Entre los pensadores más tempranos de los siglos XVII y XVIII, que emplearon sus facultades mentales en la destrucción de las viejas ideas y la construcción de otras nuevas, figura René Descartes (1596–1650).

Aunque profesó la ortodoxia en la fe durante toda su vida, en la ciencia fue un escéptico profundo. Descubrió que las mentes más brillantes del mundo se habían ejercitado largamente en la metafísica, pero no habían descubierto nada cierto; es más, se habían contradicho rotundamente entre sí.

Esto lo condujo a la gigantesca resolución de no aceptar absolutamente nada por autoridad, sino de someterlo todo a un examen minucioso, de acuerdo con nuevos métodos de indagación. La certeza de las conclusiones en la geometría y la aritmética hizo surgir en su mente el contraste entre la forma verdadera y la falsa de buscar la verdad. En consecuencia, intentó aplicar el razonamiento matemático a todas las ciencias.

"Comparando los misterios de la naturaleza con las leyes de las matemáticas, se atrevió a esperar que los secretos de ambos pudieran abrirse con la misma llave."

Así edificó un sistema de filosofía llamado cartesianismo.

Grande como fuera la celebridad de Descartes como metafísico, puede ponerse legítimamente en duda si su mérito de ser recordado por la posteridad como matemático no es mayor.

Su filosofía ha sido desde hace mucho tiempo superada por otros sistemas, pero la geometría analítica de Descartes seguirá siendo una valiosa posesión para siempre.

A la edad de veintiún años, Descartes se alistó en el ejército del príncipe Mauricio de Orange. Sus años de milicia fueron años de ocio, en los que tuvo tiempo para proseguir sus estudios. Por entonces, las matemáticas eran su ciencia favorita.

Pero en 1625 dejó de dedicarse a las matemáticas puras. Sir William Hamilton se equivoca cuando afirma que Descartes consideraba los estudios matemáticos absolutamente perniciosos como medio de cultivo interior.

En una carta a Mersenne, Descartes dice:

"M. Desargues me contrae obligaciones debido a las penas que se ha tomado conmigo, en cuanto muestra que le pesa que yo no desee estudiar más geometría, pero he resuelto dejar únicamente la geometría abstracta, es decir, la consideración de cuestiones que sirven solo para ejercitar la mente, y esto, con el fin de estudiar otra clase de geometría, que tiene por objeto la explicación de los fenómenos de la naturaleza. Usted sabe que toda mi física no es otra cosa que geometría".

Los años entre 1629 y

1649 fueron pasados por él en Holanda dedicados, principalmente, al estudio de la física y la metafísica.

Su residencia en Holanda transcurrió durante los días más brillantes del Estado holandés.

En 1637 publicó su Discours de la Méthode, que contenía entre otros un ensayo de 106 páginas sobre geometría. Su Geometría no es de lectura fácil. Posteriormente apareció una edición con notas de su amigo De Beaune, destinadas a eliminar las dificultades.

Se afirma con frecuencia que Descartes fue el primero en aplicar el álgebra a la geometría. Esta afirmación es inexacta, pues Vieta y otros lo habían hecho antes que él. Incluso los árabes utilizaron a veces el álgebra en relación con la geometría.

El nuevo paso que sí dio Descartes fue la introducción en la geometría de un método analítico basado en la noción de variables y constantes, lo que le permitió representar curvas mediante ecuaciones algebraicas. En la geometría griega faltaba la idea de movimiento, pero con Descartes se convirtió en un concepto muy fructífero.

Mediante él, un punto en un plano quedaba determinado en su posición por sus distancias a dos líneas rectas o ejes fijos. Estas distancias variaban con cada cambio de posición del punto. Esta idea geométrica de representación de coordenadas, junto con la idea algebraica de dos variables en una ecuación que tienen un número indefinido de valores simultáneos, proporcionó un método para el estudio de los lugares geométricos, admirable por la generalidad de sus soluciones.

Así, la totalidad de las secciones cónicas de Apolonio se encuentra envuelta y contenida en una sola ecuación de segundo grado.

