# GEOMETRÍA MODERNA O ANALÍTICA.

La geometría general (o analítica), al estar enteramente fundada sobre la transformación de las consideraciones geométricas en consideraciones analíticas equivalentes, debemos comenzar por examinar directa y minuciosamente la bella concepción mediante la cual Descartes ha establecido de un modo uniforme la posibilidad constante de dicha correlación.

Además de su propia importancia extrema como medio para perfeccionar en alto grado la ciencia geométrica, o más bien, de fundarla en su totalidad sobre bases racionales, el estudio filosófico de esta admirable concepción debe tener tanto mayor interés a nuestros ojos por caracterizar con perfecta claridad el método general que debe emplearse para organizar las relaciones de lo abstracto con lo concreto en las matemáticas, mediante la representación analítica de los fenómenos naturales.

No hay concepción en toda la filosofía de las matemáticas que merezca mejor fijar toda nuestra atención.

# REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LAS FIGURAS.

Para conseguir expresar todos los fenómenos geométricos imaginables mediante relaciones analiticas sencillas, debemos evidentemente, en primer lugar, establecer un método general para representar analíticamente los temas mismos en los que se encuentran estos fenómenos, es decir, las líneas o las superficies que han de considerarse. Considerado así habitualmente el tema desde un punto de vista puramente analítico, vemos cómo es posible desde entonces concebir de la misma manera los diversos accidentes de los que es susceptible.

Para organizar la representación de las figuras geométricas mediante ecuaciones analíticas, debemos superar previamente una dificultad fundamental: la de reducir los elementos generales de las diversas concepciones de la geometría a ideas meramente numéricas; en una palabra, la de sustituir en geometría las puras consideraciones de cantidad por todas las consideraciones de calidad.

Reducción de la Figura a la Posición.

Para este propósito observemos, en primer lugar, que todas las ideas geométricas se relacionan necesariamente con estas tres categorías universales: la magnitud, la figura y la posición de las extensiones que deben considerarse.

En cuanto a la primera, no hay evidentemente ninguna dificultad; entra de inmediato en las ideas de los números.

Con relación a la segunda, debe señalarse que siempre admitirá ser reducida a la tercera. Pues la figura de un cuerpo resulta evidentemente de la posición mutua de los diferentes puntos de los cuales se compone, de modo que la idea de posición comprende necesariamente la de figura, y toda circunstancia de figura puede traducirse por una circunstancia de posición.

Es de este modo, en efecto, como la mente humana ha procedido para llegar a la representación analítica de las figuras geométricas, relacionándose su concepción directamente solo con las posiciones.

Toda la dificultad elemental queda entonces propiamente reducida a la de remitir las ideas de situación a las ideas de magnitud. Tal es el destino directo de la concepción preliminar sobre la cual Descartes ha establecido el sistema general de la geometría analítica.

Su labor filosófica, en este sentido, ha consistido simplemente en la generalización total de una operación elemental, que podemos considerar natural a la mente humana, puesto que se realiza espontáneamente, por decirlo así, en todas las mentes, incluso en las más incultas.

Así, cuando tenemos que indicar la situación de un objeto sin señalarlo directamente, el método que adoptamos siempre, y evidentemente el único que puede emplearse, consiste en referir dicho objeto a otros que son conocidos, asignando la magnitud de los diversos elementos geométricos mediante los cuales concebimos que está conectado con los objetos conocidos.

Estos elementos constituyen lo que Descartes, y después de él todos los geómetras, han llamado las coordenadas de cada punto considerado. Son necesariamente dos en número, si se sabe de antemano en qué plano está situado el punto; y tres, si puede encontrarse indistintamente en cualquier región del espacio.

Tantas construcciones diferentes como puedan imaginarse para determinar la posición de un punto, ya sea en un plano o en el espacio, otros tantos sistemas distintos de coordenadas pueden concebirse; son consecuentemente susceptibles de multiplicarse hasta el infinito.

Pero, cualquiera que sea el sistema adoptado, siempre habremos reducido las ideas de situación a simples ideas de magnitud, de modo que consideraremos el cambio en la posición de un punto como producido por meras variaciones numéricas en los valores de sus coordenadas.

Determinación de la posición de un punto.

Considerando al principio solo el caso menos complicado, el de la geometría plana, es de este modo como habitualmente determinamos la posición de un punto en un plano, mediante sus distancias a dos líneas rectas fijas consideradas como conocidas, que se llaman ejes, y que comúnmente se supone que son perpendiculares entre sí.

Este sistema es el adoptado con mayor frecuencia, debido a su sencillez; pero los geómetras emplean ocasionalmente una infinidad de otros. Así, la posición de un punto en un plano puede determinarse,

1°, por sus distancias a dos puntos fijos; o, 2°, por su distancia a un único punto fijo y la dirección de dicha distancia, estimada por el mayor o menor ángulo que forma con una línea recta fija, lo cual constituye el sistema de las llamadas coordenadas polares, el más utilizado después del sistema mencionado en primer lugar; o, 3°, por los ángulos que forman las líneas rectas trazadas desde el punto variable hasta dos puntos fijos con la línea recta que une a estos últimos; o, 4°, por las distancia de ese punto a una línea recta fija y a un punto fijo, etcétera.

En una palabra, no hay figura geométrica alguna a partir de la cual no sea posible deducir un cierto sistema de coordenadas más o menos susceptible de ser empleado.

Una observación general, que es importante hacer a este respecto, es que todo sistema de coordenadas equivale a determinar un punto, en geometría plana, por la intersección de dos líneas, cada una de las cuales está sujeta a ciertas condiciones fijas de determinación; quedando una sola de estas condiciones variable, ya sea la una, ya sea la otra, según el sistema considerado.

