El conflicto entre la geometría y el análisis que surgió hacia finales del siglo pasado y principios del presente ha llegado ahora a su fin.
Ninguno de los dos bandos ha salido victorioso. Se descubre que la mayor fuerza no reside en la supresión de ninguno, sino en la rivalidad amistosa entre ambos y en la influencia estimulante del uno sobre el otro.
Lagrange se enorgullecía de que en su Mécanique Analytique había logrado evitar toda figura; pero desde su época la mecánica ha recibido mucha ayuda de la geometría.
La geometría sintética moderna fue creada por varios investigadores casi al mismo tiempo. Parecía ser el fruto de un deseo de métodos generales que sirvieran como hilos de Ariadna para guiar al estudiante a través del laberinto de teoremas, corolarios, porismas y problemas. La geometría sintética fue cultivada por primera vez por Monge, Carnot y Poncelet en Francia;
luego dio ricos frutos de la mano de Möbius y Steiner en
Alemania y Suiza, y fue finalmente desarrollada a una perfección aún mayor por Chasles en Francia, von Staudt en Alemania y Cremona en Italia.
Augustus Ferdinand Möbius (1790–1868) was a native of
Schulpforta, en Prusia. Estudió en Gotinga con Gauss, así como en Leipzig y Halle. En Leipzig se convirtió en, en
1815, privat-docent, al año siguiente profesor extraordinario de astronomía, y en 1844 profesor ordinario. Este puesto lo ocupó hasta su muerte.
Sus investigaciones más importantes versan sobre la geometría. Aparecieron en el Crelle's Journal y en su célebre obra titulada Der Barycentrische Calcul, Leipzig, 1827.
Como indica el nombre, este cálculo se basa en las propiedades del centro de gravedad.58 Así, el hecho de que el punto sea el centro de gravedad de los pesos , , , colocados en los puntos , , , respectivamente, se expresa mediante la ecuación
Su cálculo es el comienzo de un álgebra cuaternaria y contiene los gérmenes del maravilloso sistema de Grassmann.
Al designar segmentos de líneas que encontramos en todo este trabajo por primera vez la consistencia en la distinción de positivo y negativo por el orden de las letras A B , B A . De manera similar para triángulos y tetraedros. La observación de que siempre es posible dar a tres puntos A , B , C tales pesos α , β , γ que cualquier cuarto punto M en su plano se convierta en un centro de masas, llevó a Möbius a un nuevo sistema de coordenadas en el cual la posición de un punto se indicaba mediante una ecuación, y la de una línea mediante coordenadas.