# EL CÁLCULO DE DIFERENCIAS FINITAS.
Las diferentes consideraciones fundamentales indicadas en los cinco capítulos precedentes constituyen, en realidad, todas las bases esenciales de una exposición completa del análisis matemático, considerado desde el punto de vista filosófico.
Sin embargo, para no omitir ninguna concepción general verdaderamente importante relativa a este análisis, creo que debo explicar aquí muy sumamente el carácter verídico de una clase de cálculo muy extendido y que, aunque en el fondo pertenece verdaderamente al análisis ordinario, todavía es considerado como de una naturaleza esencialmente distinta. Me refiero al Cálculo de Diferencias Finitas, que será el tema especial de este capítulo.
Su carácter general. Este cálculo, creado por Taylor en su célebre obra titulada Methodus Incrementorum, consiste esencialmente en la consideración de los incrementos finitos que las funciones reciben como consecuencia de incrementos análogos por parte de las variables correspondientes. Estos incrementos o diferencias, que llevan la característica Δ para distinguirlos de los diferenciales, o incrementos infinitamente pequeños, pueden a su vez ser considerados como nuevas funciones y ser objeto de una segunda consideración similar, y así sucesivamente; de lo cual resulta la noción de diferencias de varios órdenes sucesivos, análogas, al menos en apariencia, a los órdenes consecutivos de los diferenciales. Tal cálculo presenta evidentemente, al igual que el cálculo de las funciones indirectas, dos clases generales de cuestiones:
1°. Determinar las diferencias sucesivas de todas las diversas funciones analíticas de una o más variables, como resultado de un modo definido de incremento de las variables independientes, las cuales se supone generalmente que aumentan en progresión aritmética.
2°. Recíprocamente, partir de estas diferencias, o, más generalmente, de cualquier ecuación establecida entre ellas, y remontarse hasta las funciones primitivas mismas, o hasta sus relaciones correspondientes.
De aquí resulta la descomposición de este cálculo en dos distintos, a los cuales se suele dar los nombres de Cálculo Directo e Inverso de las Diferencias Finitas, siendo este último llamado también a veces Cálculo Integral de las Diferencias Finitas. Cada uno de ellos admitiría también, evidentemente, una distribución lógica similar a la dada en el cuarto capítulo para el cálculo diferencial e integral.
Su naturaleza verdadera. No cabe duda de que Taylor creía haber fundado con tal concepción un cálculo de una naturaleza totalmente nueva, absolutamente distinto del análisis ordinario y más general que el cálculo de Leibniz, aunque descansando en una consideración análoga.
Es de este modo, asimismo, como casi todos los geómetras han considerado el análisis de Taylor; pero Lagrange, con su habitual profundidad, percibió claramente que estas propiedades pertenecían mucho más a las formas y a las notaciones empleadas por Taylor que a la sustancia de su teoría.
En realidad, aquello que constituye el carácter peculiar del análisis de Leibnitz, y hace de él un cálculo verdaderamente distinto y superior, es la circunstancia de que las funciones derivadas son en general de una naturaleza completamente diferente de las funciones primitivas, de modo que pueden dar lugar a relaciones más simples y formadas con mayor facilidad: de donde resultan las admirables propiedades fundamentales del análisis trascendental, que ya han sido explicadas.
Pero no ocurre lo mismo con las diferencias consideradas por Taylor; pues estas diferencias son, por su naturaleza, funciones esencialmente similares a aquellas que las han producido, circunstancia que las hace poco idóneas para facilitar el establecimiento de ecuaciones, e impide que conduzcan a relaciones más generales.
Toda ecuación de diferencias finitas es verdaderamente, en el fondo, una ecuación que se relaciona directamente con las mismas magnitudes cuyos estados sucesivos se comparan. El andamiaje de los nuevos signos, que produce una ilusión respecto al verdadero carácter de estas ecuaciones, lo disimula, sin embargo, de un modo muy imperfecto, puesto que siempre podría hacerse evidente con facilidad reemplazando las diferencias por las combinaciones equivalentes de las magnitudes primitivas, de las cuales en realidad no son más que designaciones abreviadas.
Por tanto, el cálculo de Taylor nunca ha ofrecido, y jamás podrá ofrecer, en ninguna cuestión de geometría o de mecánica, esa potente ayuda general que hemos visto resultar necesariamente del análisis de Leibniz. Lagrange ha demostrado, por lo demás, con mucha claridad que la pretendida analogía observada entre el cálculo de diferencias y el cálculo infinitesimal era radicalmente viciosa, en el sentido de que las fórmulas pertenecientes al primer cálculo no pueden suministrar jamás, como casos particulares, aquellas que pertenecen al segundo, cuya naturaleza es esencialmente distinta.