En verdad, no podríamos concebir ningún otro medio de construir un punto que no sea señalarlo mediante el encuentro de dos líneas.

Así, en el sistema más común, el de las coordenadas rectilíneas, propiamente llamadas así, el punto está determinado por la intersección de dos líneas rectas, cada una de las cuales permanece constantemente paralela a un eje fijo, a una distancia mayor o menor de este; en el sistema polar, la posición del punto está marcada por el encuentro de un círculo, de radio variable y centro fijo, con una línea recta móvil obligada a girar alrededor de este centro: en otros sistemas, el punto requerido podría ser designado por la intersección de dos círculos, o de cualesquiera otras dos líneas, etc.

En una palabra, asignar el valor de una de las coordenadas de un punto en cualquier sistema que sea, equivale siempre necesariamente a determinar una cierta línea en la cual debe estar situado dicho punto.

Los geómetras de la antigüedad ya habían hecho esta observación esencial, que sirvió de base a su método de los lugares geométricos, del cual hicieron un uso tan afortunado para dirigir sus investigaciones en la resolución de problemas determinados, considerando por separado la influencia de cada una de las dos condiciones mediante las cuales se definía cada punto que constituía el objeto, directo o indirecto, de la cuestión propuesta.

Fue la sistematización general de este método la que constituyó el motivo inmediato de los trabajos de Descartes, los cuales lo condujeron a crear la geometría analítica.

Después de haber establecido claramente esta concepción preliminar —mediante la cual las ideas de posición y, por consiguiente, de un modo implícito, todas las concepciones geométricas elementares son susceptibles de ser reducidas a simples consideraciones numéricas—, es fácil formarse una concepción directa, en toda su generalidad, de la gran idea original de Descartes relativa a la representación analítica de las figuras geométricas: esto es lo que constituye el objeto especial de este capítulo.

Continuaré considerando al principio, para mayor facilidad, únicamente la geometría de dos dimensiones, que fue la única tratada por Descartes; y examinaré después separadamente, bajo el mismo punto de vista, la teoría de las superficies y de las curvas de doble curvatura.

# CURVAS PLANAS.

Expresión de las líneas por medio de ecuaciones.

De acuerdo con el modo de expresar analíticamente la posición de un punto en un plano, puede establecerse fácilmente que, sea cual fuere la propiedad por la que se defina una línea, dicha definición siempre admite ser reemplazada por una ecuación correspondiente entre las dos coordenadas variables del punto que describe esta línea; una ecuación que será en adelante la representación analítica de la línea propuesta, y cada uno de cuyos fenómenos se traducirá mediante una determinada modificación algebraica de su ecuación.

Así, si suponemos que un punto se mueve en un plano sin que su trayectoria esté determinada de ningún modo, deberemos evidentemente considerar sus coordenadas, pertenezcan al sistema que pertenezcan, como dos variables completamente independientes la una de la otra. Pero si, por el contrario, este punto se ve obligado a describir una línea determinada, nos veremos necesariamente en la necesidad de concebir que sus coordenadas, en todas las posiciones que pueda adoptar, guardan una cierta relación permanente y precisa entre sí, la cual es consecuentemente susceptible de ser expresada mediante una ecuación adecuada; la cual se convertirá en la definición analítica muy clara y muy rigurosa de la línea en cuestión, puesto que expresará una propiedad algebraica perteneciente exclusivamente a las coordenadas de todos los puntos de esta línea.

Es evidente, por cierto, que cuando un punto no está sujeto a ninguna condición, su situación no se determina más que dando a la vez sus dos coordenadas, independientemente la una de la otra; mientras que, cuando el punto debe permanecer sobre una línea definida, una sola coordenada es suficiente para fijar completamente su posición.

La segunda coordenada es entonces una función determinada de la primera; o, en otras palabras, debe existir entre ellas una cierta ecuación, de una naturaleza correspondiente a la de la línea sobre la cual el punto se ve obligado a permanecer.

En una palabra, siendo cada una de las coordenadas de un punto la que requiere que este se halle situado sobre una línea determinada, concebimos recíprocamente que la condición, por parte de un punto, de tener que pertenecer a una línea definida de cualquier manera que sea, equivale a asignar el valor de una de las dos coordenadas; la cual se halla en tal caso enteramente subordinada a la otra.

La relación analítica que expresa esta dependencia puede ser más o menos difícil de descubrir, pero es evidente que debe concebirse siempre como existente, incluso en los casos en que nuestros medios actuales sean insuficientes para darla a conocer.

Es mediante esta simple consideración como podemos demostrar, de un modo enteramente general —independientemente de las verificaciones particulares sobre las que se establece ordinariamente esta concepción fundamental para cada definición especial de una línea—, la necesidad de la representación analítica de las líneas por medio de ecuaciones.

Expresión de las ecuaciones por líneas. Retomando las mismas reflexiones en dirección inversa, podríamos mostrar con igual facilidad la necesidad geométrica de la representación de toda ecuación de dos variables, en un sistema determinado de coordenadas, por una cierta línea; de la cual tal relación sería, a falta de cualquier otra propiedad conocida, una definición muy característica, cuyo destino científico consistirá en fijar la atención directamente sobre el curso general de las soluciones de la ecuación, que quedará así anotado de la manera más llamativa y más sencilla.

Esta representación pictórica de las ecuaciones es una de las ventajas fundamentales más importantes de la geometría analítica, que ha influido de este modo en el más alto grado sobre el perfeccionamiento general del análisis mismo; no solo al asignar a las investigaciones puramente abstractas un objeto claramente determinado y una carrera inagotable, sino, en una relación todavía más directa, al proporcionar un nuevo medio filosófico para la meditación analítica que no podría ser reemplazado por ningún otro.

