y cuando se trata verdaderamente de resolver una sola ecuación con una sola cantidad incógnita, esta resolución numérica no deja de ser un método muy imperfecto, aun cuando sea estrictamente suficiente.
Presenta, en efecto, el grave inconveniente de obligarnos a repetir toda la serie de operaciones ante el más mínimo cambio que pueda producirse en una sola de las cantidades consideradas, aunque sus relaciones mutuas permanezcan inalteradas; pues los cálculos hechos para un caso no nos permiten prescindir de ninguno de los correspondientes a un caso muy ligeramente diferente. Esto ocurre debido a nuestra incapacidad para abstraer y tratar por separado aquella parte puramente algebraica de la cuestión que es común a todos los casos que resultan de la mera variación de los números dados.
De acuerdo con las consideraciones precedentes, el cálculo de las funciones directas, visto en su estado actual, se divide en dos ramas muy distintas, según que su objeto sea la resolución algebraica de las ecuaciones o su resolución numérica.
El primer departamento, el único verdaderamente satisfactorio, es por desgracia muy limitado, y probablemente siempre lo será; el segundo, demasiado a menudo insuficiente, tiene, al menos, la ventaja de una generalidad mucho mayor.
La necesidad de distinguir claramente estas dos partes es evidente, debido al objeto esencialmente diferente que se propone en cada una y, en consecuencia, al punto de vista peculiar bajo el cual se consideran en ellas las cantidades.
Different Divisions of the two Methods of Resolution.
Si, además, consideramos estas partes en relación con los diferentes métodos de los que se compone cada una, encontramos en su distribución lógica una disposición completamente diferente. De hecho, la primera parte debe dividirse según la naturaleza de las ecuaciones que somos capaces de resolver, e independientemente de toda consideración relativa a los valores de las incógnitas.
En la segunda parte, por el contrario, no es según los grados de las ecuaciones como los métodos se distinguen naturalmente, puesto que son aplicables a ecuaciones de cualquier grado que sea; es según el carácter numérico de los valores de las cantidades incógnitas; pues, al calcular estos números directamente, sin deducirlos de fórmulas generales, se emplearían evidentemente medios diferentes cuando los números no son susceptibles de ver sus valores determinados de otro modo que por una serie de aproximaciones, siempre incompleta, o cuando pueden obtenerse con entera exactitud.
Esta distinción entre raíces inconmensurables y conmensurables, que exigen principios muy diferentes para su determinación, tan importante como es en la resolución numérica de las ecuaciones, carece por completo de importancia en la resolución algebraica, en la cual la naturaleza racional o irracional de los números que se obtienen es un mero accidente del cálculo que no puede ejercer ninguna influencia sobre los métodos empleados; es, en una palabra, una simple consideración aritmética.
Podemos decir otro tanto, aunque en menor grado, de la división de las raíces conmensurables en enteras y fraccionarias.
En fin, el caso es el mismo, en un grado todavía mayor, con la clasificación más general de las raíces en reales e imaginarias. Todas estas consideraciones diferentes, que son preponderantes en cuanto a la resolución numérica de las ecuaciones, y que no tienen importancia en su resolución algebraica, hacen cada vez más perceptible la naturaleza esencialmente distinta de estas dos partes principales del álgebra.
# LA TEORÍA DE LAS ECUACIONES.
Estos dos departamentos, que constituyen el objeto inmediato del cálculo de las funciones directas, están subordinados a un tercero, puramente especulativo, del que ambos toman prestados sus recursos más poderosos, y que ha sido muy exactamente designado con el nombre general de Teoría de las ecuaciones, aunque por el momento se refiera únicamente a las ecuaciones algebraicas. La resolución numérica de las ecuaciones, debido a su generalidad, tiene una necesidad especial de este fundamento racional.
