Capítulo I. Vista general de la geometría

# VISTA GENERAL DE LA GEOMETRÍA.

Su verdadera Naturaleza. Después de la exposición general del carácter filosófico de las matemáticas concretas, comparado con el de las matemáticas abstractas, dada en el capítulo introductorio, no es necesario mostrar aquí de manera especial que la geometría debe ser considerada como una verdadera ciencia natural, solo que mucho más simple y, por lo tanto, mucho más perfecta que cualquier otra. Esta necesaria perfección de la geometría, obtenida esencialmente por la aplicación del análisis matemático, que admite tan eminentemente, tiende a producir puntos de vista erróneos sobre la verdadera naturaleza de esta ciencia fundamental, que la mayoría de las mentes conciben actualmente como una ciencia puramente lógica, bastante independiente de la observación. Es, sin embargo, evidente para cualquiera que examine con atención el carácter de los razonamientos geométricos, incluso en el estado actual de la geometría abstracta, que, aunque los hechos considerados en ella están mucho más estrechamente unidos que los relativos a cualquier otra ciencia, siempre existe, con respecto a cada cuerpo estudiado por los geómetras, un cierto número de fenómenos primitivos que, dado que no están establecidos por ningún razonamiento, deben fundarse únicamente en la observación, y que forman la base necesaria de todas las deducciones.

La superioridad científica de la geometría surge de que los fenómenos que considera son necesariamente los más universales y los más simples de todos.

No solo todos los cuerpos de la naturaleza pueden dar lugar a investigaciones geométricas, así como mecánicas, sino que además los fenómenos geométricos seguirían existiendo aunque todas las partes del universo se considerasen inamovibles. La geometría es entonces, por su naturaleza, más general que la mecánica.

Al mismo tiempo, sus fenómenos son más simples, pues son evidentemente independientes de los fenómenos mecánicos, mientras que estos últimos siempre están complicados con los primeros. Las mismas relaciones se cumplen al comparar la geometría con la termología abstracta.

Por estas razones, en nuestra clasificación hemos hecho de la geometría la primera parte de las matemáticas concretas; aquella parte cuyo estudio, además de su propia importancia, sirve como base indispensable de todo el resto.

Antes de considerar directamente el estudio filosófico de los diferentes órdenes de investigaciones que constituyen nuestra geometría actual, debemos formarnos una idea clara y exacta del destino general de esa ciencia, vista en todos sus aspectos. Tal es el objeto de este capítulo.

Definición. La geometría se define comúnmente de una manera muy vaga y enteramente impropia, como la ciencia de la extensión. Una mejora de esto sería decir que la geometría tiene por objeto la medición de la extensión; pero tal explicación sería muy insuficiente, aunque en el fondo correcta, y distaría mucho de dar una idea del verdadero carácter general de la ciencia geométrica.

Para hacer esto, creo que debo explicar primero dos ideas fundamentales que, muy simples en sí mismas, han quedado singularmente oscurecidas por el empleo de consideraciones metafísicas.

La idea de espacio.

La primera es la de Espacio.

Esta concepción consiste propiamente simplemente en esto: que, en lugar de considerar la extensión en los cuerpos mismos, la contemplamos en un medio indefinido, al que consideramos como continente de todos los cuerpos del universo.

Esta noción nos es sugerida naturalmente por la observación, cuando pensamos en la impresión que un cuerpo dejaría en un fluido en el que hubiera sido colocado. Es evidente, en efecto, que, en lo que respecta a sus relaciones geométricas, dicha impresión puede ser sustituida por el cuerpo mismo, sin alterar los razonamientos acerca de él.

En cuanto a la naturaleza física de este espacio indefinido, nos sentimos espontáneamente llevados a representárnoslo como enteramente análogo al medio real en el que vivimos; de modo que si este medio fuera líquido en lugar de gaseoso, nuestro espacio geométrico se concebiría sin duda como líquido también. Esta circunstancia es, por lo demás, muy secundaria, siendo el objeto esencial de tal concepción el único de hacernos ver la extensión separadamente de los cuerpos que nos la manifiestan.

Podemos comprender fácilmente de antemano la importancia de esta imagen fundamental, puesto que nos permite estudiar los fenómenos geométricos en sí mismos, haciendo abstracción de todos los demás fenómenos que los acompañan constantemente en los cuerpos reales, sin ejercer, no obstante, ninguna influencia sobre ellos.

El establecimiento regular de esta abstracción general debe considerarse como el primer paso dado en el estudio racional de la geometría, el cual habría sido imposible de haber sido necesario considerar, junto con la forma y la magnitud de los cuerpos, todas sus demás propiedades físicas.

El uso de semejante hipótesis, que es quizás la concepción filosófica más antigua creada por la mente humana, nos es hoy tan familiar que apenas podemos estimar exactamente su importancia tratando de apreciar las consecuencias que resultarían de su supresión.

Diferentes clases de extensión.

La segunda concepción geométrica preliminar que hemos de examinar es la de las diferentes clases de extensión, designadas por las palabras volumen, superficie, línea e incluso punto, y cuya explicación ordinaria resulta tan insatisfactoria.

Aunque es evidentemente imposible concebir ninguna extensión absolutamente desprovista de cualquiera de las tres dimensiones fundamentales, no es menos incontestable que, en un gran número de ocasiones, incluso de utilidad inmediata, las cuestiones geométricas dependen de dos dimensiones únicamente, consideradas separadamente de la tercera, o de una sola dimensión, considerada separadamente de las otras dos.

Asimismo, independientemente de este motivo directo, el estudio de la extensión con una sola dimensión, y después con dos, se presenta claramente como un preliminar indispensable para facilitar el estudio de los cuerpos completos de tres dimensiones, cuya teoría inmediata sería demasiado complicada.

Tales son los dos motivos generales que obligan a los geómetras a considerar por separado la extensión con respecto a una o a dos dimensiones, así como relativamente a las tres juntas.

Las nociones generales de superficie y de línea han sido formadas por el espíritu humano a fin de poder pensar, de manera permanente, en la extensión en dos direcciones, o en una sola.

Las expresiones hiperbólicas empleadas habitualmente por los geómetras para definir estas nociones tienden a transmitir ideas falsas de ellas; pero, examinadas en sí mismas, no tienen otro objeto que permitirnos razonar con facilidad respecto a estos dos tipos de extensión, haciendo abstracción completa de aquello que no debe tomarse en consideración.