El término latino para «ordenada» utilizado por Descartes proviene de la expresión lineæ ordinatæ, empleada por los agrimensores romanos para las líneas paralelas. El término abscisa aparece por primera vez en una obra en latín de 1659, escrita por Stefano degli Angeli (1623–1697), profesor de matemáticas en Roma.3

La geometría de Descartes se llamó «geometría analítica», en parte porque, a diferencia de la geometría sintética de los antiguos, es verdaderamente analítica, en el sentido en que se usa la palabra en lógica; y en parte porque ya entonces se había introducido la costumbre de designar con el término análisis al cálculo con cantidades generales.

El primer ejemplo importante resuelto por Descartes en su geometría es el «problema de Pappus»; a saber: «Dadas varias líneas rectas en un plano, hallar el lugar geométrico de un punto tal que las perpendiculares, o más generalmente, líneas rectas trazadas desde el punto a las líneas dadas con ángulos dados, satisfagan la condición de que el producto de ciertas de ellas guarde una razón dada con el producto de las restantes».

De este célebre problema, los griegos resolvieron únicamente el caso especial en que el número de líneas dadas es cuatro, caso en el cual el lugar geométrico del punto resulta ser una sección cónica. Descartes lo resolvió por completo y ofreció un excelente ejemplo del uso que puede hacerse de su método analítico en el estudio de los lugares geométricos. Newton dio otra solución más tarde en los Principia.

Los métodos para trazar tangentes inventados por Roberval y Fermat ya se habían señalado antes.

Descartes dio un tercer método. De todos los problemas que resolvió mediante su geometría, ninguno le produjo tanto placer como su modo de construir tangentes. Es profundo pero laborioso y, por esa razón, inferior al de Fermat.

Su solución se basa en el método de los Coeficientes Indeterminados, del cual ostenta el honor de la invención. Los coeficientes indeterminados también fueron empleados por él para resolver ecuaciones bicuadráticas.

Los ensayos de Descartes sobre dióptrica y geometría fueron duramente criticados por Fermat, quien escribió objeciones al primero y envió su propio tratado sobre «máximos y mínimos»

para demostrar que había omisiones en la geometría. Descartes emprendió entonces un ataque contra el método de tangentes de Fermat.

Descartes estaba equivocado en este ataque, pero aun así continuó la polémica con obstinación. También mantuvo una controversia con Roberval sobre la cicloide. A esta curva se la ha llamado la «Helena de los geómetras», debido a sus hermosas propiedades y a las polémicas que su descubrimiento ocasionó.

Su cuadratura por Roberval fue considerada generalmente como un logro brillante, pero Descartes comentó al respecto diciendo que cualquiera con un conocimiento moderado de la geometría podría haber hecho esto. Luego envió una breve demostración propia.

Ante la insinuación de Roberval de que le había ayudado el conocimiento de la solución, Descartes construyó la tangente a la curva y desafió a Roberval y a Fermat a hacer lo mismo. Fermat lo logró, pero Roberval nunca tuvo éxito en resolver este problema, que le había costado al genio de Descartes tan solo un grado moderado de atención.

Él estudió unas nuevas curvas, ahora llamadas "óvalos de Descartes",

las cuales él pretendía utilizar en la construcción de lentes convergentes, pero que no arrojaron resultados de valor práctico.

La aplicación del álgebra a la doctrina de las líneas curvas repercutió favorablemente en el álgebra. Como ciencia abstracta, Descartes la mejoró mediante el uso sistemático de los exponentes y por la completa interpretación y construcción de las cantidades negativas.

Descartes también estableció algunos teoremas sobre la teoría de ecuaciones. Es célebre su «regla de los signos» para determinar el número de raíces positivas y negativas; a saber, una ecuación puede tener tantas raíces $+$ como variaciones de signos haya, y tantas raíces $-$ como permanencias de signos.

Wallis acusó a Descartes de haberse valido, sin reconocimiento, de la teoría de ecuaciones de Harriot, en particular de su modo de generar ecuaciones; pero no parece haber buenos fundamentos para dicha acusación.