En realidad, la discusión puramente algebraica de una ecuación da a conocer indudablemente sus soluciones de la manera más precisa, pero considerándolas solo una por una, de modo que por este camino no podría obtenerse una visión general de ellas, excepto como resultado final de una larga y laboriosa serie de comparaciones numéricas.

Por otra parte, el lugar geométrico de la ecuación, al estar diseñado únicamente para representar con distinción y perfecta claridad el resumen de todas estas comparaciones, permite considerarlo directamente, sin prestar ninguna atención a los detalles que lo han proporcionado.

Puede así sugerir a nuestra mente puntos de vista analíticos generales, a los que habríamos llegado con mucha dificultad de cualquier otro modo, por falta de un medio para caracterizar claramente su objeto.

Es evidente, por ejemplo, que la simple inspección de la curva logarítmica, o de la curva y = sen. x, nos hace percibir con mucha mayor distinción el modo general de las variaciones de los logaritmos con respecto a sus números, o de los senos con respecto a sus arcos, de lo que podría hacerlo el estudio más atento de una tabla de logaritmos o de senos naturales.

Es bien sabido que este método se ha vuelto completamente elemental en la actualidad, y que se emplea siempre que se desea tener una idea clara del carácter general de la ley que rige en una serie de observaciones precisas de cualquier clase que sean.

Cualquier cambio en la línea provoca un cambio en la ecuación.

Volviendo a la representación de líneas mediante ecuaciones, que es nuestro objeto principal, vemos que esta representación es, por su naturaleza, tan fiel, que la línea no podría experimentar modificación alguna, por leve que sea, sin causar un cambio correspondiente en la ecuación. Esta perfecta exactitud da lugar incluso a menudo a dificultades especiales; pues dado que, en nuestro sistema de geometría analítica, los meros desplazamientos de las líneas afectan a las ecuaciones, así como sus variaciones reales en magnitud o forma, estaríamos expuestos a confundirlas unas con otras en nuestras expresiones analíticas, si los geómetras no hubiesen descubierto un ingenioso método diseñado expresamente para distinguirlas siempre.

Este método se funda en este principio: que, aunque es imposible cambiar analíticamente a voluntad la posición de una línea con respecto a los ejes de las coordenadas, podemos cambiar de cualquier manera que sea la situación de los ejes mismos, lo que evidentemente equivale a lo mismo; después, con la ayuda de la fórmula general, muy sencilla, mediante la cual se produce esta transformación de los ejes, resulta fácil descubrir si dos ecuaciones diferentes son las expresiones analíticas de una misma línea situada de manera distinta, o si se refieren a lugares geométricos verdaderamente distintos; puesto que, en el primer caso, una de ellas se transformará en la otra cambiando adecuadamente los ejes o las otras constantes del sistema de coordenadas empleado.

Debe, además, observarse a este respecto que las inconveniencias generales de esta índole parecen ser absolutamente inevitables en la geometría analítica; pues, dado que las ideas de posición son, como hemos visto, las únicas ideas geométricas inmediatamente reducibles a consideraciones numéricas, y que las concepciones de figura no pueden reducirse de este modo sino viendo en ellas relaciones de situación, es imposible que el análisis evite confundir, en un principio, los fenómenos de figura con los simples fenómenos de posición, que son los únicos expresados directamente por las ecuaciones.

Toda definición de una línea es una ecuación. Para completar la explicación filosófica de la concepción fundamental que sirve de base a la geometría analítica, creo que debo indicar aquí una nueva consideración general, que me parece particularmente adecuada para poner en el punto más claro esta representación necesaria de las líneas mediante ecuaciones con dos variables. Consiste en esto: que no solo, como hemos demostrado, toda línea definida debe dar lugar necesariamente a una cierta ecuación entre las dos coordenadas de cualquiera de sus puntos, sino que, además, toda definición de una línea puede considerarse ya de por sí como una ecuación de esa línea en un sistema adecuado de coordenadas.

Es fácil establecer este principio, haciendo primero una distinción lógica preliminar respecto a las diferentes clases de definiciones.

La condición rigurosamente indispensable de toda definición es la de distinguir el objeto definido de todos los demás, asignándole una propiedad que le pertenezca exclusivamente. Pero este fin puede alcanzarse por lo general de dos maneras muy diferentes; ya sea mediante una definición que es simplemente característica, es decir, indicativa de una propiedad que, aunque verdaderamente exclusiva, no da a conocer el modo de generación del objeto; o mediante una definición que es realmente explicativa, es decir, que caracteriza al objeto por una propiedad que expresa uno de sus modos de generación.

Por ejemplo, al considerar el círculo como la línea que, bajo el mismo contorno, contiene la mayor área, tenemos evidentemente una definición del primer tipo; mientras que al elegir la propiedad de tener todos sus puntos equidistantes de un punto fijo, tenemos una definición del segundo tipo.

Es, además, evidente, como principio general, que aun cuando un objeto cualquiera sea conocido al principio solo por una definición característica, debemos, sin embargo, considerarlo susceptible de definiciones explicativas, que el estudio ulterior del objeto nos conduciría necesariamente a descubrir.

Sentado esto, es claro que la observación general hecha más arriba, según la cual toda definición de una línea es necesariamente una ecuación de dicha línea en un cierto sistema de coordenadas, no puede aplicarse a las definiciones que son simplemente características; debe entenderse únicamente respecto a las definiciones que son verdaderamente explicativas.

Mas, al considerar solo esta clase, el principio es fácil de demostrar. En efecto, es evidentemente imposible definir la generación de una línea sin especificar una cierta relación entre los dos movimientos simples de traslación o de rotación en los que el movimiento del punto que la describe se descompondrá en cada instante. Ahora bien, si formamos la concepción más general de lo que constituye un sistema de coordenadas y admitimos todos los sistemas posibles, es claro que dicha relación no será otra cosa que la ecuación de la línea propuesta, en un sistema de coordenadas de una naturaleza correspondiente a la del modo de generación considerado.