Ahora bien, para esto basta con concebir la dimensión que deseamos eliminar como si se volviera gradualmente cada vez más pequeña, permaneciendo iguales las dos restantes, hasta que llega a un grado de tenuidad tal que ya no puede fijar la atención.

Es así como adquirimos de forma natural la idea real de una superficie y, mediante una segunda operación análoga, la idea de una línea, repitiendo para la anchura lo que primero habíamos hecho para el espesor.

Finalmente, si repetimos de nuevo la misma operación, llegamos a la idea de un punto, o de una extensión considerada únicamente con referencia a su lugar, haciéndose abstracción de toda magnitud y destinado en consecuencia a determinar posiciones.

Las superficies tienen evidentemente, por otra parte, la propiedad general de circunscribir exactamente volúmenes; y del mismo modo, las líneas, a su vez, circunscriben superficies y están limitadas por puntos. Pero esta consideración, a la que a menudo se da demasiada importancia, es solo secundaria.

Las superficies y las líneas son, pues, en realidad, concebidas siempre con tres dimensiones; sería, en efecto, imposible representarse una superficie de otro modo que como una lámina sumamente delgada, y una línea de otro modo que como un hilo infinitamente fino.

Es evidente incluso que el grado de tenuidad atribuido por cada individuo a las dimensiones de las cuales desea hacer abstracción no es constantemente idéntico, pues debe depender del grado de sutileza de sus observaciones geométricas habituales.

Esta falta de uniformidad no tiene, por lo demás, ningún inconveniente real, puesto que basta, para que las ideas de superficie y de línea satisfagan la condición esencial de su destino, con que cada uno se represente las dimensiones que deben ser desdeñadas como más pequeñas que todas aquellas cuya magnitud su experiencia diaria le da ocasión de apreciar.

Vemos así cuán carentes de todo sentido son las discusiones fantásticas de los metafísicos sobre los fundamentos de la geometría. Debe observarse también que estas ideas primordiales son habitualmente presentadas por los geómetras de un modo afilosófico, ya que, por ejemplo, explican las nociones de las diversas clases de extensión en un orden absolutamente inverso al de su dependencia natural, lo que produce a menudo los más graves inconvenientes en la enseñanza elemental.

# EL OBJETO FINAL DE LA GEOMETRÍA.

Establecidos estos preliminares, podemos proceder directamente a la definición general de la geometría, continuando concibiendo esta ciencia como teniendo por objeto final la medición de la extensión.

Es necesario en este asunto entrar en una explicación exhaustiva, fundada en la distinción de las tres clases de extensión, ya que la noción de medida no es exactamente la misma con referencia a las superficies y a los volúmenes que a las líneas.

Naturaleza de la medición geométrica.

Si tomamos la palabra medición en su acepción directa y general matemática, que significa simplemente la determinación del valor de las razones entre magnitudes homogéneas cualesquiera, debemos considerar, en geometría, que la medición de superficies y de volúmenes, a diferencia de la de líneas, nunca se concibe, ni siquiera en los casos más simples y más favorables, como efectuada directamente.

La comparación de dos líneas se considera directa; la de dos superficies o la de dos volúmenes es, por el contrario, siempre indirecta. Así, concebimos que dos líneas pueden superponerse; pero la superposición de dos superficies, o, con mayor razón, de dos volúmenes, es evidentemente imposible en la mayoría de los casos; y, aun cuando llega a ser rigurosamente factible, tal comparación no resulta nunca ni conveniente ni exacta. Es, por tanto, muy necesario explicar en qué consiste propiamente la medición verdaderamente geométrica de una superficie o de un volumen.

Medida de las superficies y de los volúmenes.

Para esto debemos considerar que, cualquiera que sea la forma de un cuerpo, siempre existe un cierto número de líneas, más o menos fáciles de determinar, cuya longitud es suficiente para definir exactamente la magnitud de su superficie o de su volumen. La geometría, al considerar estas líneas como las únicas susceptibles de ser medidas directamente, se propone deducir, a partir de la simple determinación de ellas, la relación entre la superficie o el volumen buscados y la unidad de superficie, o la unidad de volumen.

Así, el objeto general de la geometría, con respecto a las superficies y a los volúmenes, es propiamente reducir todas las comparaciones de superficies o de volúmenes a simples comparaciones de líneas.

Además de la muy gran facilidad que semejante transformación ofrece evidentemente para la medida de los volúmenes y de las superficies, resulta de ella, al considerarla de un modo más extendido y más científico, la posibilidad general de reducir a cuestiones de líneas todas las cuestiones relativas a los volúmenes y a las superficies, considerados con referencia a su magnitud.

Tal es a menudo el uso más importante de las expresiones geométricas que determinan las superficies y los volúmenes en funciones de las líneas correspondientes.

Es verdad que a veces se emplean comparaciones directas entre superficies o entre volúmenes; pero tales mediciones no se consideran geométricas, sino tan solo un suplemento a veces necesario, aunque demasiado rara vez aplicable, a la insuficiencia o a la dificultad de los métodos verdaderamente racionales.

Es así como a menudo determinamos el volumen de un cuerpo, y en ciertos casos su superficie, por medio de su peso. Del mismo modo, en otras ocasiones, cuando podemos sustituir el volumen propuesto por un volumen líquido equivalente, establecemos directamente la comparación de los dos volúmenes, aprovechando la propiedad que poseen las masas líquidas de adoptar cualquier forma deseada.

Pero todos los medios de esta índole son puramente mecánicos, y la geometría racional los rechaza necesariamente.

Para hacer más sensible la diferencia entre estos modos de determinación y las verdaderas mediciones geométricas, citaré un solo ejemplo muy notable: la manera en que Galileo determinó la relación entre la cicloide ordinaria y la de su círculo generatriz.

La geometría de su tiempo aún era insuficiente para la solución racional de tal problema. Galileo concebía la idea de descubrir dicha relación mediante un experimento directo.

Habiendo pesado con la mayor exactitud posible dos placas del mismo material y de igual espesor, teniendo una de ellas la forma de un círculo y la otra la de la cicloide generada, halló que el peso de esta última era siempre el triple del de la primera; de donde infirió que el área de la cicloide es el triple de la del círculo generatriz, un resultado concordante con la solución verídica obtenida posteriormente por Pascal y Wallis.

Tal éxito depende evidentemente de la extrema simplicidad de la relación buscada; y podemos comprender la insuficiencia necesaria de tales expedientes, aun cuando sean efectivamente aplicables.