De estas consideraciones me inclino a pensar que el cálculo de diferencias finitas está, por lo general, mal clasificado dentro del análisis trascendental propiamente dicho, es decir, con el cálculo de funciones indirectas. Lo considero, por el contrario, de acuerdo con los puntos de vista de Lagrange, como una rama muy extensa y muy importante del análisis ordinario, es decir, de aquel que he denominado cálculo de funciones directas, siendo las ecuaciones que este considera siempre, a pesar de la notación, ecuaciones directas simples.
# TEORÍA GENERAL DE LAS SERIES.
Para resumir tan brevemente como sea posible la explicación precedente, el cálculo de Taylor debe considerarse como teniendo constantemente por objeto verdadero la teoría general de las Series, cuyos casos más simples habían sido los únicos considerados antes de aquel ilustre geómetra.
Debí, propiamente, haber mencionado esta importante teoría al tratar, en el segundo capítulo, del Álgebra propiamente dicha, de la cual es una rama tan extensa. Pero, para evitar una doble referencia a ella, he preferido señalarla únicamente en la consideración del cálculo de diferencias finitas, el cual, reducido a su expresión general más simple, no es más que un estudio lógico completo de las cuestiones relativas a las series.
Toda Serie, o sucesión de números deducidos unos de otros según una ley constante, da lugar necesariamente a estas dos cuestiones fundamentales:
1°. Suponiéndose conocida la ley de la serie, hallar la expresión de su término general, de modo que se pueda calcular inmediatamente un término cualquiera sin estar obligado a formar sucesivamente todos los términos precedentes.
2°. En las mismas circunstancias, determinar la suma de un número cualquiera de términos de la serie por medio de sus lugares, de modo que pueda conocerse sin la necesidad de sumar continuamente dichos términos.
Consideradas estas dos cuestiones fundamentales como resueltas, puede proponerse, recíprocamente, hallar la ley de una serie a partir de la forma de su término general o de la expresión de la suma.
Cada uno de estos diferentes problemas tiene tanto más alcance y dificultad cuanto mayor es el número de leyes diferentes que se pueden concebir para la serie, según el número de términos precedentes de los que dependa directamente cada término y según la función que exprese dicha dependencia.
Podemos incluso considerar series con varios índices variables, como lo ha hecho Laplace en su "Teoría analítica de las probabilidades", mediante el análisis al que ha dado el nombre de Teoría de las funciones generatrices, aunque en realidad no sea más que una nueva y superior rama del cálculo de diferencias finitas o de la teoría general de las series.
Estas vistas generales que he indicado solo dan una idea imperfecta de la extensión y variedad verdaderamente infinitas de las cuestiones a las que los geómetras se han elevado mediante esta sola consideración de las series, tan simple en apariencia y tan limitada en su origen.
Presenta necesariamente tantos casos diferentes como la resolución algebraica de las ecuaciones, considerada en toda su extensión; y es, por su naturaleza, mucho más complicada, tanto, en verdad, que siempre necesita de esta última para conducirla a una solución completa.
Podemos, por tanto, anticipar cuál debe ser aún su extrema imperfección, a pesar de los sucesivos trabajos de varios geómetras de primer orden. No poseemos, en realidad, hasta el momento la solución completa y lógica de ninguna más que de las cuestiones más simples de esta índole.
Su identidad con este cálculo.
Es fácil ahora concebir la necesaria y perfecta identidad, ya anunciada, entre el cálculo de diferencias finitas y la teoría de series considerada en todas sus vertientes.
De hecho, toda diferenciación al modo de Taylor equivale evidentemente a hallar la ley de formación de una serie con uno o varios índices variables, a partir de la expresión de su término general; del mismo modo, toda integración análoga puede considerarse como teniendo por objeto la sumación de una serie, cuyo término general vendría expresado por la diferencia propuesta.
Desde este punto de vista, los diversos problemas del cálculo de diferencias, directos o inversos, resueltos por Taylor y sus sucesores, tienen en realidad un valor muy grande, por tratar cuestiones importantes relativas a las series.