Así, por ejemplo, la definición común de la circunferencia puede considerarse evidentemente como la ecuación polar inmediata de esta curva, tomando el centro de la circunferencia como polo. Del mismo modo, la definición elemental de la elipse o de la hipérbole —como la curva generada por un punto que se mueve de tal manera que la suma o la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos permanece constante— proporciona de inmediato, para una u otra curva, la ecuación y + x = c, tomando como sistema de coordenadas aquel en el que la posición de un punto se determinaría por sus distancia a dos puntos fijos, y escogiendo como polos de estos los dos focos dados. De igual manera, la definición común de cualquier cicloide suministraría directamente, para dicha curva, la ecuación y = mx; adoptando como coordenadas de cada punto el arco que este marca sobre un círculo de radio invariable, medido a partir del punto de contacto de dicho círculo con una recta fija, y la distancia rectilínea desde dicho punto de contacto hasta un cierto origen tomado sobre esa línea recta. Podemos hacer verificaciones análogas y igualmente fáciles con respecto a las definiciones habituales de las espirales, de las epicicloides, etc. Hallaremos constantemente que existe un cierto sistema de coordenadas en el cual obtenemos inmediatamente una ecuación muy simple de la línea propuesta, escribiendo meramente de forma algebraica la condición impuesta por el modo de generación considerado.

Además de su importancia directa como medio para hacer perfectamente aparente la representación necesaria de cada línea por una ecuación, la consideración precedente me parece poseer una verdadera utilidad científica, al caracterizar con precisión la principal dificultad general que se presenta en el establecimiento efectivo de estas ecuaciones, y al proporcionar en consecuencia una indicación interesante respecto al rumbo que debe seguirse en investigaciones de esta clase, las cuales, por su naturaleza, no podrían admitir reglas completas e invariables.

De hecho, puesto que cualquier definición de una línea, al menos entre aquellas que indican un modo de generación, proporciona directamente la ecuación de dicha línea en un cierto sistema de coordenadas, o más bien constituye por sí misma esa ecuación, se sigue que la dificultad que a menudo experimentamos para descubrir la ecuación de una curva mediante ciertas propiedades características, dificultad que a veces es muy grande, debe proceder esencialmente solo de la condición comúnmente impuesta de expresar esta curva analíticamente con la ayuda de un sistema designado de coordenadas, en lugar de admitir indistintamente todos los sistemas posibles.

Estos diferentes sistemas no pueden considerarse en geometría analítica como igualmente apropiados; por diversas razones, la más importante de las cuales se discutirá más adelante, los geómetras piensan que las curvas deben referirse casi siempre, en la medida de lo posible, a coordenadas rectilíneas, propiamente dichas.

Ahora bien, vemos, por lo que precede, que en muchos casos estas coordenadas particulares no serán aquellas con respecto a las cuales la ecuación de la curva resulte establecida directamente por la definición propuesta. La principal dificultad que presenta la formación de la ecuación de una línea consiste entonces realmente, por lo general, en una cierta transformación de coordenadas.

Es indudablemente cierto que esta consideración no somete el establecimiento de estas ecuaciones a un método general verdaderamente completo, cuyo éxito sea siempre seguro; lo cual, por la propia naturaleza del tema, es evidentemente quimérico: pero tal perspectiva puede arrojar mucha luz útil sobre el curso que es adecuado adoptar para llegar al fin propuesto.

Así, después de haber formado en primer lugar la ecuación preparatoria, que se deriva espontáneamente de la definición que estamos considerando, será necesario, para obtener la ecuación perteneciente al sistema de coordenadas que debe admitirse finalmente, esforzarse por expresar en función de estas últimas coordenadas aquellas que corresponden naturalmente al modo de generación dado. Es sobre esta última labor en la que resulta evidentemente imposible dar preceptos invariables y precisos. Solo podemos decir que en este asunto dispondréremos de tantos más recursos cuanto más conozcamos de la verdadera geometría analítica, es decir, cuanto conozcamos la expresión algebraica de un mayor número de fenómenos algebraicos diferentes.

# ELECCIÓN DE COORDENADAS.

Para completar la exposición filosófica de la concepción que sirve de base a la geometría analítica, aún me falta señalar las consideraciones relativas a la elección del sistema de coordenadas que es, en general, el más adecuado.

Ellas darán la explicación racional de la preferencia acordada unánimemente al sistema rectilíneo ordinario; una preferencia que hasta ahora ha sido más bien el efecto de un sentimiento empírico de la superioridad de este sistema, que el resultado exacto de un análisis directo y minucioso.

Dos puntos de vista diferentes. Para decidir claramente entre todos los distintos sistemas de coordenadas, es indispensable distinguir con cuidado los dos puntos de vista generales, inversos el uno del otro, que pertenecen a la geometría analítica; a saber, la relación del álgebra con la geometría, fundada en la representación de líneas mediante ecuaciones; y, recíprocamente, la relación de la geometría con el álgebra, fundada en la representación de ecuaciones mediante líneas.

Es evidente que en toda investigación de geometría general estos dos puntos de vista fundamentales se hallan siempre necesariamente combinados, ya que debemos pasar siempre alternativamente, y por intervalos casi imperceptibles, por decirlo así, de las consideraciones geométricas a las analíticas, y de las analíticas a las geométricas.

Pero la necesidad de separarlos aquí temporalmente no es por ello menos real; pues la respuesta a la cuestión de método que estamos examinando dista mucho, en verdad, como veremos dentro de poco, de ser la misma en ambas relaciones, de modo que sin esta distinción no podríamos formarnos ninguna idea clara de ella.

