Con el siglo XVI comenzó un periodo de mayor actividad intelectual. La mente humana hizo un vasto esfuerzo por alcanzar su libertad.

Antes se habían hecho intentos de emancipación de la autoridad de la Iglesia, pero fueron sofocados y frustrados.

La primera gran y exitosa revuelta contra la autoridad eclesiástica tuvo lugar en Alemania.

El nuevo deseo de juzgar libre e independientemente en cuestiones de religión fue precedido y acompañado por un creciente espíritu de indagación científica.

Así fue como, durante un tiempo, Alemania encabezó la vanguardia de la ciencia. Produjo a Regiomontano, a Copérnico,

Rhæticus, Kepler y Tycho Brahe, en una época en que

Francia e Inglaterra apenas habían dado a luz todavía a grandes pensadores científicos. Esta notable fecundidad científica se debía sin duda, en gran medida, a la prosperidad comercial de Alemania.

La prosperidad material es una condición esencial para el progreso del conocimiento. Mientras cada individuo se vea obligado a recolectar lo necesario para su subsistencia, no puede haber tiempo libre para ocupaciones superiores. En esta época, Alemania había acumulado una riqueza considerable. El

La Liga Hanseática dominaba el comercio del Norte. Existían estrechas relaciones comerciales entre Alemania e Italia.

Italia, también, sobresalió en la actividad y la empresa comerciales. Solo necesitamos mencionar a Venecia, cuya gloria comenzó con las cruzadas, y a Florencia, con sus banqueros y sus fabricantes de seda y lana. Estas dos ciudades se convirtieron en grandes centros intelectuales.

Así, Italia también produjo hombres en el arte, la literatura y la ciencia, que brillaron con todo su esplendor. De hecho, Italia fue la patria de lo que se denomina el Renacimiento.

Por las primeras grandes contribuciones a las ciencias matemáticas debemos, por tanto, mirar a Italia y Alemania. En Italia se hicieron brillantes incorporaciones al álgebra; en Alemania, a la astronomía y la trigonometría.

En el umbral de esta nueva era encontramos en Alemania la figura de Juan Müller, más comúnmente llamado Regiomontano

(1436–1476). Principalmente a él le debemos el renacimiento de la trigonometría. Estudió astronomía y trigonometría en Viena bajo la tutela del célebre Georg Purbach. Este último se dio cuenta de que las traducciones latinas existentes del Almagesto estaban llenas de errores y de que los autores árabes no se habían mantenido fieles al original griego. Por lo tanto, Purbach comenzó a hacer una traducción directamente del griego. Pero no vivió para terminarla. Su obra fue continuada por Regiomontano, quien fue más allá que su maestro.

Regiomontano aprendió la lengua griega del cardenal Besarión, a quien siguió a Italia, donde permaneció ocho años recolectando manuscritos de griegos que habían huido allí de los turcos. Además de la traducción y el comentario del Almagesto, preparó traducciones de las Cónicas de Apolonio, de Arquímedes y de las obras mecánicas de Herón.

Regiomontano y Purbach adoptaron el seno hindú en lugar de la cuerda griega del doble del arco. Los griegos y, posteriormente, los árabes dividieron el radio en $60$ partes iguales, y cada una de estas, a su vez, en $60$ más pequeñas. Los hindúes expresaron la longitud del radio en partes de la circunferencia, afirmando que de las $21.600$ divisiones iguales de esta última, se necesitaban $3438$ para medir el radio. Regiomontano, para asegurar una mayor precisión, construyó una tabla de senos sobre un radio dividido en $600.000$ partes, y otra sobre un radio dividido de forma decimal en $10.000 .000$ de divisiones. Enfatizó el uso de la tangente en trigonometría.

Siguiendo algunas ideas de su maestro, calculó una tabla de tangentes.

Los matemáticos alemanes no fueron los primeros europeos en usar esta función. En Inglaterra le era conocida un siglo antes a Bradwardine, quien habla de tangente (umbra recta) y cotangente (umbra versa), y a John Maudith.

Regiomontano fue autor de una aritmética y también de un tratado completo sobre trigonometría, que contenía soluciones tanto de triángulos planos como esféricos. La forma que dio a la trigonometría se ha conservado, en sus rasgos principales, hasta el día de hoy.

Regiomontanus se cuenta entre los hombres más grandes que Alemania ha producido jamás. Su completo dominio de la astronomía y las matemáticas, y su entusiasmo por ellas, ejercieron una influencia de gran alcance en toda Alemania. Tan grande era su reputación, que el papa Sixto IV lo llamó a Italia para mejorar el calendario. Regiomontanus dejó su amada ciudad de Núremberg para ir a Roma, donde murió al año siguiente.