Vemos claramente, por lo que antecede, la naturaleza de aquella parte de la geometría relativa a los volúmenes y de la relativa a las superficies. Pero el carácter de la geometría de las líneas no es tan aparente, puesto que, para simplificar la exposición, hemos considerado la medida de las líneas como hecha directamente. Se hace necesaria, por tanto, una explicación complementaria respecto a ellas.

Measurement of curved Lines. For this purpose, it is sufficient to distinguish between the right line and curved lines, the measurement of the first being alone regarded as direct, and that of the other as always indirect.

Although superposition is sometimes strictly practicable for curved lines, it is nevertheless evident that truly rational geometry must necessarily reject it, as not admitting of any precision, even when it is possible.

La geometría de líneas tiene, pues, por objeto general, reducir en cada caso la medida de las líneas curvas a la de las líneas rectas; y en consecuencia, desde el punto de vista más amplio, reducir a simples cuestiones de líneas rectas todas las cuestiones relativas a la magnitud de cualquier curva que sea.

Para comprender la posibilidad de semejante transformación, debemos observar que en toda curva existen siempre ciertas líneas rectas cuya longitud ha de ser suficiente para determinar la de la curva. Así, en un círculo, es evidente que a partir de la longitud del radio debemos poder deducir la de la circunferencia; del mismo modo, la longitud de una elipse depende de la de sus dos ejes; la longitud de una cicloide, del diámetro del círculo generatriz, etc.; y si, en lugar de considerar la curva en su totalidad, exigimos, de un modo más general, la longitud de cualquier arco, bastará con añadir a los diferentes parámetros rectilíneos que determinan toda la curva, la cuerda del arco propuesto, o las coordenadas de sus extremidades.

Descubrir la relación que existe entre la longitud de una línea curva y la de líneas rectas similares, es el problema general de la parte de la geometría que se relaciona con el estudio de las líneas.

Combinando esta consideración con las sugeridas previamente respecto a los volúmenes y a las superficies, podemos formarnos una idea muy clara de la ciencia de la geometría, concebida en todas sus partes, asignándole, como objeto general, la reducción final de las comparaciones de toda clase de extensión —volúmenes, superficies o líneas— a simples comparaciones de líneas rectas, las únicas consideradas capaces de ser hechas directamente, y que en verdad no podrían reducirse a otras más fáciles de efectuar.

Semejante concepción, al mismo tiempo, indica claramente el carácter verídico de la geometría, y parece adecuada para mostrar de un solo golpe su utilidad y su perfección.

Medición de Líneas rectas. Para completar esta explicación fundamental, aún me falta mostrar cómo puede haber, en geometría, una sección especial relativa a la línea recta, lo que al principio parece incompatible con el principio de que la medición de esta clase de líneas debe considerarse siempre como directa.

Así es, en efecto, si se la compara con la de las líneas curvas y con la de todos los demás objetos que la geometría considera.

Pero es evidente que la estimación de una línea recta no puede considerarse directa sino en la medida en que la unidad lineal pueda aplicarse a ella. Ahora bien, esto presenta a menudo dificultades insuperables, tal como tuve ocasión de mostrar, por otro motivo, en el capítulo introductorio.

Debemos, por lo tanto, hacer que la medida de la línea recta propuesta dependa de otras medidas análogas capaces de efectuarse directamente. Existe, pues, necesariamente una primera rama distinta de la geometría, consagrada exclusivamente a la línea recta; su objeto es determinar ciertas líneas rectas a partir de otras mediante las relaciones pertenecientes a las figuras resultantes de su ensamblaje.

Esta parte preliminar de la geometría, que es casi imperceptible al contemplar el conjunto de la ciencia, es sin embargo susceptible de un gran desarrollo. Es evidentemente de especial importancia, ya que todas las demás medidas geométricas se remiten a las de las líneas rectas y, si estas no pudiesen determinarse, la solución de cualquier cuestión quedaría inconclusa.

Tales son, pues, las diversas partes fundamentales de la geometría racional, ordenadas según su dependencia natural; considerándose primero la geometría de las líneas, empezando por la línea recta; luego la geometría de las superficies y, finalmente, la de los cuerpos.

EXTENSIÓN INFINITA DE SU CAMPO.

Habiendo determinado con precisión el objeto general y final de las investigaciones geométricas, debe considerarse ahora la ciencia con respecto al campo que abarca cada una de sus tres secciones fundamentales.

Considerada de este modo, la geometría es evidentemente susceptible, por su naturaleza, de una extensión rigurosamente infinita; pues la medida de las líneas, de las superficies o de los volúmenes presenta necesariamente tantas cuestiones distintas como diferentes figuras podamos concebir sujetas a definiciones exactas; y su número es evidentemente infinito.

Los geómetras se limitaron al principio a considerar las figuras más simples que la naturaleza les proporcionaba directamente, o que se deducían de estos elementos primitivos mediante las combinaciones menos complicadas. Pero han comprendido, desde Descartes, que, para constituir la ciencia de la manera más filosófica, era necesario aplicarla a todas las figuras imaginables.

Esta geometría abstracta comprenderá entonces inevitablemente como casos particulares todas las diferentes figuras reales que el mundo exterior pueda presentar. Es, por tanto, un principio fundamental en la geometría verdaderamente racional considerar, en la medida de lo posible, todas las figuras que puedan concebirse rigurosamente.

El examen más superficial basta para convencernos de que estas figuras presentan una variedad que es completamente infinita.

Infinidad de líneas. Respecto a las líneas curvas, considerándolas generadas por el movimiento de un punto gobernado por una cierta ley, es evidente que tendremos, en general, tantas curvas diferentes como distintas leyes concebamos para este movimiento, las cuales pueden determinarse evidentemente mediante una infinidad de condiciones distintas; aunque a veces pueda suceder accidentalmente que nuevas generaciones produzcan curvas que ya se hayan obtenido.

Así, entre las curvas planas, si un punto se mueve de manera que permanece constantemente a la misma distancia de un punto fijo, generará un círculo; si es la suma o la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos lo que permanece constante, la curva descrita será una elipse o una hipérbola; si es su producto, obtendremos una curva enteramente diferente; si el punto se aparta por igual de un punto fijo y de una línea fija, describirá una parábola; si gira sobre un círculo al mismo tiempo que este círculo rueda a lo largo de una línea recta, obtendremos una cicloide; si avanza a lo largo de una línea recta, mientras esta línea, fija en uno de sus extremos, gira de cualquier manera que sea, resultará lo que en términos generales se llama espirales, las cuales por sí mismas presentan evidentemente tantas curvas perfectamente distintas como relaciones diferentes podamos suponer entre estos dos movimientos de traslación y de rotación, etc.