1. Representación de líneas por ecuaciones.

Bajo el primer punto de vista —la representación de líneas por ecuaciones—, el único motivo que podría llevarnos a preferir un sistema de coordenadas a otro sería la mayor simplicidad de la ecuación de cada línea y una mayor facilidad para llegar a ella.

Ahora bien, es fácil ver que no existe, y no cabría esperar que existiera, ningún sistema de coordenadas que merezca a ese respecto una preferencia constante sobre todos los demás. De hecho, hemos señalado más arriba que para cada definición geométrica propuesta podemos concebir un sistema de coordenadas en el cual la ecuación de la línea se obtiene de inmediato y resulta ser también necesariamente muy sencilla; y este sistema, además, varía inevitablemente con la naturaleza de la propiedad característica que se esté considerando.

El sistema rectilíneo no podría, por tanto, ser constantemente el más ventajoso para este fin, aunque a menudo pueda ser muy favorable; probablemente no hay ningún sistema que, en ciertos casos particulares, no deba preferirse a él, así como a cualquier otro.

2. Representación de ecuaciones por medio de líneas. No ocurre así en absoluto, sin embargo, bajo el segundo punto de vista. Podemos, en efecto, establecer fácilmente, como principio general, que el sistema rectilíneo ordinario debe estar necesariamente mejor adaptado que cualquier otro a la representación de ecuaciones por medio de los lugares geométricos correspondientes; es decir, que esta representación es en él constantemente más simple y más fiel que en cualquier otro.

Consideremos, a este respecto, que, puesto que todo sistema de coordenadas consiste en determinar un punto mediante la intersección de dos líneas, el sistema adecuado para proporcionar los lugares geométricos más convenientes debe ser aquel en el que estas dos líneas sean lo más simples posible; consideración que limita nuestra elección al sistema rectilíneo.

En verdad, existe evidentemente un número infinito de sistemas que merecen ese nombre, es decir, que emplean únicamente líneas rectas para determinar puntos, además del sistema ordinario que asigna como coordenadas las distancias a dos líneas fijas; tal sería, por ejemplo, aquel en el que las coordenadas de cada punto fuesen los dos ángulos que las líneas rectas, que van desde dicho punto hasta dos puntos fijos, forman con la recta que une estos últimos puntos: de modo que esta primera consideración no es rigurosamente suficiente para explicar la preferencia unánime concedida al sistema común.

Pero al examinar de un modo más profundo la naturaleza de todo sistema de coordenadas, percibimos también que cada una de las dos líneas cuyo encuentro determina el punto considerado debe ofrecer necesariamente en cada instante, entre sus diferentes condiciones de determinación, una sola condición variable, que da origen a la coordenada correspondiente, permaneciendo fijo todo lo demás y constituyendo los ejes del sistema, tomando este término en su acepción matemática más amplia.

La variación es indispensable para poder considerar todas las posiciones posibles; y la fijeza no lo es menos para que puedan existir medios de comparación. Así, en todos los sistemas rectilíneos, cada una de las dos rectas estará sujeta a una condición fija, y la ordenada resultará de la condición variable.

Superioridad de las coordenadas rectilíneas.

De estas consideraciones se evidencia, como principio general, que el sistema más favorable para la construcción de los lugares geométricos será necesariamente aquel en el que la condición variable de cada línea recta sea la más simple posible; dejándose libre la condición fija para hacerse compleja, si es necesario para alcanzar dicho objeto.

Ahora bien, de todas las maneras posibles de determinar dos líneas rectas móviles, la más fácil de seguir geométricamente es sin duda aquella en la cual, permaneciendo invariable la dirección de cada línea recta, esta solo se acerca o se aleja, más o menos, hacia o desde un eje constante. Sería, por ejemplo, evidentemente más difícil formarse una idea clara de los cambios de posición de un punto que está determinado por la intersección de dos líneas rectas, las cuales giran cada una alrededor de un punto fijo, formando un ángulo mayor o menor con un cierto eje, como en el sistema de coordenadas mencionado anteriormente.

Tal es la verdadera explicación general de la propiedad fundamental que posee el sistema rectilíneo común, de estar mejor adaptado que cualquier otro a la representación geométrica de las ecuaciones, por cuanto es aquel en el que resulta más fácil concebir el cambio de posición de un punto resultante del cambio en el valor de sus coordenadas.

Para comprender claramente toda la fuerza de esta consideración, bastaría comparar cuidadosamente este sistema con el sistema polar, en el cual esta imagen geométrica, tan simple y tan fácil de seguir, de dos líneas rectas que se mueven paralelas, cada una de ellas, a su eje correspondiente, es reemplazada por el complicado cuadro de una serie infinita de círculos concéntricos, cortados por una línea recta obligada a girar alrededor de un punto fijo.

Es, por lo demás, fácil concebir de antemano cuál debe ser la extrema importancia para la geometría analítica de una propiedad tan profundamente elemental, la cual, por esa razón, debe reaparecer a cada instante y cobrar un valor progresivamente creciente en todos los trabajos de este género.

Perpendicularidad de los ejes.

Al proseguir con la consideración que demuestra la superioridad del sistema ordinario de coordenadas sobre cualquier otro en cuanto a la representación de ecuaciones, podemos observar también la utilidad para este propósito del uso común de tomar los dos ejes perpendiculares entre sí, siempre que sea posible, en lugar de con cualquier otra inclinación.

En lo que respecta a la representación de líneas mediante ecuaciones, esta circunstancia secundaria no es más universalmente adecuada de lo que hemos visto que es la naturaleza general del sistema; ya que, según la ocasión particular, cualquier otra inclinación de los ejes puede merecer nuestra preferencia a ese respecto. Pero, desde el punto de vista inverso, es fácil ver que los ejes rectangulares nos permiten constantemente representar ecuaciones de una manera más simple y aún más fiel; pues, con ejes oblicuos, al estar el espacio dividido por ellos en regiones que ya no tienen una perfecta identidad, se sigue que, si el lugar geométrico de la ecuación se extiende a todas estas regiones a la vez, se presentarán, debido meramente a esta desigualdad de los ángulos, diferencias de figura que no corresponden a ninguna diversidad analítica, y alterarán necesariamente la rigurosidad exacta de la representación al confundirse con los resultados propios de las comparaciones algebraicas.

