Con el siglo XVI comenzó un periodo de mayor actividad intelectual. La mente humana hizo un vasto esfuerzo por alcanzar su libertad.
Antes se habían hecho intentos de emancipación de la autoridad de la Iglesia, pero fueron sofocados y frustrados.
La primera gran y exitosa revuelta contra la autoridad eclesiástica tuvo lugar en Alemania.
El nuevo deseo de juzgar libre e independientemente en cuestiones de religión fue precedido y acompañado por un creciente espíritu de indagación científica.
Así fue como, durante un tiempo, Alemania encabezó la vanguardia de la ciencia. Produjo a Regiomontano, a Copérnico,
Rhæticus, Kepler y Tycho Brahe, en una época en que
Francia e Inglaterra apenas habían dado a luz todavía a grandes pensadores científicos. Esta notable fecundidad científica se debía sin duda, en gran medida, a la prosperidad comercial de Alemania.
La prosperidad material es una condición esencial para el progreso del conocimiento. Mientras cada individuo se vea obligado a recolectar lo necesario para su subsistencia, no puede haber tiempo libre para ocupaciones superiores. En esta época, Alemania había acumulado una riqueza considerable. El
La Liga Hanseática dominaba el comercio del Norte. Existían estrechas relaciones comerciales entre Alemania e Italia.
Italia, también, sobresalió en la actividad y la empresa comerciales. Solo necesitamos mencionar a Venecia, cuya gloria comenzó con las cruzadas, y a Florencia, con sus banqueros y sus fabricantes de seda y lana. Estas dos ciudades se convirtieron en grandes centros intelectuales.
Así, Italia también produjo hombres en el arte, la literatura y la ciencia, que brillaron con todo su esplendor. De hecho, Italia fue la patria de lo que se denomina el Renacimiento.
Por las primeras grandes contribuciones a las ciencias matemáticas debemos, por tanto, mirar a Italia y Alemania. En Italia se hicieron brillantes incorporaciones al álgebra; en Alemania, a la astronomía y la trigonometría.
En el umbral de esta nueva era encontramos en Alemania la figura de Juan Müller, más comúnmente llamado Regiomontano
(1436–1476). Principalmente a él le debemos el renacimiento de la trigonometría. Estudió astronomía y trigonometría en Viena bajo la tutela del célebre Georg Purbach. Este último se dio cuenta de que las traducciones latinas existentes del Almagesto estaban llenas de errores y de que los autores árabes no se habían mantenido fieles al original griego. Por lo tanto, Purbach comenzó a hacer una traducción directamente del