Wallis también afirmó que Descartes no advirtió que la regla de los signos anterior no es cierta siempre que la ecuación tiene raíces imaginarias; pero Descartes no dice que la ecuación siempre tenga, sino que puede tener tantas raíces. Es verdad que Descartes no considera el caso de las imaginarias directamente, pero más adelante en su Geometría aporta pruebas indiscutibles de ser capaz de manejar también este caso.

En mecánica, apenas puede decirse que Descartes haya avanzado más allá de Galileo. Este último había derrocado las ideas de

Aristóteles sobre este tema, y Descartes simplemente «se arrojó sobre el enemigo» que ya había sido «puesto en fuga».

Su enunciado de la primera y segunda leyes del movimiento supuso una mejora en la forma, pero su tercera ley es falsa en el fondo.

El movimiento de los cuerpos en su choque directo fue comprendido de manera imperfecta por Galileo, expuesto erróneamente por Descartes y formulado correctamente por primera vez por Wren, Wallis y Huygens.

Una de las discípulas más devotas de Descartes fue la docta princesa Isabel, hija de Federico V. Ella aplicó la nueva geometría analítica a la solución del «problema de Apolonio».

Su segunda discípula de la realeza fue la reina Cristina, hija de Gustavo Adolfo. Ella instó a Descartes a acudir a la corte sueca. Tras muchas dudas, aceptó la invitación en 1649. Murió en Estocolmo un año después. Su vida había sido un largo combate contra los prejuicios de los hombres.

Es de destacar notablemente que las matemáticas y la filosofía de Descartes fueran al principio menos apreciadas por sus compatriotas que por los extranjeros.

El carácter indiscreto de Descartes alienó a los grandes matemáticos franceses contemporáneos, Roberval, Fermat, Pascal. Ellos continuaron con sus propias investigaciones y, en ciertos puntos, se opusieron firmemente a Descartes.

Las universidades de Francia estaban bajo un estricto control eclesiástico y no hicieron nada para introducir sus matemáticas y su filosofía. Fue en las jóvenes universidades de

Holanda que el efecto de las enseñanzas cartesianas fue más inmediato y fuerte.

El único francés prominente que siguió inmediatamente los pasos del gran maestro fue De Beaune (1601–1652). Fue uno de los primeros en señalar que las propiedades de una curva pueden deducirse a partir de las propiedades de su tangente. Este método de investigación ha sido llamado el método inverso de las tangentes.

Contribuyó a la teoría de ecuaciones al considerar por primera vez los límites superior e inferior de las raíces de las ecuaciones numéricas.

En los Países Bajos, un gran número de distinguidos matemáticos se sintió inmediatamente cautivado por la geometría cartesiana. Entre ellos destacan, en primer lugar, van Schooten, John de

Witt, van Heuraet, Sluze y Hudde. Van Schooten (fallecido en 1660), profesor de matemáticas en Leiden, publicó una edición de la geometría de Descartes, junto con las notas al margen de

De Beaune. Su obra principal es sus Exercitationes Mathematicæ, en la cual aplica la geometría analítica a la solución de muchos problemas interesantes y difíciles.

El noble Johann de Witt, gran pensionario de Holanda, célebre como hombre de estado y por su trágico fin, fue un geómetra entusiasta. Ideó una forma nueva e ingeniosa de generar cónicas, que es esencialmente la misma que la de los haces proyectivos de rayos en la geometría sintética moderna. Trató el tema no de forma sintética, sino con la ayuda del análisis cartesiano.

René François de Sluze (1622–1685) y Johann Hudde (1633–1704) introdujeron algunas mejoras en los métodos de Descartes y Fermat para trazar tangentes, y en la teoría de máximos y mínimos. Con Hudde encontramos el uso por primera vez de tres variables en geometría analítica. Es el autor de una regla ingeniosa para hallar raíces iguales. La ilustramos con la ecuación $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12 = 0$ .