Por ejemplo, una ecuación como: x^m + y^m = c, que por su perfecta simetría debería dar evidentemente una curva compuesta de cuatro cuartos idénticos, estará representada, por el contrario, si tomamos ejes no rectangulares, por un lugar geométrico cuyas cuatro partes serán desiguales.

Es evidente que el único medio de evitar todos los inconvenientes de este tipo es suponer que el ángulo de los dos ejes sea un ángulo recto.

La discusión precedente muestra claramente que, aunque el sistema ordinario de coordenadas rectilíneas no posee una superioridad constante sobre todos los demás en uno de los dos puntos de vista fundamentales que se combinan continuamente en la geometría analítica, sin embargo, como, por otra parte, no es constantemente inferior, su mayor aptitud necesaria y absoluta para la representación de ecuaciones debe hacer que por lo general se le dé la preferencia; aunque evidentemente pueda suceder, en algunos casos particulares, que la necesidad de simplificar las ecuaciones y de obtenerlas más fácilmente determine a los geómetras a adoptar un sistema menos perfecto.

El sistema rectilíneo es, por tanto, aquel por medio del cual se construyen ordinariamente las teorías más esenciales de la geometría general, destinadas a expresar analíticamente los fenómenos geométricos más importantes.

Cuando se cree necesario elegir algún otro, el sistema polar es casi siempre por el que se opta, siendo este sistema de una naturaleza suficientemente opuesta a la del sistema rectilíneo como para hacer que las ecuaciones, que resultan demasiado complicadas respecto a este último, se vuelvan, por lo general, suficientemente simples respecto al otro.

Las coordenadas polares, además, tienen a menudo la ventaja de admitir una significación concreta más directa y natural; como ocurre en la mecánica, para las cuestiones geométricas a las que da lugar la teoría del movimiento circular, y en casi todos los casos de la geometría celestial.

Para simplificar la exposición, hasta ahora solo hemos considerado la concepción fundamental de la geometría analítica con respecto a las curvas planas, cuyo estudio general fue el único objeto de la gran renovación filosófica producida por Descartes.

Para completar esta importante explicación, debemos mostrar ahora de manera sumaria cómo esta idea elemental fue extendida por Clairaut, cerca de un siglo después, al estudio general de las superficies y las curvas de doble curvatura. Las consideraciones ya expuestas me permitirán limitarme en este tema al examen rápido de lo que es estrictamente peculiar a este nuevo caso.

# SURFACES.

Determinación de un punto en el espacio.

La determinación analítica completa de un punto en el espacio requiere evidentemente que se asignen los valores de tres coordenadas; como, por ejemplo, en el sistema que se adopta generalmente, y que corresponde al sistema rectilíneo de la geometría plana, las distancias desde el punto a tres planos fijos, habitualmente perpendiculares entre sí; lo cual presenta al punto como la intersección de tres planos cuya dirección es invariable.

También podríamos emplear las distancias del punto móvil a tres puntos fijos, lo cual lo determinaría mediante la intersección de tres esferas de centro común.

Del mismo modo, la posición de un punto se definiría dando su distancia a un punto fijo, y la dirección de esa distancia, por medio de los dos ángulos que esta línea recta forma con dos ejes invariables; este es el sistema polar de la geometría de tres dimensiones; el punto se construye entonces por la intersección de una esfera con un centro fijo, con dos conos rectos de bases circulares, cuyos ejes y vértice común no cambian.

En una palabra, existe evidentemente, al menos en este caso, la misma variedad infinita entre los diversos sistemas posibles de coordenadas que ya hemos observado en la geometría de dos dimensiones.

En general, debemos concebir un punto como determinado siempre por la intersección de tres superficies cualesquiera, tal como lo era en el caso anterior por la de dos líneas: cada una de estas tres superficies tiene, asimismo, todas sus condiciones de determinación constantes, a excepción de una, lo que da lugar a las coordenadas correspondientes, cuya influencia geométrica peculiar consiste así en obligar al punto a estar situado sobre dicha superficie.

Esto sentado, es claro que si las tres coordenadas de un punto son enteramente independientes unas de otras, ese punto puede tomar sucesivamente todas las posiciones posibles en el espacio.

Pero si el punto se ve obligado a permanecer sobre una cierta superficie definida de cualquier manera que sea, entonces dos coordenadas son evidentemente suficientes para determinar su situación en cada instante, ya que la superficie propuesta hará las veces de la condición impuesta por la tercera coordenada.

Debemos entonces, en este caso, bajo el punto de vista analítico, concebir necesariamente esta última coordenada como una función determinada de las dos restantes, permaneciendo estas últimas perfectamente independientes entre sí.

Habrá así entre las tres coordenadas variables una cierta ecuación que será permanente, y que será la única con el fin de corresponder al grado preciso de indeterminación en la posición del punto.

Expression of Surfaces by Equations.

This equation, more or less easy to be discovered, but always possible, will be the analytical definition of the proposed surface, since it must be verified for all the points of that surface, and for them alone. If the surface undergoes any change whatever, even a simple change of place, the equation must undergo a more or less serious corresponding modification.

In a word, all geometrical phenomena relating to surfaces will admit of being translated by certain equivalent analytical conditions appropriate to equations of three variables; and in the establishment and interpretation of this general and necessary harmony will essentially consist the science of analytical geometry of three dimensions.