Cada una de estas distintas curvas puede además proporcionar otras nuevas, mediante las diferentes construcciones generales que los geómetras han ideado, y que dan lugar a evolutas, a epicicloides, a cáusticas, etc.

Finalmente, existe una variedad todavía mayor entre las curvas de doble curvatura.

Infinidad de superficies.

En cuanto a las superficies, las figuras son necesariamente aún más diferentes, si se las considera generadas por el movimiento de líneas. En efecto, la figura puede entonces variar, no solo al considerar, como en las curvas, las diferentes leyes infinitamente numerosas a las que el movimiento de la línea generatriz puede estar sujeto, sino también al suponer que esta línea misma puede cambiar su naturaleza; una circunstancia que no tiene nada análogo en las curvas, puesto que los puntos que las describen no pueden tener ninguna figura distintiva.

Dos clases de condiciones muy diferentes pueden entonces hacer que las figuras de las superficies varíen, mientras que solo existe una para las líneas. Es inútil citar ejemplos de esta multiplicidad doblemente infinita de superficies. Bastaría con considerar la extrema variedad del único grupo de superficies que puede ser generado por una línea recta, y que comprende a toda la familia de las superficies cilíndricas, la de las superficies cónicas, la clase más general de las superficies desarrollables, etc.

Infinidad de volúmenes. Con respecto a los volúmenes, no hay ocasión para ninguna consideración especial, ya que solo se distinguen entre sí por las superficies que los delimitan.

Para completar este esbozo, debe añadirse que las superficies mismas proporcionan un nuevo medio general de concebir nuevas curvas, puesto que cada curva puede considerarse producida por la intersección de dos superficies.

Es de este modo, en efecto, como se obtuvieron las primeras líneas que podemos considerar verdaderamente inventadas por los geómetras, puesto que la naturaleza dio directamente la línea recta y el círculo.

Sabemos que la elipse, la parábola y la hipérbola, las únicas curvas estudiadas por completo por los antiguos, fueron concebidas en su origen únicamente como el resultado de la intersección de un cono de base circular con un plano en diferentes posiciones.

Es evidente que, mediante el empleo combinado de estos diferentes medios generales para la formación de líneas y de superficies, podríamos producir una serie rigurosamente infinita de formas distintas a partir de un número muy pequeño de figuras proporcionadas directamente por la observación.

Invención analítica de curvas, etc.

Finalmente, todos los diversos medios directos para la invención de figuras apenas tienen ya mayor importancia, desde que la geometría racional ha asumido su carácter definitivo en manos de Descartes. En efecto, como veremos con más detalle en el capítulo iii, la invención de figuras se reduce ahora a la invención de ecuaciones, de modo que nada es más fácil que concebir nuevas líneas y nuevas superficies, cambiando a voluntad las funciones introducidas en las ecuaciones.

Este sencillo procedimiento abstracto es, a este respecto, infinitamente más fructífero que todos los recursos directos de la geometría, desarrollados por la imaginación más poderosa, que se dedicara exclusivamente a ese orden de concepciones. Explica también, de la manera más general y más sorprendente, la variedad necesariamente infinita de las formas geométricas, que corresponde así a la diversidad de las funciones analíticas.

Por último, muestra no menos claramente que las diferentes formas de superficies deben ser aún más numerosas que las de las líneas, puesto que las líneas están representadas analíticamente por ecuaciones con dos variables, mientras que las superficies dan lugar a ecuaciones con tres variables, que presentan necesariamente una mayor diversidad.

Las consideraciones precedentes bastan para mostrar claramente la extensión rigurosamente infinita de cada una de las tres secciones generales de la geometría.

# AMPLIACIÓN DE LA DEFINICIÓN ORIGINAL.

Para completar la formación de una idea exacta y suficientemente extendida de la naturaleza de las investigaciones geométricas, es indispensable ahora volver a la definición general dada arriba, con el fin de presentarla bajo un nuevo punto de vista, sin el cual la ciencia completa solo sería concebida muy imperfectamente.

Cuando asignamos como objeto de la geometría la medida de toda clase de líneas, superficies y volúmenes, es decir, según se ha explicado, la reducción de todas las comparaciones geométricas a simples comparaciones de líneas rectas, tenemos evidentemente la ventaja de indicar un destino general muy preciso y muy fácil de comprender.

Pero si dejamos de lado toda definición y examinamos la composición real de la ciencia de la geometría, nos inclinaremos al principio a considerar la definición precedente como demasiado restringida; pues es cierto que la mayor parte de las investigaciones que constituyen nuestra geometría actual no parecen en absoluto tener por objeto la medida de la extensión.

A pesar de esta objeción fundamental, persistiré en mantener esta definición; porque, de hecho, si en vez de limitarnos a considerar aisladamente las diferentes cuestiones de la geometría, nos esforzamos por abarcar las cuestiones principales, en comparación con las cuales todas las demás, por importantes que sean, deben considerarse como meramente secundarias, terminaremos por reconocer que la medida de las líneas, de las superficies y de los volúmenes es el objeto invariable, a veces directo, aunque las más de las veces indirecto, de todas las labores geométricas.

Siendo fundamental esta proposición general, ya que solo ella puede dar a nuestra definición todo su valor, es indispensable entrar en algunos desarrollos sobre este asunto.

# PROPIEDADES DE LÍNEAS Y SUPERFICIES.

Cuando examinamos con atención las investigaciones geométricas que no parecen referirse a la medida de la extensión, hallamos que consisten esencialmente en el estudio de las diferentes propiedades de cada línea o de cada superficie; es decir, en el conocimiento de los diversos modos de generación, o al menos de definición, peculiares de cada figura considerada.

Ahora bien, podemos establecer fácilmente de la manera más general la relación necesaria de tal estudio con la cuestión de la medida, para la cual el conocimiento más completo de las propiedades de cada forma es un preliminar indispensable. Esto queda demostrado concurrentemente por dos consideraciones, igualmente fundamentales, aunque bien distintas en su naturaleza.