Tomando una progresión aritmética 3, 2, 1, 0, cuyo término más alto es igual al grado de la ecuación, y multiplicando cada término de la ecuación respectivamente por el término correspondiente de la progresión, obtenemos $3 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x = 0$ , o $3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ . Esta última ecuación es un grado menor que la original. Hallamos el m. c. d. de las dos ecuaciones. Este es $x - 2$ ; por lo tanto, 2 es una de las dos raíces iguales. Si no hubiera habido divisor común, entonces la ecuación original no habría tenido raíces iguales. Hudde dio una demostración de esta regla.24

Heinrich van Heuraet debe ser mencionado como uno de los primeros geómetras que se ocuparon con éxito de la rectificación de curvas.

Observó de manera general que los dos problemas de la cuadratura y de la rectificación son en realidad idénticos, y que el uno puede reducirse al otro.

Así, retrotrajo la rectificación de la hipérbola a la cuadratura de la hipérbola. La parábola semicúbica

$y^{3} = a x^{2}$ fue la primera curva cuya rectificación absoluta se logró. Esto parece haber sido llevado a cabo de manera independiente por Van Heuraet en Holanda y por William Neil (1637–1670) en Inglaterra.

Según Wallis, la prioridad le pertenece a Neil. Poco después, la cicloide fue rectificada por Wren y Fermat.

El príncipe de los filósofos en Holanda, y uno de los más grandes científicos del siglo diecisiete, fue Christian Huygens (1629–1695), natural de La Haya. Eminente como físico y astrónomo, así como matemático, fue un digno predecesor de Sir Isaac Newton.

Estudió en Leiden bajo la tutela del joven Van Schooten. La lectura de algunos de sus primeros teoremas llevó a Descartes a predecir su futura grandeza. En 1651 Huygens escribió un tratado en el cual señaló las falacias de Gregory St. Vincent (1584–1667)

sobre el tema de las cuadraturas. Él mismo dio una aproximación notablemente cercana y conveniente a la longitud de un arco circular.

En 1660 y 1663 fue a París y a Londres.
En 1666 fue nombrado por Luis XIV miembro de la Academia Francesa

Academia de Ciencias. Se le indujo a permanecer en París desde entonces hasta 1681, año en que regresó a su ciudad natal, en parte por motivos de salud y en parte a causa de la revocación del Edicto de Nantes.

La mayoría de sus profundos descubrimientos fueron realizados con la ayuda de la geometría antigua, aunque a veces utilizó la geometría de Descartes o la de Cavalieri y Fermat.

Así, al igual que su ilustre amigo, Sir Isaac Newton, siempre mostró predilección por la geometría griega. Newton y Huygens eran mentes afines y sentían una gran admiración el uno por el otro. Newton siempre habla de él como el «Summus Hugenius».

A las dos curvas (parábola cúbica y cicloide) rectificadas previamente añadió una tercera: la cisoide. Resolvió el problema de la catenaria, determinó la superficie del conoide parabólico e hiperbólico, y descubrió las propiedades de la curva logarítmica y de los sólidos generados por ella.

El De horologio oscillatorio de Huygens (París, 1673) es una obra que solo ocupa el segundo lugar después de los Principia de Newton y constituye históricamente una introducción necesaria a estos.13

El libro se abre con una descripción de los relojes de péndulo, de los cuales Huygens es el inventor. Luego sigue un tratamiento del movimiento acelerado de los cuerpos en caída libre, o deslizándose sobre planos inclinados, o sobre curvas dadas, culminando en el brillante descubrimiento de que la cicloide es la curva tautócrona.

A la teoría de curvas añadió la importante teoría de las "evolutas". Tras explicar que la tangente de la evoluta es normal a la involuta, aplicó la teoría a la cicloide y demostró mediante un razonamiento simple que la evoluta de esta curva es una cicloide igual. Después viene la discusión general completa sobre el centro de oscilación. Este tema había sido propuesto para su investigación por Mersenne y discutido por Descartes y

Roberval. En la suposición de Huygens de que el centro de gravedad común de un grupo de cuerpos que oscilan alrededor de un eje horizontal se eleva hasta su altura original, pero no más, se expresa por primera vez uno de los principios más hermosos de la dinámica, denominado más tarde principio de la conservación de la vis viva.32

Los trece teoremas al final de la obra se refieren a la teoría de la fuerza centrífuga en el movimiento circular.