Después de la época de Purbach y Regiomontano, la trigonometría, y especialmente el cálculo de tablas, continuaron ocupando a los estudiosos alemanes.

Se fabricaron instrumentos astronómicos más refinados, que ofrecían observaciones de mayor precisión; pero estos habrían sido inútiles sin tablas trigonométricas de una exactitud correspondiente.

De las varias tablas calculadas, merece mención especial la de Georg Joachim, de Feldkirch en el Tirol, llamado generalmente Rético. Calculó una tabla de senos con el radio $= 10.000 .000 .000$ y de $10^{″}$ en $10^{″}$ ;

y, más adelante, otra con el radio $= 1.000 .000 .000 .000 .000$ , y avanzando de $10^{″}$ en $10^{″}$ . Comenzó también la construcción de tablas de tangentes y secantes, que debían llevarse al mismo grado de precisión; pero murió antes de terminarlas.

Durante doce años había tenido empleados continuamente a varios calculistas. La obra fue completada por su discípulo, Valentín Otho, en 1596. Esta fue en verdad una obra gigantesca,–-un monumento a la diligencia alemana y a la perseverancia indefatigable. Las tablas fueron republicadas en 1613 por Pitiscus, quien no escatimó esfuerzos para librarlas de errores.

Los griegos, los hindúes o los árabes jamás habían soñado con tablas astronómicas de tan gran grado de precisión. Que Rheticus no era únicamente un calculista ágil, lo indican sus puntos de vista sobre las líneas trigonométricas. Hasta su época, las funciones trigonométricas se habían considerado siempre en relación con el arco; él fue el primero en construir el triángulo rectángulo y hacer que dependieran directamente de sus ángulos. Fue a partir del triángulo rectángulo que Rheticus obtuvo su idea de calcular la hipotenusa; es decir, fue el primero en planificar una tabla de secantes.

También Vieta y Romanus realizaron un buen trabajo en trigonometría.

Dejaremos ahora el tema de la trigonometría para presenciar el progreso en la resolución de ecuaciones algebraicas. Para ello, debemos dejar Alemania por Italia.

El primer álgebra completa que se imprimió fue la de Lucas Pacioli. Cierra su libro diciendo que la solución de las ecuaciones $x^{3} + m x = n$ , $x^{3} + n = m x$ es tan imposible en el estado actual de la ciencia como la cuadratura del círculo. Este comentario sin duda estimuló la reflexión.

El primer paso en la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas lo dio Scipio Ferro (fallecido en 1526), profesor de matemáticas en Bolonia, quien resolvió la ecuación $x^{3} + m x = n$ .

Nada más se sabe de su descubrimiento salvo que se lo comunicó a su discípulo, Floridas, en 1505.

Era costumbre en aquellos días, y durante dos siglos posteriores, mantener los secretos los descubrimientos, con el fin de asegurarse por ese medio una ventaja sobre los rivales al proponerles problemas fuera de su alcance. Esta práctica dio lugar a innumerables disputas sobre la prioridad de los invenciones.

Una segunda solución de las cúbicas fue dada por Nicolo de Brescia (1506(?)–1557).

Cuando era un niño de seis años, Nicolo fue tan gravemente herido por un soldado francés que nunca volvió a recuperar el uso libre de su lengua. De ahí que lo llamaran Tartaglia, es decir, el tartamudo. Como su madre viuda era demasiado pobre para pagar su educación escolar, aprendió a leer y adquirió conocimientos de latín, griego y matemáticas por sí mismo.

Dotado de una mente de poder extraordinario, pudo presentarse como profesor de matemáticas a una edad temprana. En 1530, un tal Colla le propuso varios problemas, uno de los cuales conducía a la ecuación $x^{3} + p x^{2} = q$ . Tartaglia encontró un método imperfecto para resolverla, pero lo mantuvo en secreto. Habló de su secreto en público y provocó así que el discípulo de Ferro, Floridas, proclamara su propio conocimiento de la forma $x^{3} + m x = n$ .

Tartaglia, creyéndolo un mediocre y fanfarrón, lo desafió a un debate público, que tendría al fin lugar el 22 de febrero de 1535. Al enterarse, entretanto, de que su rival había obtenido el método de un maestro fallecido, y temiendo ser vencido en la contienda, Tartaglia puso todo su empeño, laboriosidad y habilidad para hallar la regla de las ecuaciones, y lo logró diez días antes de la fecha señalada, como él mismo dice modestamente.7

El paso más difícil fue, sin duda, la transición de los irracionales cuadráticos, utilizados en las operaciones desde tiempos remotos, a los irracionales cúbicos.