Necesidad de su Estudio: 1. Para encontrar la propiedad más adecuada. La primera, puramente científica, consiste en observar que, si no conociéramos otra propiedad característica de cada línea o superficie que aquella según la cual los geómetras la hubieran concebido primeramente, en la mayoría de los casos sería imposible tener éxito en la solución de las cuestiones relativas a su medición. De hecho, es fácil comprender que las diferentes definiciones que admite cada figura no son todas igualmente adecuadas para tal objeto, y que incluso presentan las oposiciones más completas a este respecto. Además, puesto que la definición primitiva de cada figura no fue elegida evidentemente con esta condición en vista, es claro que no debemos esperar, en general, encontrarla como la más adecuada; de donde resulta la necesidad de descubrir otras, es decir, de estudiar tanto como sea posible las propiedades de la figura propuesta.

Supongamos, por ejemplo, que el círculo se define como «la curva que, con el mismo contorno, contiene el área mayor». Esta es sin duda una propiedad muy característica, pero evidentemente encontraríamos dificultades insuperables al intentar deducir a partir de semejante punto de partida la solución de las cuestiones fundamentales relativas a la rectificación o a la cuadratura de esta curva.

Es evidente de antemano que la propiedad de tener todos sus puntos equidistantes de un punto fijo debe adaptarse mucho mejor a investigaciones de esta naturaleza, aun cuando no sea precisamente la más adecuada.

Del mismo modo, ¿habría sido capaz alguna vez Arquímedes de descubrir la cuadratura de la parábola si no hubiera conocido otra propiedad de dicha curva que la de ser la sección de un cono con base circular por un plano paralelo a su generatriz?

Los trabajos puramente especulativos de geómetras precedentes, al transformar esta primera definición, fueron evidentemente preliminares indispensables para la solución directa de una cuestión semejante.

Lo mismo ocurre, en un grado todavía mayor, respecto a las superficies. Para formarse una idea justa de esto, solo necesitamos comparar, en cuanto a la cuestión de la cubatura o la cuadratura, la definición común de la esfera con aquella otra, no menos característica por cierto, que consistiría en considerar un cuerpo esférico como aquel que, con la misma área, contiene el mayor volumen.

No se necesitan más ejemplos para mostrar la necesidad de conocer, en la medida de lo posible, todas las propiedades de cada línea o de cada superficie, con el fin de facilitar la investigación de las rectificaciones, de las cuadraturas y de las cubaturas, lo cual constituye el objeto final de la geometría.

Podemos incluso afirmar que la principal dificultad de las cuestiones de este género consiste en emplear en cada caso la propiedad que mejor se adapte a la naturaleza del problema propuesto.

Así, mientras continuamos señalando, para mayor precisión, la medida de la extensión como el destino general de la geometría, esta primera consideración, que va al fondo mismo del asunto, muestra claramente la necesidad de incluir en ella el estudio, lo más minucioso posible, de las diferentes generaciones o definiciones pertenecientes a una misma forma.

2. Pasar de lo concreto a lo abstracto. Una segunda consideración, de importancia al menos igual, consiste en que dicho estudio es indispensable para organizar de manera racional la relación de lo abstracto con lo concreto en la geometría.

La ciencia de la geometría, al tener que considerar todas las figuras imaginables que admiten una definición exacta, resulta necesariamente de esto, como hemos observado, que las cuestiones relativas a cualquier figura presentada por la naturaleza están siempre implícitamente comprendidas en esta geometría abstracta, supuesta como alcanzada en su perfección.

Pero cuando es necesario pasar efectivamente a la geometría concreta, nos encontramos constantemente con una dificultad fundamental: la de saber a cuál de los diferentes tipos abstractos debemos referir, con suficiente aproximación, las líneas o superficies reales que tenemos que estudiar.

Ahora bien, es con el propósito de establecer tal relación que resulta particularmente indispensable conocer el mayor número posible de propiedades de cada figura considerada en geometría.

De hecho, si nos limitáramos siempre a la única definición primitiva de una línea o de una superficie, suponiendo incluso que pudiéramos entonces medirla (lo que, según el primer orden de consideraciones, sería por lo general imposible), este conocimiento permanecería casi necesariamente estéril en su aplicación, puesto que ordinariamente no sabríamos reconocer esa figura en la naturaleza cuando allí se presentara; para asegurarlo, sería necesario que la única característica, según la cual los geómetras la habían concebido, fuera precisamente aquella cuya verificación admitieran las circunstancias externas: una coincidencia que sería puramente fortuita, y con la que no podríamos contar, aunque a veces pudiera tener lugar.

Es, pues, solo multiplicando tanto como sea posible las propiedades características de cada figura abstracta, como podemos estar seguros, de antemano, de reconocerla en el estado concreto, y de sacar así partido de todos nuestros trabajos racionales, verificando en cada caso la definición que es susceptible de ser directamente comprobada. Esta definición es casi siempre la única en circunstancias dadas, y varía, por otra parte, para una misma figura, con las diferentes circunstancias; una doble razón para su determinación previa.

Ilustración: Órbitas de los planetas.

La geometría de los cielos nos proporciona un ejemplo muy memorable en este asunto, muy adecuado para mostrar la necesidad general de tal estudio. Sabemos que Kepler descubrió que la elipse es la curva que los planetas describen alrededor del sol, y los satélites alrededor de sus planetas.

Ahora bien, ¿habría sido posible alguna vez este descubrimiento fundamental, que recreó la astronomía, si los geómetras se hubiesen visto siempre limitados a concebir la elipse únicamente como la sección oblicua de un cono circular por un plano? Ninguna definición semejante, es evidente, habría permitido tal verificación.

La propiedad más general de la elipse, a saber, que la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos es una cantidad constante, es sin duda mucho más apta, por su naturaleza, para hacer que la curva sea reconocida en este caso, pero aun así no es directamente adecuada.

La única característica que aquí puede verificarse de inmediato es la que se deriva de la relación que existe en la elipse entre la longitud de las distancias focales y su dirección; la única relación que admite una interpretación astronómica, en tanto expresa la ley que vincula la distancia del planeta al sol con el tiempo transcurrido desde el comienzo de su revolución.

Era, pues, necesario que los trabajos puramente especulativos de los geómetras griegos sobre las propiedades de las secciones cónicas hubiesen presentado previamente su generación bajo una multitud de puntos de vista diferentes, antes de que Kepler pudiera pasar así de lo abstracto a lo concreto, eligiendo entre todas estas características diferentes aquella que pudiera demostrarse más fácilmente para las órbitas planetarias.