Esta teoría ayudó a Newton a descubrir la ley de la gravitación.

Huygens escribió el primer tratado formal sobre la probabilidad.

Propuso la teoría ondulatoria de la luz y, con gran maestría, aplicó la geometría a su desarrollo. Esta teoría estuvo mucho tiempo olvidada, pero fue retomada y elaborada con éxito por Young y Fresnel un siglo después.

Huygens y su hermano mejoraron el telescopio al idear un método superior para desbastar y pulir lentes. Con instrumentos más eficientes, determinó la naturaleza de los apéndices de Saturno y resolvió otras cuestiones astronómicas.

Opuscula posthuma de Huygens apareció

Pasando ahora de Holanda a Inglaterra, encontramos allí a uno de los matemáticos más originales de su tiempo: John Wallis

(1616–1703). Se educó para la Iglesia en Cambridge y recibió las órdenes sagradas. Pero su genio se empleó principalmente en el estudio de las matemáticas.

En 1649 fue nombrado profesor saviliano de geometría en Oxford. Fue uno de los miembros fundadores de la Royal Society, que se fundó en 1663.

Wallis comprendió a fondo los métodos matemáticos tanto de Cavalieri como de Descartes. Sus Secciones cónicas son la obra más temprana en la que estas curvas ya no se consideran como secciones de un cono, sino como curvas de segundo grado, y se tratan analíticamente mediante el método cartesiano de coordenadas.

En esta obra, Wallis habla de Descartes en los términos más elogiosos, pero en su Álgebra, sin justificación, acusa a Descartes de haber plagiado a Harriot. Ya hemos mencionado en otra parte la solución de Wallis a los problemas de premio sobre la cicloide, propuestos por Pascal.

The Arithmetic of Infinites, publicado en 1655, es su obra más importante. Mediante la aplicación del análisis al Método de los Indivisibles, aumentó enormemente la potencia de este instrumento para efectuar cuadraturas.

Fue más allá que Kepler al hacer un uso más extenso de la "ley de la continuidad" y depositar en ella plena confianza. Mediante esta ley se vio llevado a considerar los denominadores de las fracciones como potencias con exponentes negativos.

Así, la progresión geométrica descendente $x^{3}$ , $x^{2}$ , $x^{1}$ , $x^{0}$ , si continúa, da $x^{- 1}$ , $x^{- 2}$ , $x^{- 3}$ , etc.; lo cual es lo mismo que $\frac{1 \Fstr}{x}$ , $\frac{1}{x^{2}}$ , $\frac{1}{x^{3}}$ .

Los exponentes de esta serie geométrica están en progresión aritmética continua, $3$ , $2$ , $1$ , $0$ , $- 1$ , $- 2$ , $- 3$ .

También utilizó exponentes fraccionarios que, al igual que los negativos, habían sido inventados mucho antes, pero no habían logrado generalizarse. El símbolo $\infty$ para el infinito se debe a él.

Cavalieri y los geómetras franceses habían determinado la fórmula para la cuadratura de la parábola de cualquier grado, $y = x^{m}$ , siendo $m$ un número entero positivo. Mediante la suma de las potencias de los términos de series aritméticas infinitas, se descubrió que la curva $y = x^{m}$ es al área del paralelogramo que tiene la misma base y altura como $1$ es a $m + 1$ .

Auxiliándose de la ley de continuidad, Wallis llegó al resultado de que esta fórmula es válida no solo cuando $m$ es positivo y entero, sino también cuando es fraccionario o negativo.

Así, en la parábola $y = \sqrt{p x}$ , $m = \frac{1}{2}$ ; de donde el área del segmento parabólico es a la del rectángulo circunscrito como $1 : 1 \frac{1}{2}$ , o como $2 : 3$ .