Esta última e importante rama del álgebra se divide naturalmente en dos clases de cuestiones, a saber, aquellas que se refieren a la composición de las ecuaciones y aquellas que conciernen a su transformación; teniendo estas últimas por objeto modificar las raíces de una ecuación sin conocerlas, de acuerdo con cualquier ley dada, siempre que esta ley sea uniforme en relación con todas las partes.
# EL MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.
Para completar esta rápida enumeración general de las diferentes partes esenciales del cálculo de funciones directas, debo, por último, mencionar expresamente una de las teorías más fecundas e importantes del álgebra propiamente dicha, aquella relativa a la transformación de funciones en series con la ayuda de lo que se denomina el Método de los coeficientes indeterminados.
Este método, tan eminentemente analítico, y que debe ser considerado como uno de los descubrimientos más notables de Descartes, ha perdido sin duda parte de su importancia desde la invención y el desarrollo del cálculo infinitesimal, cuyo lugar podría suplir tan ventajosamente en ciertos aspectos particulares.
Pero la creciente extensión del análisis trascendente, aunque ha hecho este método mucho menos necesario, ha multiplicado por otro lado sus aplicaciones y ampliado sus recursos; de modo que, mediante la útil combinación entre las dos teorías que finalmente se ha efectuado, el uso del método de los coeficientes indeterminados se ha vuelto en la actualidad mucho más extenso de lo que era incluso antes de la formación del cálculo de funciones indirectas.
Habiendo esbozado así las líneas generales del álgebra propiamente dicha, debo ofrecer ahora algunas consideraciones sobre varios puntos principales del cálculo de funciones directas, cuyas ideas pueden aclararse ventajosamente mediante un examen filosófico.
# CANTIDADES IMAGINARIAS.
Las dificultades relacionadas con varios símbolos peculiares a los que a veces conducen los cálculos algebraicos, y en especial con las expresiones llamadas imaginarias, han sido, a mi juicio, muy exageradas a través de consideraciones puramente metafísicas que se les han impuesto, en lugar de considerar estos resultados anormales desde su verdadero punto de vista como simples hechos analíticos.
Vistos de este modo, vemos fácilmente que, dado que el espíritu del análisis matemático consiste en considerar las magnitudes únicamente en referencia a sus relaciones, y sin ninguna consideración de su valor determinado, los analistas se ven obligados a admitir indiferentemente toda clase de expresión que pueda ser engendrada por las combinaciones algebraicas.
La prohibición de una sola expresión debido a su aparente singularidad destruiría la generalidad de sus concepciones.
La perplejidad común sobre este tema me parece proceder esencialmente de una confusión inconsciente entre la idea de función y la idea de valor, o, lo que viene a ser lo mismo, entre el punto de vista algebraico y el aritmético.
Un examen exhaustivo mostraría que el análisis matemático es mucho más claro en su naturaleza de lo que incluso los matemáticos suponen comúnmente.
# CANTIDADES NEGATIVAS.
En cuanto a las cantidades negativas, que han dado lugar a tantas discusiones mal encaminadas, tan irracionales como inútiles, debemos distinguir entre su significación abstracta y su interpretación concreta, las cuales casi siempre se han confundido hasta el día de hoy.
Bajo el primer punto de vista, la teoría de las cantidades negativas puede establecerse de manera completa mediante una sola consideración algebraica.
La necesidad de admitir tales expresiones es la misma que para las cantidades imaginarias, como se indicó anteriormente; y su empleo como artificio analítico, para hacer las fórmulas más abarcadoras, es un mecanismo de cálculo que no puede dar lugar realmente a ninguna dificultad seria.
Podemos, por tanto, considerar que la teoría abstracta de las cantidades negativas no deja nada esencial que desear; no presenta más obstáculos que aquellos introducidos inapropiadamente por consideraciones sofísticas.