Ilustración: Figura de la Tierra. Otro ejemplo del mismo orden, pero relativo a las superficies, se presenta al considerar la importante cuestión de la figura de la tierra.

Si nunca hubiéramos conocido otra propiedad de la esfera que su carácter primitivo de tener todos sus puntos equidistantes de un punto interior, ¿cómo habríamos podido descubrir jamás que la superficie de la tierra era esférica? Para esto, fue necesario deducir previamente de esta definición de la esfera algunas propiedades capaces de ser verificadas mediante observaciones hechas únicamente sobre la superficie, tales como la razón constante que existe entre la longitud del camino recorrido en la dirección de cualquier meridiano de una esfera que se dirige hacia un polo, y la altura angular de este polo sobre el horizonte en cada punto.

Otro ejemplo, pero que implica una serie mucho más larga de especulaciones preliminares, es la demostración subsiguiente de que la tierra no es rigurosamente esférica, sino que su forma es la de un elipsoide de revolución.

Después de tales ejemplos, sería innecesario dar otros, que cualquiera por su cuenta puede multiplicar fácilmente. Todos ellos prueban que, sin un conocimiento muy amplio de las diferentes propiedades de cada figura, la relación de lo abstracto con lo concreto, en geometría, sería puramente accidental, y que la ciencia carecería en consecuencia de uno de sus fundamentos más esenciales.

Tales son, pues, dos consideraciones generales que demuestran plenamente la necesidad de introducir en la geometría un gran número de investigaciones que no tienen la medición de la extensión por objeto directo; al tiempo que seguimos concibiendo tal medición como el destino final de toda la ciencia geométrica.

De este modo podemos conservar las ventajas filosóficas de la claridad y precisión de esta definición, e incluir aún en ella, de un modo muy lógico aunque indirecto, todas las investigaciones geométricas conocidas, al considerar aquellas que no parecen referirse a la medición de la extensión como destinadas ya sea a preparar la solución de las cuestiones finales, o bien a hacer posible la aplicación de las soluciones obtenidas.

Habiendo reconocido así, como principio general, la estrecha y necesaria conexión del estudio de las propiedades de las líneas y de las superficies con aquellas investigaciones que constituyen el objeto final de la geometría, es evidente que los geómetras, en el curso de sus trabajos, no deben en modo alguno constreñirse a mantener siempre dicha conexión a la vista.

Sabiendo, de una vez por todas, cuán importante es variar tanto como sea posible la manera de concebir cada figura, deben proseguir ese estudio sin considerar de qué uso inmediato pueda ser tal o cual propiedad especial para las rectificaciones, cuadraturas y cubaturas.

Limitarían inútilmente sus indagaciones si atribuyeran una importancia pueril al establecimiento continuo de esa coordinación.

Esta exposición general del objeto general de la geometría es tanto más indispensable cuanto que, por la propia naturaleza del asunto, este estudio de las diferentes propiedades de cada línea y de cada superficie compone necesariamente con mucho la mayor parte del cuerpo entero de las investigaciones geométricas.

En efecto, las cuestiones relativas directamente a las rectificaciones, a las cuadraturas y a las cubaturas son evidentemente, por sí mismas, muy poco numerosas para cada figura considerada. Por otra parte, el estudio de las propiedades de esa misma figura presenta un campo ilimitado a la actividad del espíritu humano, en el cual siempre puede esperar hacer nuevos descubrimientos.

Así, aunque los geómetras se han ocupado durante veinte siglos, con más o menos actividad sin duda, pero sin ninguna interrupción real, en el estudio de las secciones cónicas, están muy lejos de considerar un tema tan simple como agotado; y es cierto, en efecto, que al continuar dedicándose a él, no dejarían de encontrar propiedades todavía desconocidas de esas diferentes curvas.

Si los trabajos de este género han disminuido considerablemente desde hace un siglo, no es porque estén concluidos, sino únicamente, como se explicará a continuación, porque la revolución filosófica en la geometría, operada por Descartes, ha disminuido singularmente la importancia de tales investigaciones.

De las consideraciones precedentes se deduce que el campo de la geometría no solo es necesariamente infinito debido a la variedad de figuras que deben considerarse, sino también en virtud de la diversidad de puntos de vista bajo los cuales puede considerarse una misma figura.

Esta última concepción es, en verdad, la que proporciona la idea más amplia y completa de todo el conjunto de las investigaciones geométricas. Vemos que los estudios de este género consisten esencialmente, para cada línea o para cada superficie, en relacionar todos los fenómenos geométricos que puede presentar con un único fenómeno fundamental, considerado como la definición primitiva.

# LOS DOS MÉTODOS GENERALES DE LA GEOMETRÍA.

Habiendo explicado ya de una manera general y a la vez precisa el objeto final de la geometría, y mostrado cómo la ciencia, así definida, comprende una clase muy extensa de investigaciones que al principio no parecían pertenecerle necesariamente, queda por considerar el método que debe seguirse para la formación de esta ciencia. Esta discusión es indispensable para completar este primer esbozo del carácter filosófico de la geometría. Me limitaré aquí a indicar la consideración más general en esta materia, desarrollando y sintetizando esta importante idea fundamental en los capítulos siguientes.

Las cuestiones geométricas pueden ser tratadas según dos métodos tan diferentes, que de ellos resultan dos suertes de geometría, por así decirlo, cuyo carácter filosófico no me parece haber sido aún comprendido adecuadamente. Las expresiones de Geometría sintética y Geometría analítica, habitualmente empleadas para designarlas, dan una idea muy falsa de ellas. Preferiría mucho más las denominaciones puramente históricas de Geometría de los Antiguos y Geometría de los Modernos, que tienen al menos la ventaja de no hacer malinterpretar su verdadero carácter. Pero propongo emplear en adelante las expresiones regulares de Geometría especial y Geometría general, que me parecen adecuadas para caracterizar con precisión la naturaleza verdadera de los dos métodos.

Su diferencia fundamental.

La diferencia fundamental entre la manera en que concebimos la Geometría desde Descartes, y la manera en que los geómetras de la antigüedad trataban las cuestiones geométricas, no es el uso del Cálculo (o del Álgebra), como se suele creer.

Por una parte, es cierto que el uso del cálculo no era del todo desconocido para los antiguos geómetras, ya que solían hacer aplicaciones continuas y muy extensas de la teoría de las proporciones, la cual era para ellos, como medio de deducción, una especie de equivalente real, aunque muy imperfecto y sobre todo sumamente limitado, de nuestra álgebra actual.