Al plantear $x = \sqrt[3]{t} - \sqrt[3]{u}$ , Tartaglia percibió que los irracionales desaparecían de la ecuación $x^{3} + m x = n$ , haciendo que $n = t - u$ .

Pero esta última igualdad, junto con $(\frac{1}{3} m)^{3} = t u$ , da inmediatamente

$t = \sqrt{{(\frac{n}{2})}^{3} + {(\frac{m}{3})}^{3}} + \frac{n}{2}, u = \sqrt{{(\frac{n}{2})}^{2} + {(\frac{m}{2})}^{3}} - \frac{n}{2} .$

Esta es la solución de Tartaglia para $x^{3} + m x = n$ .

El 13 de febrero encontró una solución similar para $x^{3} = m x + n$ .

El concurso comenzó el 22. Cada concursante propuso treinta problemas. El que pudiera resolver el mayor número en un plazo de cincuenta días sería el vencedor.

Tartaglia resolvió en dos horas los treinta problemas propuestos por Floridas; Floridas no pudo resolver ninguno de los de Tartaglia.

A partir de entonces, Tartaglia estudió las ecuaciones cúbicas con ahínco.

En 1541 descubrió una solución general para la cúbica $x^{3} \pm p x^{2} = \pm q$ , transformándola en la forma $x^{3} \pm m x = \pm n$ .

La noticia de la victoria de Tartaglia se difundió por toda Italia.

Se le suplicó a Tartaglia que diera a conocer su método, pero se negó a hacerlo, diciendo que tras terminar su traducción de Euclides desde el griego y

Arquímedes, publicaría un gran tratado de álgebra que contendría su método. Pero un erudito de Milán, llamado Hieronimo Cardano (1501-1576), tras muchas súplicas y de dar las más solemnes y sagradas promesas de secreto, logró obtener de Tartaglia el conocimiento de sus reglas.

Por entonces Cardan redactaba su Ars Magna, y no halló mejor manera de coronar su obra que insertando las tan codiciadas reglas para resolver ecuaciones cúbicas. Así pues, Cardan quebrantó sus votos más solemnes y publicó en 1545, en su Ars Magna, la solución de Tartaglia para las cúbicas.

Tartaglia se desesperó. Su esperanza más querida, la de ofrecer al mundo una obra inmortal que fuera el monumento de su profundo saber y de su capacidad para la investigación original, fue destruida de repente; pues la corona destinada a su obra le había sido arrebatada.

Su primer paso fue escribir una historia de su invención; pero, para aniquilar por completo a sus enemigos, retó a Cardan y a su alumno Ludovico Ferrari a un concurso: cada parte propondría treinta y una preguntas que la otra debía resolver en un plazo de quince días.

Tartaglia resolvió la mayoría de las preguntas en siete días, pero la otra parte no envió sus soluciones antes de que expirara el quinto mes; además, todas sus soluciones excepto una eran incorrectas.

Le siguieron una réplica y una dúplica. Infinitos fueron los problemas propuestos y resueltos por ambas partes. La disputa produjo muchos disgustos y amarguras a los contendientes, y a Tartaglia en especial, quien se encontró con muchas otras desilusiones.

Después de haberse recuperado de nuevo, Tartaglia comenzó, en 1556, la publicación de la obra que había tenido en mente durante tanto tiempo; pero murió antes de llegar al estudio de las ecuaciones cúbicas.

Así, el deseo más ferviente de su vida quedó inalcanzado; el hombre a quien debemos la mayor contribución al álgebra hecha en el siglo XVI fue olvidado, y su método pasó a ser considerado como el descubrimiento de Cardano y a llamarse la solución de Cardano.

Notable es el gran interés que la solución de las ecuaciones cúbicas despertó en toda Italia. Es muy natural que tras esta gran conquista los matemáticos atacaran las ecuaciones bicuadráticas. Al igual que en el caso de las cúbicas, también aquí el primer impulso lo dio Colla, quien, en 1540, propuso para su solución la ecuación

$x^{4} + 6 x^{2} + 36 = 60 x$ .

Para ser exactos, Cardano ya había estudiado casos particulares hacia 1539. Así, resolvió la ecuación $13 x^{2} = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x + 1$ mediante un procedimiento similar al empleado por Diofanto y los hindúes; a saber, sumando $3 x^{2}$ a ambos miembros y convirtiendo de este modo ambos números en cuadrados perfectos.