Nuevamente, supóngase que en $y = x^{m}$ , $m = - \frac{1}{2}$ ; entonces la curva es una especie de hipérbola referida a sus asíntotas, y el espacio hiperbólico entre la curva y sus asíntotas es al paralelogramo correspondiente como $1 : \frac{1}{2}$ .

Si $m = - 1$ , como en la hipérbola equilátera común $y = x^{- 1}$ o $x y = 1$ , entonces esta razón es $1 : - 1 + 1$ , o $1 : 0$ , lo que muestra que su espacio asintótico es infinito.

Pero en el caso en que $m$ es mayor que la unidad y negativo, Wallis no pudo interpretar correctamente sus resultados. Por ejemplo, si $m = - 3$ , entonces la razón se vuelve $1 : - 2$ , o como la unidad a un número negativo. ¿Cuál es el significado de esto?

Wallis razonó de este modo: si el denominador es solo cero, entonces el área ya es infinita; pero si es menor que cero, entonces el área debe ser más que infinita.

Varignon señaló más tarde que este espacio, supuesto exceder al infinito, es en realidad finito, pero tomado negativamente; esto es, medido en dirección contraria.31

El método de Wallis se extendía fácilmente a casos tales como $y = a x^{\frac{m}{n}} + b x^{\frac{p}{q}}$ realizando la cuadratura para cada término por separado, y sumando después los resultados.

La manera en que Wallis estudió la cuadratura del círculo y llegó a su expresión para el valor de $π$ es extraordinaria. Encontró que las áreas comprendidas entre los ejes, la ordenada correspondiente a $x$ , y las curvas representadas por las ecuaciones $y = (1 - x^{2})^{0}$ , $y = (1 - x^{2})^{1}$ , $y = (1 - x^{2})^{2}$ , $y = (1 - x^{2})^{3}$ , etc., se expresan en funciones de los rectángulos circunscritos que tienen a $x$ e $y$ por lados, mediante las cantidades que forman la serie

$& x, & x - \frac{1}{3} x^{3}, & x - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5}, & x - \frac{3}{3} x^{3} + \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{7} x^{7}, etc.$

Cuando $x = 1$ , estos valores se convierten respectivamente en $1$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{48}{105}$ , etc. Ahora bien, dado que la ordenada del círculo es $y = (1 - x^{2})^{\frac{1}{2}}$ , cuyo exponente es $\frac{1}{2}$ o el valor medio entre $0$ y $1$ , la cuestión de esta cuadratura se reducía a lo siguiente: Si $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , etc., operados según cierta ley, dan $1$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{48}{105}$ , ¿qué dará $\frac{1}{2}$ , al ser operado por la misma ley? Intentó resolver esto mediante la interpolación, un método al que él dio gran relevancia por primera vez, y llegó, mediante un análisis altamente complicado y difícil, a la siguiente expresión tan notable: $\frac{π}{2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 8 \dots}{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 9 \dots}$

No tuvo éxito en realizar la interpolación misma, porque no empleó exponentes literales o generales, y no pudo concebir una serie con más de un término y menos de dos, que era lo que le parecía que debía tener la serie interpolada.

La consideración de esta dificultad condujo a Newton al descubrimiento del Teorema del Binomio. Este es el mejor lugar para hablar de dicho descubrimiento.

Newton virtualmente supuso que las mismas condiciones en las que se basan las expresiones generales para las áreas dadas anteriormente deben cumplirse también para la expresión que ha de ser interpolada.

En primer lugar, observó que en cada expresión el primer término es $x$ , que $x$ aumenta en potencias impares, que los signos alternan $+$ y $-$ , y que los segundos términos $\frac{0}{3} x^{3}$ , $\frac{1}{3} x^{3}$ , $\frac{2}{3} x^{3}$ , $\frac{3}{3} x^{3}$ , están en progresión aritmética.

De ahí que los dos primeros términos de la serie interpolada deban ser $x - \frac{\frac{1}{2} x^{3}}{3}$ .