El cálculo puede incluso emplearse de un modo mucho más completo de como ellos lo han utilizado, con el fin de obtener ciertas soluciones geométricas que conservarán todavía todo el carácter esencial de la geometría antigua; esto ocurre con mucha frecuencia respecto a aquellos problemas de geometría de dos o de tres dimensiones que se designan comúnmente bajo el nombre de determinados.

Por otra parte, por importante que sea la influencia del cálculo en nuestra geometría moderna, diversas soluciones obtenidas sin el álgebra pueden manifestar a veces el carácter peculiar que la distingue de la geometría antigua, aunque el análisis sea generalmente indispensable.

Citaré, como ejemplo, el método de Roberval para las tangentes, cuya naturaleza es esencialmente moderna y que, sin embargo, conduce en ciertos casos a soluciones completas, sin ninguna ayuda del cálculo.

No es, pues, el instrumento de deducción empleado lo que constituye la principal distinción entre los dos caminos que la mente humana puede seguir en geometría.

La verdadera diferencia fundamental, aún imperfectamente comprendida, me parece consistir en la naturaleza misma de las cuestiones consideradas. En verdad, la geometría, considerada en su conjunto y supuesta dotada de entera perfección, debe, por un lado, como hemos visto, abarcar todas las figuras imaginables y, por otro, descubrir todas las propiedades de cada figura. Ella admite, a partir de esta doble consideración, ser tratada según dos planes esencialmente distintos; o bien,

• 1°, agrupando todas las cuestiones, por muy diferentes que sean, que se relacionen con una misma figura, y aislando aquellas relativas a cuerpos diferentes, por mucha analogía que pueda existir entre ellos; o bien,
• 2°, por el contrario, uniendo bajo un mismo punto de vista todas las investigaciones similares, se refieran a las figuras que fueren, y separando las cuestiones relativas a las propiedades verdaderamente diferentes de un mismo cuerpo.

En una palabra, el conjunto de la geometría puede ordenarse esencialmente ya sea con referencia a los cuerpos estudiados o a los fenómenos por considerar. El primer plan, que es el más natural, fue el de los antiguos; el segundo, infinitamente más racional, es el de los modernos desde Descartes.

Geometría de los Antiguos. En verdad, la característica principal de la geometría antigua es que estudiaban, una por una, las diferentes líneas y las diferentes superficies, sin pasar al examen de una nueva figura hasta que creían haber agotado todo lo que había de interesante en las figuras ya conocidas.

De esta manera de proceder, cuando emprendían el estudio de una nueva curva, el conjunto de la labor dedicada a las precedentes no podía ofrecer directamente ninguna ayuda esencial, de otro modo que por la práctica geométrica en la que había entrenado a la mente. Cualquiera que pudiera ser la semejanza real de las cuestiones planteadas respecto a dos figuras diferentes, el conocimiento completo adquirido para una no podía dispensar en absoluto de retomar de nuevo toda la investigación para la otra.

Así, el progreso de la mente nunca estuvo asegurado; de modo que no podían estar seguros, de antemano, de obtener solución alguna, por muy análogo que el problema propuesto pudiera ser a cuestiones que ya habían sido resueltas. Así, por ejemplo, la determinación de las tangentes a las tres secciones cónicas no proporcionaba ninguna ayuda racional para trazar la tangente a cualquier otra curva nueva, como la concoide, la cisoide, etc. En una palabra, la geometría de los antiguos era, según la expresión propuesta más arriba, esencialmente especial.

Geometría de los modernos. En el sistema de los modernos, la geometría es, por el contrario, eminentemente general, es decir, relativa a cualesquiera figuras. Es fácil comprender, en primer lugar, que todas las expresiones geométricas de algún interés pueden plantearse con referencia a todas las figuras imaginables. Esto se ve directamente en los problemas fundamentales —de rectificaciones, cuadraturas y cubaturas— que constituyen, como se ha demostrado, el objeto final de la geometría. Pero esta observación no es menos indiscutible, incluso para las investigaciones que se refieren a las diferentes propiedades de las líneas y de las superficies, y de las cuales las más esenciales, tales como la cuestión de las tangentes o de los planos tangentes, la teoría de las curvaturas, etc., son evidentemente comunes a todas las figuras. Las muy pocas investigaciones que son verdaderamente propias de figuras particulares solo poseen una importancia sumamente secundaria.

Esto una vez comprendido, la geometría moderna consiste esencialmente en abstraer, para tratarlo por sí mismo, de un modo enteramente general, cada cuestión relativa a un mismo fenómeno geométrico, en cualesquiera cuerpos que se le considere.

La aplicación de las teorías universales así construidas a la determinación especial del fenómeno de que se trata en cada cuerpo particular, es considerada hoy en día solo como un trabajo subalterno, que debe ejecutarse según reglas invariables y cuyo éxito es seguro de antemano.

Este trabajo es, en una palabra, del mismo carácter que el cálculo numérico de una fórmula analítica. No puede haber en él otro mérito que el de presentar en cada caso la solución que es proporcionada necesariamente por el método general, con toda la simplicidad y la elegancia que la línea o la superficie considerada puedan admitir.

Pero no se concede verdadera importancia a nada que no sea la concepción y la solución completa de una nueva cuestión perteneciente a una figura cualquiera.

Trabajos de este género son los únicos considerados como productores de un avance real en la ciencia. La atención de los geómetras, liberada así del examen de las peculiaridades de las diferentes figuras y dirigida por entero hacia cuestiones generales, ha podido elevarse de este modo a la consideración de nuevas concepciones geométricas que, aplicadas a las curvas estudiadas por los antiguos, han llevado al descubrimiento de importantes propiedades que estos ni siquiera habían sospechado antes.

Tal es la geometría, desde la revolución radical producida por Descartes en el sistema general de la ciencia.

La superioridad de la geometría moderna.

La mera indicación del carácter fundamental de cada una de las dos geometrías es sin duda suficiente para hacer aparente la inmensa superioridad necesaria de la geometría moderna. Podemos incluso decir que, antes de la gran concepción de Descartes, la geometría racional no estaba verdaderamente constituida sobre bases definitivas, ya sea en sus relaciones abstractas o concretas.