Pero Cardano no logró hallar una solución general; le correspondería a su discípulo Ferrari sostener la reputación de su maestro con el brillante descubrimiento de la solución general de las ecuaciones bicuadráticas. Ferrari redujo la ecuación de Colla a la forma $(x^{2} + 6)^{2} = 60 x + 6 x^{2}$ . Para dar también al miembro derecho la forma de un cuadrado perfecto, añadió a ambos miembros la expresión $2 (x^{2} + 6) y + y^{2}$ , que contenía una nueva cantidad incógnita $y$ . Esto le dio $(x^{2} + 6 + y)^{2} = (6 + 2 y) x^{2} + 60 x + (12 y + y^{2})$ .

La condición de que el miembro derecho sea un cuadrado perfecto se expresa mediante la ecuación cúbica $(2 y + 6) (12 y + y^{2}) = 900$ . Al extraer la raíz cuadrada de la bicuadrática, obtuvo $x^{2} + 6 + y = x 2 y + 6 + 9002 y + 6$ . Resolviendo la cúbica para ~ $y$ y sustituyendo, solo restaba determinar $x$ a partir de la cuadrática resultante. Ferrari aplicó un método similar con otras ecuaciones bicuadráticas numéricas.7

Cardano tuvo el placer de publicar este descubrimiento en su Ars Magna en 1545. A veces se le atribuye la solución de Ferrari a Bombelli, pero este no es más el descubridor de ella de lo que Cardano lo es de la solución que lleva su nombre.

A Cardán mucho le debe el álgebra. En su Ars Magna toma nota de las raíces negativas de una ecuación, calificándolas de ficticias, mientras que las raíces positivas se denominan reales. Las raíces imaginarias no las considera; los casos en los que aparecen los califica de imposibles.

Cardán también observó la dificultad en el caso irreducible de las cúbicas, que, al igual que la cuadratura del círculo, desde entonces «tanto ha atormentado la perversa ingenio de los matemáticos». Pero no comprendió su naturaleza.

Quedó reservado a Rafael Bombelli, de Bolonia, quien publicó en 1572 un álgebra de gran mérito, señalar la realidad de la expresión aparentemente imaginaria que adopta la raíz, sentando así las bases de un conocimiento más profundo de las cantidades imaginarias.

Tras este brillante éxito en la resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado, probablemente no quedaba nadie que dudara de que, con la ayuda de irracionales de grados superiores, se pudiera hallar la solución de ecuaciones de cualquier grado. Pero todos los intentos de hallar la solución algebraica de la ecuación de quinto grado fueron infructuosos y, finalmente, Abel demostró que todas las esperanzas de encontrar soluciones algebraicas para ecuaciones de un grado superior al cuarto eran puramente utópicas.

Como no se pudo hallar ninguna solución por radicales de ecuaciones de grados superiores, no quedó otra cosa por hacer que concebir reglas mediante las cuales se pudieran determinar, al menos, los valores numéricos de las raíces.

Cardano aplicó a la cúbica la regla hindú de la «falsa posición» (llamada por él regula aurea), pero este método de aproximación era sumamente impreciso. Un método incomparablemente mejor fue inventado por Franciscus Vieta, un matemático francés cuyo genio trascendente enriqueció las matemáticas con varias innovaciones importantes.

Tomando la ecuación $f (x) = Q$ , en la que $f (x)$ es un polinomio que contiene diferentes potencias de $x$ , con coeficientes numéricos, y $Q$ es un número dado, Vieta primero sustituye en $f (x)$ un valor aproximado conocido de la raíz, y luego muestra que se puede obtener otra cifra de la raíz mediante división. Una repetición del mismo proceso da la siguiente cifra de la raíz, y así sucesivamente.

Así, en $x^{2} + 14 x = 7929$ , tomando $80$ como la raíz aproximada, y estableciendo $x = 80 + b$ , obtenemos

Como $174 b$ es mucho mayor que $b^{2}$ , hacemos $174 b = 409$ , y obtenemos así $b = 2$ . De ahí que la segunda aproximación sea $82$ .

Haciendo $x = 82 + c$ , resulta $(82 + c)^{2} + 14 (82 + c) = 7929$ , o $178 c + c^{2} = 57$ . Como antes, hacemos $178 c = 57$ , de modo que $c = .3$ , y la tercera aproximación da $82.3$ .

Suponiendo $x = 82.3 + d$ , y sustituyendo, se obtiene $178.6 d + d^{2} = 3.51$ , y $178.6 d = 3.51$ , $∴ d = .01$ ; lo que da para la cuarta aproximación $82.31$ .

De la misma manera, $e = .009$ , y el valor de la raíz de la ecuación dada es $82.319 \dots$ .