Consideró a continuación que los denominadores $1$ , $3$ , $5$ , $7$ , etc., están en progresión aritmética, y que los coeficientes de los numeradores en cada expresión son los dígitos de alguna potencia del número $11$ ; a saber, para la primera expresión, $11^{0}$ o $1$ ; para la segunda, $11^{1}$ o $1$ , $1$ ; para la tercera, $11^{2}$ o $1$ , $2$ , $1$ ; para la cuarta, $11^{3}$ o $1$ , $3$ , $3$ , $1$ ; etc.

Luego descubrió que, dado el segundo dígito (llamémoslo $m$ ), los dígitos restantes se pueden hallar mediante la multiplicación continua de los términos de la serie $\frac{m - 0}{1} \cdot \frac{m - 1}{2} \cdot \frac{m - 2}{3} \cdot \frac{m - 3}{4} \cdot$ etc.

Así, si $m = 4$ , entonces $4 \cdot \frac{m - 1}{2}$ da $6$ ; $6 \cdot \frac{m - 2}{3}$ da $4$ ; $4 \cdot \frac{m - 3}{4}$ da $1$ .

Aplicando esta regla a la serie requerida, puesto que el segundo término es $\frac{\frac{1}{2} x^{3} \Fstr}{3}$ , tenemos $m = \frac{1}{2}$ , y obtenemos entonces para los coeficientes sucesivos en los numeradores, respectivamente, $- \frac{1}{8} \Fstr$ , $+ \frac{1}{16}$ , $- \frac{5}{128}$ , etc.; de ahí que el área requerida para el segmento circular sea

$x - \frac{\frac{1}{2} x^{3} \Fstr}{3} - \frac{\frac{1}{8} x^{5}}{5} - \frac{\frac{1}{16} x^{7}}{7} -$ etc.

Así, él halló que la expresión interpolada era una serie infinita, en lugar de una que tuviera más de un término y menos de dos, como Wallis creía que debía ser.

Esta interpolación sugirió a Newton un modo de desarrollar $(1 - x^{2})^{\frac{1}{2}}$ , o, más en general, $(1 - x^{2})^{m}$ , en una serie.

Observó que solo tenía que omitir de la expresión recién hallada los denominadores $1$ , $3$ , $5$ , $7$ , etc., y disminuir en una unidad cada potencia de $x$ , y obtenía la expresión deseada.

En una carta a Oldenburg (13 de junio de 1676), Newton enuncia el teorema de la siguiente manera:

La extracción de raíces se abrevia mucho mediante el teorema

$(P + P Q)^{\frac{m}{n}} = P^{\frac{m}{n}} + \frac{m}{n} A Q + \frac{m - n}{2 n} B Q + \frac{m - 2 n}{3 n} C Q + etc.,$ donde $A$ significa el primer término, $P^{\frac{m}{n}}$ , $B$ el segundo término, $C$ el tercer término, etc.

Lo verificó mediante multiplicación real, pero no dio ninguna demostración regular de ello. Lo dio para cualquier exponente que fuera, pero no hizo distinción entre el caso en que el exponente es positivo y entero, y los demás.

Conviene mencionar aquí que los orígenes más rudimentarios del teorema del binomio se encuentran ya en una época muy temprana. Los hindúes y

Los árabes utilizaron las expansiones de $(a + b)^{2}$ y $(a + b)^{3}$ para la extracción de raíces; Vieta conocía la expansión de $(a + b)^{4}$ ; pero estos eran los resultados de una simple multiplicación sin el descubrimiento de ninguna ley. Los coeficientes binomiales para exponentes enteros positivos eran conocidos por algunos matemáticos árabes y europeos. Pascal derivó los coeficientes a partir del método de lo que se llama el "triángulo aritmético". Lucas de Burgo,

Stifel, Stevinus, Briggs y otros poseían todos algo a partir de lo cual se podría pensar que se habría obtenido el teorema del binomio con un poco de atención, "si no supiéramos que relaciones tan sencillas son difíciles de descubrir".