Muy lejos está de ser así, sin embargo, con su teoría concreta. Esta consiste esencialmente en esa admirable propiedad de los signos + y -, de representar analíticamente las oposiciones de direcciones de las que ciertas magnitudes son susceptibles. Este teorema general sobre la relación de lo concreto con lo abstracto en matemáticas es uno de los descubrimientos más hermosos que debemos al genio de Descartes, quien lo obtuvo como un simple resultado de una observación filosófica debidamente dirigida.
Un gran número de geómetras se han esforzado desde entonces por establecer directamente su demostración general, pero hasta ahora sus esfuerzos han sido ilusorios. Sus vanas consideraciones metafísicas y sus mezclas heterogéneas de lo abstracto y lo concreto han confundido de tal manera el asunto, que es necesario enunciar aquí distintamente el hecho general.
Consiste en esto: si, en una ecuación cualquiera que exprese la relación de ciertas cantidades susceptibles de oposición de direcciones, una o varias de esas cantidades pasan a ser contadas en una dirección contraria a la que les pertenecía cuando se estableció por primera vez la ecuación, no será necesario formar directamente una nueva ecuación para este segundo estado de los fenómenos; bastará con cambiar, en la primera ecuación, el signo de cada una de las cantidades que hayan cambiado de dirección; y la ecuación, así modificada, coincidirá siempre rigurosamente con aquella a la que habríamos llegado al recommenzar a investigar, para este nuevo caso, la ley analítica del fenómeno.
El teorema general consiste en esta constante y necesaria coincidencia.
Ahora bien, hasta el presente, nadie ha logrado demostrar esto directamente; solo nos hemos convencido de ello mediante un gran número de verificaciones geométricas y mecánicas que son, es verdad, lo suficientemente multiplicadas, y sobre todo lo suficientemente variadas, como para impedir que cualquier mente lúcida abrigue la más mínima duda sobre la exactitud y la generalidad de esta propiedad esencial, pero que, desde un punto de vista filosófico, no eximen en absoluto de la búsqueda de una explicación tan importante.
La extrema amplitud del teorema debe hacernos comprender tanto las dificultades fundamentales de esta investigación como la alta utilidad que para el perfeccionamiento de la ciencia matemática tendría la concepción general de esta gran verdad.
Sin embargo, esta imperfección de la teoría no ha impedido a los geómetras hacer el uso más extenso y más importante de esta propiedad en todas las ramas de las matemáticas concretas.
De la enunciación general del hecho anterior, independientemente de toda demostración, se sigue que la propiedad de la que hablamos no debe aplicarse nunca a magnitudes cuyas direcciones varían continuamente, sin dar lugar a una simple oposición de dirección; en tal caso, el signo con el que resulta afectado necesariamente todo cálculo no es susceptible de ninguna interpretación concreta, y los intentos que a veces se hacen para establecer una son erróneos.
Esta circunstancia se presenta, entre otras ocasiones, en el caso de un radio vector en geometría, y de fuerzas divergentes en mecánica.
# PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD.
Un segundo teorema general sobre la relación de lo concreto con lo abstracto es el que se designa ordinariamente con el nombre de Principio de Homogeneidad.
Es indudablemente mucho menos importante en sus aplicaciones que el precedente, pero merece particularmente nuestra atención por tener, debido a su naturaleza, una extensión aún mayor, ya que es aplicable a todos los fenómenos sin distinción, y debido a la utilidad real que a menudo posee para la verificación de sus leyes analíticas.
Puedo, además, exponer una demostración directa y general del mismo que me parece muy simple. Se funda en esta única observación, que es evidente por sí misma, de que la exactitud de cualquier relación entre magnitudes concretas cualesquiera es independiente del valor de las unidades a las que se remiten con el propósito de expresarlas en números.
Por ejemplo, la relación que existe entre los tres lados de un triángulo rectángulo es la misma, ya se midan en yardas, en millas o en pulgadas.