Por este procedimiento, Vieta fue muy admirado por sus contemporáneos. Fue empleado por Harriot, Oughtred, Pell y otros. Su principio es idéntico al principio principal involucrado en los métodos de aproximación de Newton y

Horner. El único cambio radica en la disposición de la obra. Esta alteración se realizó para ofrecer facilidad y seguridad en el proceso de evolución de la raíz.

Hacemos una pausa de un momento para esbozar la vida de Vieta, el matemático francés más eminente del siglo XVI.

Nació en Poitou en 1540 y murió en 1603 en París. Estuvo empleado durante toda su vida al servicio del estado, bajo Enrique III y Enrique IV. No era, por tanto, matemático de profesión, pero su amor por la ciencia era tan grande que permanecía en su gabinete estudiando, a veces durante varios días seguidos, sin comer ni dormir más de lo necesario para sostenerse.

Una devoción tan grande por la ciencia abstracta es más notable aún porque vivió en una época de incesante agitación política y religiosa. Durante la guerra contra España, Vieta prestó un servicio a Enrique IV al descifrar cartas interceptadas escritas en una especie de cifrado y dirigidas por la Corte española a su gobernador de los Países Bajos. Los españoles atribuyeron el descubrimiento de la clave a la magia.

Un embajador de los Países Bajos le dijo una vez a Enrique IV que Francia no poseía un solo geómetra capaz de resolver un problema propuesto a los geómetras por un matemático belga, Adrianus Romanus.

Era la solución de la ecuación de cuadragésimo quinto grado:–- $45 y - 3795 y^{3} + 95634 y^{5} - \dots + 945 y^{41} - 45 y^{43} + y^{45} = C .$

Enrique IV llamó a Vieta, quien, habiendo investigado ya cuestiones similares, vio de inmediato que este imponente problema era simplemente la ecuación mediante la cual se expresaba $C = 2 \sin ϕ$ en función de $y = 2 \sin \frac{1}{45} ϕ$ ; que, dado que $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$ , solo era necesario dividir un ángulo una vez en 5 partes iguales, y luego dos veces en 3,–-una división que podía efectuarse mediante ecuaciones correspondientes de quinto y tercer grado.

Brillante fue el descubrimiento por parte de Vieta de 23 raíces para esta ecuación, en lugar de una sola. La razón por la cual no encontró 45 soluciones es que las restantes involucran senos negativos, los cuales le resultaban ininteligibles.

Investigaciones detalladas sobre el famoso y antiguo problema de la división de un ángulo en un número impar de partes iguales llevaron a Vieta al descubrimiento de una solución trigonométrica del caso irreducible de Cardan en las ecuaciones cúbicas. Aplicó la ecuación $(2 \cos \frac{1}{3} ϕ)^{3} - 3 (2 \cos \frac{1}{3} ϕ) = 2 \cos ϕ$ a la solución de $x^{3} - 3 a^{2} x = a^{2} b$ , cuando $a > \frac{1}{2} b$ , haciendo $x = 2 a \cos \frac{1}{3} ϕ$ , y determinando $ϕ$ a partir de $b = 2 a \cos ϕ$ .

El principio principal empleado por él en la solución de ecuaciones es el de la reducción. Resuelve la ecuación cuadrática haciendo una sustitución adecuada que elimine el término que contiene a $x$ en primer grado.

Al igual que Cardano, reduce la expresión general de la cúbica a la forma $x^{3} + m x + n = 0$ ; luego, suponiendo $x = (\frac{1}{3} a - z^{2}) \div z$ y sustituyendo, obtiene $z^{6} - b z^{3} - \frac{1}{27} a^{3} = 0$ . Al establecer $z^{3} = y$ , obtiene una ecuación cuadrática.

En la solución de las ecuaciones bicuadradas, Vieta sigue siendo fiel a su principio de reducción. Esto le proporciona la conocida cúbica resolvente. De este modo, se mantiene fiel en todo momento a su principio favorito, introduciendo así en el álgebra una uniformidad de método que suscita nuestra más viva admiración.

En el álgebra de Vieta descubrimos un conocimiento parcial de las relaciones existentes entre los coeficientes y las raíces de una ecuación. Muestra que si el coeficiente del segundo término en una ecuación de segundo grado es menos la suma de dos números cuyo producto es el tercer término, entonces dichos dos números son raíces de la ecuación.

Vieta rechazó todas las raíces excepto las positivas; por consiguiente, le era imposible percibir plenamente las relaciones en cuestión.