De hecho, por lo que respecta a la ciencia, considerada especulativamente, es evidente que, al seguir indefinidamente el camino de los antiguos, como hicieron los modernos antes de Descartes, e incluso un poco después, añadiendo algunas curvas nuevas al pequeño número de aquellas que ya habían estudiado, el progreso así realizado, por rápido que hubiera sido, seguiría pareciendo, tras una larga serie de siglos, muy insignificante en comparación con el sistema general de la geometría, dada la infinita variedad de formas que aún habrían quedado por estudiar.

Por el contrario, en cada cuestión resuelta según el método de los modernos, el número de problemas geométricos por resolver queda entonces, de una vez por todas, disminuido en esa misma proporción con respecto a todos los cuerpos posibles.

Otra consideración es que resultó, por su total carencia de métodos generales, que los antiguos geómetras, en todas sus investigaciones, se vieron enteramente abandonados a sus propias fuerzas, sin tener jamás la certeza de obtener, tarde o temprano, solución alguna.

Si bien esta imperfección de la ciencia era sumamente apta para poner de relieve toda su admirable sagacidad, tornaba necesariamente sus progresos extremadamente lentos; podemos hacernos una idea de esto por el tiempo considerable que emplearon en el estudio de las cónicas.

La geometría moderna, al asegurar el progreso de nuestra mente, nos permite, por el contrario, hacer el mayor uso posible de las fuerzas de nuestra inteligencia, que los antiguos se veían a menudo obligados a malgastar en cuestiones muy poco importantes.

Una diferencia no menos importante entre ambos sistemas se manifiesta cuando pasamos a considerar la geometría desde el punto de vista concreto.

En efecto, ya hemos observado que la relación de lo abstracto con lo concreto en la geometría solo puede fundarse sobre bases racionales en la medida en que las investigaciones se hagan recaer directamente sobre todas las figuras imaginables.

Al estudiar las líneas solo una por una, cualquiera que sea el número —siempre necesariamente muy pequeño— de aquellas que hayamos considerado, la aplicación de tales teorías a las figuras que existen realmente en la naturaleza no tendrá jamás otro carácter que el de ser esencialmente accidental, puesto que nada nos asegura que estas figuras puedan realmente subsumirse en los tipos abstractos considerados por los geómetras.

Así, por ejemplo, hay ciertamente algo fortuito en la feliz relación establecida entre las especulaciones de los geómetras griegos sobre las secciones cónicas y la determinación de las verdaderas órbitas planetarias.

Al continuar las investigaciones geométricas según el mismo plan, no había ninguna buena razón para esperar coincidencias similares; y habría sido posible, en estos estudios especiales, que las investigaciones de los geómetras se hubieran dirigido hacia figuras abstractas enteramente incapaces de cualquier aplicación, mientras descuidaban otras, susceptibles tal vez de una aplicación importante e inmediata.

Es evidente, al menos, que nada garantizaba positivamente la aplicabilidad necesaria de las especulaciones geométricas. Muy otra es la cuestión en la geometría moderna. Por la mera circunstancia de que en ella procedemos mediante cuestiones generales relativas a cualquier figura que sea, tenemos de antemano la evidente certeza de que las figuras que existen realmente en el mundo exterior no podrían en ningún caso escapar a la teoría apropiada si el fenómeno geométrico que esta considera se presenta en ellas.

De estas diferentes consideraciones, vemos que el antiguo sistema de geometría posee esencialmente el carácter de la infancia de la ciencia, la cual no comenzó a volverse completamente racional sino hasta después de la revolución filosófica producida por Descartes.

Pero es evidente, por otra parte, que la geometría no podía ser concebida en un principio sino de esta manera especial. La geometría general no habría sido posible, y su necesidad ni siquiera se habría sentido, si una larga serie de trabajos especiales sobre las figuras más simples no hubiera proporcionado previamente las bases para la concepción de Descartes, y no hubiera hecho patente la imposibilidad de persistir indefinidamente en la filosofía geométrica primitiva.

Lo antiguo, base de lo moderno. De esta última consideración debemos inferir que, aunque la geometría que he llamado general debe considerarse ahora como la única geometría dogmática verdadera, y a la que nos limitaremos principalmente, ya que la otra apenas tiene mucho más que un interés histórico, sin embargo, no es posible prescindir por completo de la geometría especial en una exposición racional de la ciencia.

Sin duda no necesitamos tomar prestados directamente de la geometría antigua todos los resultados que ha proporcionado; pero, por la propia naturaleza del asunto, es necesariamente imposible prescindir por completo del método antiguo, que siempre servirá como la base preliminar de la ciencia, tanto de forma dogmática como histórica. La razón de esto es fácil de comprender.

De hecho, estando la geometría general esencialmente fundada, como pronto estableceremos, sobre el empleo del cálculo en la transformación de las consideraciones geométricas en analíticas, tal modo de proceder no pudo apoderarse del tema inmediatamente en su origen.

Sabemos que la aplicación del análisis matemático, por su naturaleza, no puede comenzar ciencia alguna, puesto que evidentemente no puede emplearse hasta que la ciencia ya haya sido suficientemente cultivada como para establecer, respecto a los fenómenos considerados, algunas ecuaciones que puedan servir como puntos de partida para las operaciones analíticas.

Descubiertas una vez estas ecuaciones fundamentales, el análisis nos permitirá deducir de ellas una multitud de consecuencias que antes habría sido imposible siquiera sospechar; perfeccionará la ciencia en un grado inmenso, tanto con respecto a la generalidad de sus concepciones como a la completa coordinación establecida entre ellas.

Pero el mero análisis matemático jamás podría ser suficiente para formar las bases de ninguna ciencia natural, ni siquiera para demostrarlas de nuevo una vez que han sido establecidas.

Nada puede prescindir del estudio directo del sujeto, llevado hasta el punto del descubrimiento de relaciones precisas.

Vemos así que la geometría de los antiguos tendrá siempre, por su naturaleza, una parte principal, absolutamente necesaria y más o menos extensa, en el sistema completo del conocimiento geométrico. Constituye una introducción rigurosamente indispensable para la geometría general. Pero a esto debe limitarse en una exposición completamente dogmática.

Consideraré, pues, directamente, en el capítulo siguiente, esta geometría especial o preliminar restringida exactamente a sus límites necesarios, para ocuparme a partir de entonces únicamente del examen filosófico de la geometría general o definitiva, la única que es verdaderamente racional y que en la actualidad compone esencialmente la ciencia.