Se sigue de esta consideración general que toda ecuación que exprese la ley analítica de cualquier fenómeno debe poseer la propiedad de no alterarse en absoluto cuando todas las cantidades que en ella se encuentran experimentan simultáneamente el cambio correspondiente al que experimentarían sus respectivas unidades.
Ahora bien, este cambio consiste evidentemente en que todas las cantidades de cada clase se vuelven a la vez m veces menores, si la unidad que les corresponde se vuelve m veces mayor, o recíprocamente.
Así, toda ecuación que represente cualquier relación concreta que sea debe poseer esta característica de permanecer idéntica cuando hacemos m veces mayores todas las cantidades que contiene y que expresan las magnitudes entre las cuales existe la relación; exceptuando siempre los números que designan simplemente las razones mutuas de estas diferentes magnitudes y que, por lo tanto, permanecen invariables durante el cambio de las unidades.
Es esta propiedad la que constituye la ley de Homogeneidad en su significación más amplia, es decir, sea cual fuere la naturaleza de las funciones analíticas de que se compongan las ecuaciones.
Pero con mayor frecuencia consideramos únicamente los casos en los que las funciones son de las que se llaman algebraicas, y a las cuales es aplicable la idea de grado. En este caso podemos dar mayor precisión a la proposición general determinando el carácter analítico que debe presentar necesariamente la ecuación para que esta propiedad se verifique.
Es fácil ver, entonces, que, mediante la modificación recién explicada, todos los términos del primer grado, cualquiera que sea su forma, racional o irracional, entera o fraccionaria, se volverán m veces mayores; todos los del segundo grado, m2 veces; los del tercero, m3 veces, etc.
Así pues, siendo los términos del mismo grado —por muy diferente que sea su composición— los que varían de la misma manera, y los términos de diferentes grados los que varían en una proporción desigual —cualquiera que sea la similitud que pueda haber en su composición—, será necesario, para evitar que la ecuación resulte alterada, que todos los términos que contiene sean del mismo grado.
En esto consiste propiamente el teorema ordinario de la Homogeneidad, y de esta circunstancia ha derivado su nombre la ley general, la cual, sin embargo, deja de ser exactamente apropiada para todas las demás funciones.
Para tratar este asunto en toda su extensión, es importante observar una condición esencial, a la que debe prestarse atención al aplicar esta propiedad cuando el fenómeno expresado por la ecuación presenta magnitudes de diferentes naturalezas.
Así puede suceder que las unidades respectivas sean completamente independientes entre sí, y entonces el teorema de la Homogeneidad se mantendrá válido, ya sea con referencia a todas las clases de cantidades correspondientes, o bien con respecto a una sola de ellas o a varias.
Pero sucederá en otras ocasiones que las diferentes unidades tendrán relaciones fijas entre sí, determinadas por la naturaleza de la cuestión; entonces será necesario prestar atención a esta subordinación de las unidades al verificar la homogeneidad, que ya no existirá en un sentido puramente algebraico, y cuya forma precisa variará según la naturaleza de los fenómenos.
Así, por ejemplo, para fijar nuestras ideas, cuando en la expresión analítica de los fenómenos geométricos consideramos a la vez líneas, áreas y volúmenes, será necesario observar que las tres unidades correspondientes están necesariamente conectadas entre sí de tal manera que, según la subordinación generalmente establecida a ese respecto, cuando la primera llega a ser m veces mayor, la segunda se vuelve m2 veces, y la tercera m3 veces.
Es con una modificación semejante que la homogeneidad existirá en las ecuaciones, en las cuales, si son algebraicas, tendremos que estimar el grado de cada término duplicando los exponentes de los factores que corresponden a las áreas, y triplicando los de los factores relativos a los volúmenes.
Tales son las principales consideraciones generales relativas al Cálculo de las Funciones Directas. Debemos pasar ahora al examen filosófico del Cálculo de las Funciones Indirectas, cuya importancia y extensión, muy superiores, reclaman un desarrollo más completo.