La innovación más trascendental en el álgebra debida a Vieta es la denotación de cantidades generales o indefinidas mediante letras del alfabeto. Ciertamente, Regiomontano y Stifel en

Alemania, y Cardano en Italia, utilizaron letras antes que él, pero

Vieta extended the idea and first made it an essential part of algebra. The new algebra was called by him logistica speciosa in distinction to the old logistica numerosa.

Vieta's formalism differed considerably from that of to-day. The equation $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (a + b)^{3}$ was written by him " $a c u b u s + b i n a q u a d r . 3 + a i n b q u a d r . 3 + b c u b o æ q u a l i a a + b c u b o$ ."

En las ecuaciones numéricas la cantidad incógnita se denotaba por $N$ , su cuadrado por $Q$ y su cubo por $C$ . Así, la ecuación $x^{3} - 8 x^{2} + 16 x = 40$ se escribía $1 C - 8 Q + 16 N æqual.\ 40$ .

Obsérvese que los exponentes y nuestro símbolo ( $=$ ) de igualdad aún no se usaban; pero que Vieta empleaba la cruz de Malta ( $+$ ) como símbolo abreviado para la suma, y el ( $-$ ) para la resta. Estos dos caracteres no habían estado en uso general antes de la época de Vieta.

«Es muy singular —dice Hallam— que descubrimientos de la mayor conveniencia, y que aparentemente no superaban el ingenio de un maestro de escuela rural, hayan sido pasados por alto por hombres de una agudeza extraordinaria como Tartaglia, Cardano y Ferrari; y no es menos singular que, en virtud de esa misma agudeza, prescindieran de la ayuda de estos artificios en los que suponemos que reside gran parte de la utilidad de la expresión algebraica».

Aun después de que se propusieron mejoras en la notación, fue con extrema lentitud como se admitieron en el uso general. Se hicieron más por accidente que por diseño, y sus autores tenían escasa idea del efecto del cambio que estaban realizando.

La introducción de los símbolos $+$ y $-$ parece deberse a los alemanes, quienes, aunque no enriquecieron el álgebra durante el Renacimiento con grandes invenciones, como lo hicieron los italianos, aun así la cultivaron con gran celo.

La aritmética de John Widmann, impresa en 1489 en Leipzig, es el libro más antiguo en el que se han encontrado los símbolos $+$ y $-$ . Hay indicios que nos llevan a suponer que se usaron primero entre los comerciantes. Aparecen de nuevo en la aritmética de Grammateus, profesor de la Universidad de Viena.

Su discípulo, Christoff Rudolff, autor del primer libro de texto sobre álgebra en alemán (impreso en 1525), emplea también estos símbolos. Lo mismo hizo Stifel, quien publicó una segunda edición de la Coss de Rudolff en 1553. Así, poco a poco, su adopción se volvió universal.

Hay otro símbolo abreviado cuyo origen debemos a los alemanes. En un manuscrito publicado en algún momento del siglo XV, un punto colocado antes de un número se utiliza para significar la extracción de una raíz de ese número. Este punto es el embrión de nuestro símbolo actual para la raíz cuadrada.

Christoff Rudolff, en su álgebra, señala que «la radix quadrata se designa, por brevedad, en su algoritmo con el carácter $\sqrt{}$ , como $\sqrt{4}$ ». Aquí el punto se ha convertido en un símbolo muy parecido al nuestro. Este mismo símbolo fue utilizado por Michael Stifel.

Nuestro signo de igualdad se debe a Robert Recorde (1510–1558), autor de The Whetstone of

Witte (1557), que es el primer tratado inglés sobre álgebra. Seleccionó este símbolo porque no podía haber dos cosas más iguales que dos líneas paralelas $=$ . El signo $\div$ para la división fue utilizado por primera vez por Johann Heinrich Rahn, un suizo, en 1659, y fue introducido en Inglaterra por John Pell en 1668.

Michael Stifel (1486?–1567), el mayor algebracista alemán del siglo XVI, nació en Esslingen y murió en Jena. Se educó en el monasterio de su localidad natal y más tarde se convirtió en ministro protestante. El estudio del significado de los números místicos en el Apocalipsis y en el libro de Daniel lo atrajo hacia las matemáticas. Estudió obras alemanas e italianas, y publicó en 1544, en latín, un libro titulado Arithmetica integra. Melanchthon le escribió un prólogo. Sus tres partes tratan respectivamente de los números racionales, los números irracionales y el álgebra. Stifel ofrece una tabla que contiene los valores numéricos de los coeficientes binomiales para potencias inferiores a la 18. Observa una ventaja en hacer que una progresión geométrica corresponda a una progresión aritmética, y llega a la designación de las potencias enteras mediante números. Aquí se encuentran los gérmenes de la teoría de los exponentes. En 1545 Stifel publicó una aritmética en alemán. Su edición de la Coss de Rudolff contiene reglas para resolver ecuaciones cúbicas, derivadas de los escritos de Cardano.

