Witte (1557), que es el primer tratado inglés sobre álgebra. Seleccionó este símbolo porque no podía haber dos cosas más iguales que dos líneas paralelas . El signo para la división fue utilizado por primera vez por Johann Heinrich Rahn, un suizo, en 1659, y fue introducido en Inglaterra por John Pell en 1668.
Michael Stifel (1486?–1567), el mayor algebracista alemán del siglo XVI, nació en Esslingen y murió en Jena. Se educó en el monasterio de su localidad natal y más tarde se convirtió en ministro protestante. El estudio del significado de los números místicos en el Apocalipsis y en el libro de Daniel lo atrajo hacia las matemáticas. Estudió obras alemanas e italianas, y publicó en 1544, en latín, un libro titulado Arithmetica integra. Melanchthon le escribió un prólogo. Sus tres partes tratan respectivamente de los números racionales, los números irracionales y el álgebra. Stifel ofrece una tabla que contiene los valores numéricos de los coeficientes binomiales para potencias inferiores a la 18. Observa una ventaja en hacer que una progresión geométrica corresponda a una progresión aritmética, y llega a la designación de las potencias enteras mediante números. Aquí se encuentran los gérmenes de la teoría de los exponentes. En 1545 Stifel publicó una aritmética en alemán. Su edición de la Coss de Rudolff contiene reglas para resolver ecuaciones cúbicas, derivadas de los escritos de Cardano.
Observamos más arriba que Vieta descartó las raíces negativas de las ecuaciones. De hecho, encontramos pocos algebristas antes y durante el Renacimiento que comprendieran el significado incluso de las cantidades negativas. Fibonacci rara vez las utiliza. Pacioli enuncia la regla de que «menos por menos da más», pero en realidad la aplica únicamente al desarrollo del producto de ; las cantidades puramente negativas no aparecen en su obra.
El gran «cosista» (algebrista) alemán, Michael Stifel, ya habla en 1544 de números que son «absurdos» o «ficticios por debajo de cero», y que surgen cuando «números reales por encima de cero» se restan de cero.
Cardano, por fin, habla de un «menos puro»; «pero estas ideas —dice Hankel— se mantuvieron escasas, y hasta principios del siglo XVII los matemáticos trataron exclusivamente con cantidades positivas absolutas».
El primer algebrista que ocasionalmente coloca una cantidad puramente negativa por sí sola en un lado de una ecuación es Harriot en Inglaterra.
En lo que respecta al reconocimiento de las raíces negativas, Cardano y Bombelli estaban muy por delante de todos los escritores del Renacimiento, incluido Vieta. Sin embargo, incluso ellos mencionaron estas llamadas raíces falsas o ficticias solo de pasada, y sin comprender su verdadero significado e importancia. Sobre este tema, Cardano y Bombelli habían avanzado hasta aproximadamente el mismo punto en que lo había hecho el hindú Bhaskara, quien veía las raíces negativas, pero no las aprobaba.
La generalización del concepto de cantidad para incluir lo negativo fue un proceso sumamente lento y difícil en el desarrollo del álgebra.
Examinaremos ahora la historia de la geometría durante el
Renacimiento. A diferencia del álgebra, apenas hizo progreso alguno. La mayor ganancia fue un conocimiento más íntimo de la geometría griega. No se logró ningún progreso esencial antes de la época de Descartes. Regiomontano, Xylander de Augsburgo, Tartaglia,