Pero es muy dudoso que la forma y la notación introducidas por Taylor proporcionen realmente alguna facilidad esencial en la resolución de cuestiones de esta naturaleza. Sería, quizás, más ventajoso para la mayoría de los casos, y ciertamente más lógico, reemplazar las diferencias por los términos mismos, de los cuales representan ciertas combinaciones.
Como el cálculo de Taylor no descansa en una idea fundamental verdaderamente distinta, y no tiene nada de peculiar salvo su sistema de signos, nunca podría haber realmente ninguna ventaja importante en considerarlo como separado del análisis ordinario, del cual es, en realidad, solo una inmensa rama.
Esta consideración de las diferencias, por lo general inútil, aun cuando no origine complicaciones, me parece que conserva el carácter de una época en la que, al no ser las ideas analíticas suficientemente familiares para los geómetras, estos se veían llevados de manera natural a preferir las formas especiales aptas para las comparaciones numéricas simples.
# PERIODIC OR DISCONTINUOUS FUNCTIONS.
Sea como fuere, no debo terminar esta apreciación general del cálculo de diferencias finitas sin señalar una nueva concepción a la que ha dado origen, y que desde entonces ha adquirido una gran importancia.
Es la consideración de aquellas funciones periódicas o discontinuas que conservan el mismo valor para una serie infinita de valores de las variables correspondientes, sujetas a cierta ley, y que deben añadirse necesariamente a las integrales de las ecuaciones de diferencias finitas para hacerlas suficientemente generales, del mismo modo que se añaden simples constantes arbitrarias a todas las cuadraturas para completar su generalidad.
Esta idea, introducida primitivamente por Euler, ha sido desde entonces objeto de una extensa investigación por parte del Sr. Fourier, quien ha hecho de ella nuevas e importantes aplicaciones en su teoría matemática del calor.
# APLICACIONES DE ESTE CÁLCULO.
Series. Entre las principales aplicaciones generales que se han hecho del cálculo de diferencias finitas, sería propio colocar en el primer rango, como la más extensa y la más importante, la solución de cuestiones relativas a las series; si, como se ha demostrado, la teoría general de las series no debe ser considerada como constituyendo, por su naturaleza, el fundamento actual del cálculo de Taylor.
Interpolaciones. Apartada entonces esta gran clase de problemas, la más esencial de las aplicaciones verdaderas del análisis de Taylor es, sin duda, hasta el presente, el método general de las interpolaciones, empleado tan frecuente y útilmente en la investigación de las leyes empíricas de los fenómenos naturales. La cuestión consiste, como es bien sabido, en intercalar entre ciertos números dados otros números intermedios, sometidos a la misma ley que supondremos existente entre los primeros.
Podemos verificar abundantemente, en esta aplicación principal del cálculo de Taylor, cuán verdaderamente ajena y a menudo inconveniente es la consideración de las diferencias con respecto a las cuestiones que dependen de dicho análisis. En efecto, Lagrange ha reemplazado las fórmulas de interpolación, deducidas del algoritmo ordinario del cálculo de diferencias finitas, por fórmulas generales mucho más simples, que hoy en día se prefieren casi siempre, y que se han hallado directamente, sin hacer ningún uso de la noción de diferencias, que solo complica la cuestión.
Rectificación Aproximada, &c.
Una última clase importante de aplicaciones del cálculo de diferencias finitas, que merece ser distinguida de la precedente, consiste en el uso eminentemente útil que de él se hace en la geometría para determinar por aproximación la longitud y el área de cualquier curva, y del mismo modo la cubatura de un cuerpo de cualquier forma que sea.
Este procedimiento (que por otra parte puede concebirse abstractamente como dependiente de la misma investigación analítica que la cuestión de interpolación) ofrece con frecuencia un valioso suplemento a los métodos geométricos enteramente lógicos que a menudo conducen a integraciones que aún no sabemos cómo efectuar, o a cálculos de ejecución muy complicada.
Tales son las diversas consideraciones principales que deben notarse con respecto al cálculo de diferencias finitas.
Este examen completa el esbozo filosófico propuesto de las Matemáticas abstractas.
La Matemática Concreta será ahora objeto de una labor similar. En ella nos dedicaremos en particular a examinar cómo ha sido posible (suponiendo que la ciencia general del cálculo sea perfecta), mediante procedimientos invariables, reducir a puras cuestiones de análisis todos los problemas que pueden presentar la Geometría y la Mecánica, y así imprimir en estas dos bases fundamentales de la filosofía natural un grado de precisión y especialmente de unidad; en una palabra, un carácter de alta perfección, que solo mediante un rumbo tal podía serles comunicado.