Expresión de las ecuaciones por medio de superficies.

Considerando a continuación esta concepción fundamental desde el punto de vista inverso, vemos de la misma manera que toda ecuación de tres variables puede, en general, ser representada geométricamente por una superficie determinada, definida primitivamente por su propia propiedad característica, a saber, que las coordenadas de todos sus puntos conservan siempre la relación mutua enunciada en dicha ecuación.

Este lugar geométrico cambiará evidentemente, para una misma ecuación, según el sistema de coordenadas que sirva para la construcción de esta representación. Si adoptamos, por ejemplo, el sistema rectilíneo, es claro que en la ecuación entre las tres variables, x, y, z, cada valor particular atribuido a z dará una ecuación entre x e y, cuyo lugar geométrico será una cierta línea situada en un plano paralelo al plano de x e y, y a una distancia de este último igual al valor de z; de modo que el lugar geométrico completo se presentará como compuesto por una serie infinita de líneas superpuestas en una serie de planos paralelos (salvo las interrupciones que puedan existir), y formará en consecuencia una verdadera superficie.

Sucedería lo mismo al considerar cualquier otro sistema de coordenadas, aunque la construcción geométrica de la ecuación resulte más difícil de seguir.

Tal es la concepción elemental, el complemento de la idea original de Descartes, sobre la cual se funda la geometría general relativa a las superficies. Sería inútil abordar aquí directamente las otras consideraciones que se han indicado más arriba, respecto a las líneas, y que cualquiera puede extender fácilmente a las superficies; ya sea para mostrar que toda definición de una superficie por cualquier método de generación que sea es en realidad una ecuación directa de dicha superficie en un cierto sistema de coordenadas, o para determinar entre todos los diferentes sistemas de coordenadas posibles aquel que es generalmente el más conveniente. Solo añadiré, sobre este último punto, que la superioridad necesaria del sistema rectilíneo ordinario, en cuanto a la representación de las ecuaciones, es evidentemente aún más marcada en la geometría analítica de tres dimensiones que en la de dos, debido a la incomparablemente mayor complejidad geométrica que resultaría de la elección de cualquier otro sistema. Esto puede verificarse de la manera más striking [nota: omitida por fidelidad, usar "llamativa" o "sorprendente"] sorprendente considerando el sistema polar en particular, que es el más empleado después del sistema rectilíneo ordinario, tanto para las superficies como para las curvas planas, y por las mismas razones.

Para completar la exposición general de la concepción fundamental relativa al estudio analítico de las superficies, debe hacerse un examen filosófico de un último perfeccionamiento de la más alta importancia que Monge ha introducido en los elementos mismos de esta teoría, para la clasificación de las superficies en familias naturales, establecidas según el modo de generación y expresadas algebraicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias, o por ecuaciones finitas que contienen funciones arbitrarias.

# CURVAS DE DOBLE CURVATURA.

Consideremos ahora el último punto de vista elemental de la geometría analítica de tres dimensiones; el relativo a la representación algebraica de las curvas consideradas en el espacio, de la manera más general.

Al continuar siguiendo el principio que se ha empleado constantemente, el del grado de indeterminación del lugar geométrico, correspondiente al grado de independencia de las variables, es evidente, como principio general, que cuando se requiere que un punto esté situado sobre cierta curva, una sola coordenada es suficiente para determinar completamente su posición, mediante la intersección de esta curva con la superficie que resulta de esta coordenada. Así, en este caso, las otras dos coordenadas del punto deben concebirse como funciones necesariamente determinadas y distintas de la primera.

De ello se deduce que toda línea, considerada en el espacio, queda representada analíticamente, ya no por una sola ecuación, sino por el sistema de dos ecuaciones entre las tres coordenadas de cualquiera de sus puntos. Es claro, en efecto, desde otro punto de vista, que, dado que cada una de estas ecuaciones, considerada por separado, expresa una cierta superficie, su combinación presenta la línea propuesta como la intersección de dos superficies determinadas.

Tal es la manera más general de concebir la representación algebraica de una línea en la geometría analítica de tres dimensiones. Esta concepción se considera comúnmente de un modo demasiado restringido cuando nos limitamos a considerar una línea como determinada por el sistema de sus dos proyecciones sobre dos de los planos coordenados; un sistema caracterizado, analíticamente, por esta peculiaridad, de que cada una de las dos ecuaciones de la línea contiene entonces solo dos de las tres coordenadas, en lugar de incluir simultáneamente las tres variables.

Esta consideración, que consiste en ver la línea como la intersección de dos superficies cilíndricas paralelas a dos de los tres ejes de las coordenadas, además del inconveniente de estar confinada al sistema rectilíneo ordinario, tiene el defecto, si nos atenemos estrictamente a él, de introducir dificultades inútiles en la representación analítica de las líneas, puesto que la combinación de estos dos cilindros evidentemente no sería siempre la más adecuada para formar las ecuaciones de una línea.

Así, considerando esta noción fundamental en toda su generalidad, será necesario en cada caso elegir, entre el número infinito de pares de superficies cuya intersección pudiera producir la curva propuesta, aquel que se preste mejor al establecimiento de las ecuaciones, por estar compuesto por las superficies mejor conocidas. Así, si el problema consiste en expresar analíticamente un círculo en el espacio, será evidentemente preferible considerarlo como la intersección de una esfera y un plano, antes que derivarlo de cualquier otra combinación de superficies que pudiera producirlo igualmente.

En verdad, este modo de concebir la representación de las líneas mediante ecuaciones, en la geometría analítica del espacio, produce, por su propia naturaleza, un inconveniente necesario, el de cierta confusión analítica, consistente en esto: que una misma línea puede así expresarse, con el mismo sistema de coordenadas, mediante un número infinito de pares diferentes de ecuaciones, debido al número infinito de pares de superficies que pueden formarla; una circunstancia que puede causar ciertas dificultades para reconocer esta línea bajo todos los disfraces algebraicos que admite.