Aunque Wallis había obtenido una expresión completamente nueva para $π$ , no estaba satisfecho con ella; pues en lugar de un número finito de términos que dieran un valor absoluto, contenía meramente un número infinito, que se acercaba cada vez más a dicho valor.

Por lo tanto, indujo a su amigo, lord Brouncker (1620?-1684), el primer presidente de la Royal Society, a investigar este tema. Por supuesto, lord Brouncker no encontró lo que buscaban, pero obtuvo la siguiente hermosa igualdad:–-

$π = \frac{4}{1 + \frac{1 \Fstr}{2 + \frac{9 \Fstr}{2 + \frac{25 \Fstr}{2 + \frac{49 \Fstr}{2 + etc. \Fstr}}}}}$

Las fracciones continuas, tanto ascendentes como descendentes, ya parecen haber sido conocidas por los griegos y los hindúes, aunque no con nuestra notación actual. La expresión de Brouncker dio origen a la teoría de las fracciones continuas.

El método de cuadraturas de Wallis fue estudiado diligentemente por sus discípulos. Lord Brouncker obtuvo la primera serie infinita para el área de una hipérbola equilátera entre sus asíntotas. Nicolaus Mercator, de Holstein, quien se había establecido en Inglaterra, dio una serie similar en su Logarithmotechnia (Londres, 1668).

Comenzó con la gran propiedad de la hipérbola equilátera, descubierta en 1647 por Gregory St. Vincent, que relacionaba el espacio hiperbólico entre las asíntotas con los logaritmos naturales y llevó a que estos logaritmos fueran llamados hiperbólicos. Mediante ella, Mercator llegó a la serie logarítmica, que Wallis había intentado obtener sin éxito. Mostró cómo la construcción de tablas logarítmicas podía reducirse a la cuadratura de espacios hiperbólicos.

Siguiendo algunas sugerencias de Wallis, William Neil logró rectificar la parábola cúbica, y Wren, cualquier arco cicloidal.

Un destacado matemático inglés y contemporáneo de Wallis fue Isaac Barrow (1630-1677). Fue profesor de matemáticas en Londres y, posteriormente, en Cambridge, pero en 1669 renunció a su cátedra en favor de su ilustre discípulo, Isaac Newton, y abandonó el estudio de las matemáticas por el de la teología.

Como matemático, es célebre sobre todo por su método de las tangentes. Simplificó el método de Fermat al introducir dos infinitesimales en lugar de uno, y se aproximó al razonamiento seguido después por Newton en su doctrina de las Razones Últimas.

Él consideró el triángulo rectángulo infinitesimal $A B B^{'}$ que tenía

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por lados la diferencia entre dos ordenadas sucesivas, la distancia entre ellas y la porción de curva interceptada entre ambas. Este triángulo es semejante a $B P T$ , formado por la ordenada, la tangente y la subtangente.

De ahí que, si conocemos la razón de $B^{'} A$ a $B A$ , entonces conocemos la razón de la ordenada y la subtangente, y la tangente puede construirse inmediatamente. Para cualquier curva, digamos $y^{2} = p x$ , la razón de $B^{'} A$ a $B A$ se determina a partir de su ecuación de la siguiente manera:

Si $x$ recibe un incremento infinitesimal $P P^{'} = e$ , entonces $y$ recibe un incremento $B^{'} A = a$ , y la ecuación para la ordenada $B^{'} P^{'}$ se convierte en $y^{2} + 2 a y + a^{2} = p x + p e$ . Puesto que $y^{2} = p x$ , obtenemos $2 a y + a^{2} = p e$ ; despreciando las potencias superiores de los infinitesimales, tenemos $2 a y = p e$ , lo que da $a : e = p : 2 y = p : 2 \sqrt{p x} .$

Pero $a : e = la ordenada : la subtangente;$ de donde $p : 2 \sqrt{p x} = \sqrt{p x} : subtangente,$ lo que da $2 x$ para el valor de la subtangente. Este método solo se diferencia del del cálculo diferencial en la notación.31