Observamos más arriba que Vieta descartó las raíces negativas de las ecuaciones. De hecho, encontramos pocos algebristas antes y durante el Renacimiento que comprendieran el significado incluso de las cantidades negativas. Fibonacci rara vez las utiliza. Pacioli enuncia la regla de que «menos por menos da más», pero en realidad la aplica únicamente al desarrollo del producto de $(a - b) (c - d)$ ; las cantidades puramente negativas no aparecen en su obra.

El gran «cosista» (algebrista) alemán, Michael Stifel, ya habla en 1544 de números que son «absurdos» o «ficticios por debajo de cero», y que surgen cuando «números reales por encima de cero» se restan de cero.

Cardano, por fin, habla de un «menos puro»; «pero estas ideas —dice Hankel— se mantuvieron escasas, y hasta principios del siglo XVII los matemáticos trataron exclusivamente con cantidades positivas absolutas».

El primer algebrista que ocasionalmente coloca una cantidad puramente negativa por sí sola en un lado de una ecuación es Harriot en Inglaterra.

En lo que respecta al reconocimiento de las raíces negativas, Cardano y Bombelli estaban muy por delante de todos los escritores del Renacimiento, incluido Vieta. Sin embargo, incluso ellos mencionaron estas llamadas raíces falsas o ficticias solo de pasada, y sin comprender su verdadero significado e importancia. Sobre este tema, Cardano y Bombelli habían avanzado hasta aproximadamente el mismo punto en que lo había hecho el hindú Bhaskara, quien veía las raíces negativas, pero no las aprobaba.

La generalización del concepto de cantidad para incluir lo negativo fue un proceso sumamente lento y difícil en el desarrollo del álgebra.

Examinaremos ahora la historia de la geometría durante el

Renacimiento. A diferencia del álgebra, apenas hizo progreso alguno. La mayor ganancia fue un conocimiento más íntimo de la geometría griega. No se logró ningún progreso esencial antes de la época de Descartes. Regiomontano, Xylander de Augsburgo, Tartaglia,

Comandino de Urbino, en Italia, Maurolico y otros tradujeron obras geométricas del griego.

Juan Werner, de Núremberg, publicó en 1522 la primera obra sobre cónicas que apareció en la Europa cristiana. A diferencia de los geómetras de la antigüedad, estudió las secciones en relación con el cono y derivó sus propiedades directamente de él.

Este modo de estudiar las cónicas fue seguido por Maurolico de Mesina (1494–1575). Este último es, sin duda, el mayor geómetra del siglo XVI. A partir de las notas de Pappus, intentó reconstruir el quinto libro perdido de Apolonio sobre máximos y mínimos. Su obra principal es su tratamiento magistral y original de las secciones cónicas, en el cual analiza las tangentes y las asíntotas de manera más exhaustiva de lo que lo había hecho Apolonio, y las aplica a diversos problemas físicos y astronómicos.

El geómetra más eminente de Portugal fue Nonio; de

Francia, antes de Vieta, tuvo a Pedro Ramo, que pereció en la masacre de San Bartolomé.

Vieta poseía una gran familiaridad con la geometría antigua. La nueva forma que dio al álgebra, al representar las cantidades generales mediante letras, le permitió señalar más fácilmente cómo la construcción de las raíces de las cúbicas dependía de los célebres problemas antiguos de la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo.

Llegó a la interesante conclusión de que el primer problema incluye las soluciones de todas las cúbicas en las que el radical de la fórmula de Tartaglia es real, pero que el segundo problema incluye únicamente aquellas que conducen al caso irreducible.

El problema de la cuadratura del círculo revivió en esta época, y fue estudiado con celo incluso por hombres eminentes y de capacidad matemática.

El ejército de los que pretendían cuadrar el círculo se hizo de lo más formidable durante el siglo diecisiete.

Entre los primeros en revivir este problema estuvo el cardenal alemán Nicolás de Cusa (fallecido en 1464), quien tenía la reputación de ser un gran lógico. Sus falacias fueron expuestas a la vista de todos por Regiomontano.

Como en este caso, en otros, cada cuadrador notable hizo surgir a un matemático opositor: Orontio fue refutado por Buteo y Nonio; Julio César Scalígero por Vieta, Adriano

Romanus y Clavius; A. Quercu por Peter Metius.