Pero existe un método muy sencillo para hacer desaparecer este inconveniente; consiste en renunciar a las facilidades que resultan de esta variedad de construcciones geométricas. Basta, en efecto, cualquiera que sea el sistema analítico establecido primitivamente para una cierta línea, poder deducir de él el sistema correspondiente a un solo par de superficies generadas uniformemente; como, por ejemplo, el de las dos superficies cilíndricas que proyectan la línea propuesta sobre dos de los planos coordenados; superficies que evidentemente serán siempre idénticas, de cualquier manera que se haya obtenido la línea, y que no variarán a menos que esa línea misma cambie.

Ahora bien, al elegir este sistema fijo, que es en realidad el más simple, generalmente podremos deducir de las ecuaciones primitivas aquellas que les corresponden en esta construcción especial, transformándolas, mediante dos eliminaciones sucesivas, en dos ecuaciones, cada una de las cuales contiene únicamente dos de las coordenadas variables, y correspondiendo por ello a las dos superficies de proyección. Tal es en realidad el destino principal de esta clase de combinación geométrica, que nos ofrece así un medio invariable y seguro de reconocer la identidad de las líneas a pesar de la diversidad de sus ecuaciones, que a veces es muy grande.

# IMPERFECCIONES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA.

Habiendo considerado ya la concepción fundamental de la geometría analítica bajo sus principales aspectos elementales, conviene, para que el esbozo sea completo, señalar aquí las imperfecciones generales que aún presenta esta concepción con respecto tanto a la geometría como al análisis.

Relativamente a la geometría, debemos observar que las ecuaciones están adaptadas todavía para representar solo lugares geométricos enteros, y en absoluto porciones determinadas de esos lugares. Sería, sin embargo, necesario, en algunas circunstancias, poder expresar analíticamente una parte de una línea o de una superficie, o incluso una línea o superficie discontinua, compuesta por una serie de secciones pertenecientes a distintas figuras geométricas, como el contorno de un polígono, o la superficie de un poliedro.

La termología, especialmente, da lugar a menudo a tales consideraciones, a las cuales nuestra geometría analítica actual es necesariamente inaplicable. Los trabajos del Sr. Fourier sobre las funciones discontinuas han empezado, sin embargo, a llenar este gran vacío, y han introducido con ello una nueva y esencial mejora en la concepción fundamental de Descartes.

Pero este modo de representar figuras heterogéneas o parciales, al estar fundado en el empleo de series trigonométricas que proceden según los senos de una serie infinita de arcos múltiples, o en el uso de ciertas integrales definidas equivalentes a esas series, y cuya integral general es desconocida, presenta todavía demasiada complicación como para permitir su introducción inmediata en el sistema de la geometría analítica.

Relativamente al análisis, debemos comenzar por observar que nuestra incapacidad para concebir una representación geométrica de ecuaciones que contienen cuatro, cinco o más variables, análoga a aquellas representaciones que admiten todas las ecuaciones de dos o de tres variables, no debe considerarse como una imperfección de nuestro sistema de geometría analítica, pues es evidente que pertenece a la naturaleza misma del tema.

Siendo el análisis necesariamente más general que la geometría, dado que se relaciona con todos los fenómenos posibles, sería muy poco filosófico desear hallar siempre entre los fenómenos geométricos por sí solos una representación concreta de todas las leyes que el análisis puede expresar.

Existe, sin embargo, otra imperfección de menor importancia, que debe considerarse en realidad como derivada de la manera en que concebimos la geometría analítica.

Consiste en la evidente incompletitud de nuestra representación actual de las ecuaciones de dos o tres variables mediante líneas o superficies, por cuanto en la construcción del lugar geométrico prestamos atención únicamente a las soluciones reales de las ecuaciones, sin reparar en absoluto en ninguna de las soluciones imaginarias.

El curso general de estas últimas debería, sin embargo, por su naturaleza, ser tan susceptible como el de las otras de una representación geométrica. De esta omisión se sigue que la imagen gráfica de la ecuación es constantemente imperfecta, y a veces incluso lo es tanto que no existe representación geométrica en absoluto cuando la ecuación admite únicamente soluciones imaginarias.

Pero, incluso en este último caso, evidentemente deberíamos ser capaces de distinguir entre ecuaciones tan diferentes en sí mismas como estas, por ejemplo, x² + y² + 1 = 0, x⁶ + y⁴ + 1 = 0, y² + e^x = 0.

Sabemos, además, que esta imperfección principal acarrea a menudo, en la geometría analítica de dos o de tres dimensiones, una serie de inconvenientes secundarios, derivados de varias modificaciones analíticas que no corresponden a ningún fenómeno geométrico.

Nuestra exposición filosófica de la concepción fundamental de la geometría analítica nos muestra claramente que esta ciencia consiste esencialmente en determinar cuál es la expresión analítica general de tal o cual fenómeno geométrico perteneciente a las líneas o a las superficies; y, recíprocamente, en descubrir la interpretación geométrica de tal o cual consideración analítica.

Un examen detallado de las cuestiones generales más importantes nos mostraría cómo los geómetras han logrado establecer efectivamente esta hermosa armonía, y en imprimir así a la ciencia geométrica, considerada en su conjunto, su carácter actual eminentemente perfecto de racionalidad y de simplicidad.

Nota.—El autor dedica los dos capítulos siguientes de su curso al examen más detallado de la Geometría Analítica de dos y de tres dimensiones; pero se ha considerado que su posterior publicación de una obra separada sobre esta rama de las matemáticas hace innecesaria la reproducción de estos dos capítulos en el presente volumen.

FIN.