Dos matemáticos de los Países Bajos, Adrianus Romanus y Ludolph van Ceulen, se ocuparon de aproximar la razón entre la circunferencia y el diámetro. El primero llevó el valor de $π$ a $15$ cifras, y el segundo a $35$ . El valor de $π$ se denomina por ello con frecuencia "número de Ludolph".

Su hazaña fue considerada tan extraordinaria, que los números fueron grabados en su lápida en el cementerio de la iglesia de San Pedro, en Leiden. Romanus fue quien propuso para su resolución aquella ecuación de cuadragésimo quinto grado resuelta por Vieta. Al recibir la solución de Vieta, partió inmediatamente hacia Paris para conocer a tan gran maestro.

Vieta le propuso el problema de Apolonio, que consiste en trazar un círculo tangente a tres círculos dados. "Adrianus Romanus resolvió el problema mediante la intersección de dos hipérbolas; pero esta solución no poseía el rigor de la geometría antigua. Vieta se lo hizo ver, y luego, a su vez, presentó una solución que tenía todo el rigor deseable."25

Romanus hizo mucho por simplificar la trigonometría esférica al reducir, mediante ciertas proyecciones, los $28$ casos en los triángulos considerados entonces a solo seis.

Cabe mencionar aquí las mejoras del calendario juliano. La determinación anual de las fiestas móviles había estado relacionada durante mucho tiempo con una cantidad incalculable de confusión. El rápido progreso de la astronomía condujo al estudio de este tema, y se propusieron muchos calendarios nuevos.

El papa Gregorio XIII convocó a un gran número de matemáticos, astrónomos y prelados, quienes decidieron la adopción del calendario propuesto por el jesuita Lilius Clavius. Para rectificar los errores del calendario juliano, se acordó escribir en el nuevo calendario el 15 de octubre inmediatamente después del 4 de octubre del año 1582.

El calendario gregoriano encontró una gran oposición tanto entre los científicos como entre los protestantes. Clavius, que ocupaba un lugar destacado como geómetra, respondió a las objeciones de los primeros de manera muy hábil y eficaz; los prejuicios de los segundos desaparecieron con el tiempo.

La pasión por el estudio de las propiedades místicas de los números descendió de los antiguos a los modernos. Mucho se escribió sobre el misticismo numérico incluso por hombres tan eminentes como Pacioli y Stifel. Los Numerorum Mysteria de Pedro

Bungus cubrió $700$ páginas en cuarto. Trabajó con gran tesón y satisfacción en la $666$ , que es el número de la bestia en el Apocalipsis (xiii. 18), el símbolo del Anticristo. Redujo el nombre del «impío» Martín Lutero a una forma que puede expresar este formidable número.

Haciendo que $a = 1$ , $b = 2$ , etc., $k = 10$ , $l = 20$ , etc., halla, tras deletrear mal el nombre, que $M_{(30)} A_{(1)} R_{(80)} T_{(100)} I_{(9)} N_{(40)}$ $L_{(20)} V_{(200)} T_{(100)} E_{(5)} R_{(80)} A_{(1)}$ constituye el número requerido.

Estos ataques al gran reformador no carecían de provocación, pues su amigo Michael Stifel, el más agudo y original de los primeros matemáticos de Alemania, demostró con igual ingenio que el número anterior se refería al papa León X, una demostración que proporcionó a Stifel un consuelo inefable.22

La astrología seguía siendo también un estudio predilecto. Es bien sabido que Cardano, Maurolycus, Regiomontano y muchos otros científicos eminentes que vivieron en una época aún posterior a esta se dedicaron a profundos estudios astrológicos; pero no es tan conocido en general que, además de las ciencias ocultas ya mencionadas, los hombres se dedicaban al estudio místico de los polígonos estrellados y los cuadrados mágicos. «El pentagrama te causa dolor», dice Fausto a Mefistófeles. Tiene un profundo interés psicológico ver a científicos como el gran Kepler demostrar en una página un teorema sobre polígonos estrellados, con estricto rigor geométrico, mientras que en la página siguiente, tal vez, explica su uso como amuletos o en conjuros.1 Playfair, al hablar de Cardano como astrólogo, lo califica de «triste prueba de que no hay necedad o debilidad demasiado grande para unirse a elevados logros intelectuales».26 No sea nuestro juicio demasiado severo. El período bajo consideración está demasiado cerca de la Edad Media como para admitir una emancipación completa del misticismo, incluso entre los científicos. Eruditos como Kepler, Napier, Alberto Durero, si bien estaban a la vanguardia del progreso y plantaban un pie sobre el firme terreno de la investigación verdaderamente científica, aún apoyaban el otro pie en las ideas escolásticas de las épocas precedentes.