Newton a Euler

De estos, el primero es evidentemente el menor, y el último el mayor. Supóngase ahora que la ordenada b c se desplaza hasta el lugar de B C , de modo que el punto c coincida exactamente con

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el punto $C$; $CK$, y por consiguiente la curva $Cc$, coincide con la tangente $CH$, $Ec$ es absolutamente igual a $ET$, y el triángulo evanescente rectilíneo-curuilineo $CEc$ es, en su última forma, semejante al triángulo $CET$; y sus lados evanescentes $CE$, $Ec$, $Cc$, serán proporcionales a $CE$, $ET$, y $CT$, los lados del triángulo $CET$.

De aquí se sigue que las fluxiones de las líneas $AB$, $BC$, $AC$, al estar en la última razón de sus incrementos evanescentes, son proporcionales a los lados del triángulo $CET$, o, lo que es lo mismo, del triángulo $VBC$ semejante a aquel.

Mientras los puntos $C$ y $c$ disten el uno del otro por un intervalo, por pequeño que sea, la línea $CK$ se apartará en un pequeño ángulo de la tangente $CH$. Pero cuando $CK$ coincida con $CH$, y las líneas $CE$, $Ec$, $cC$ alcancen sus razones últimas, entonces los puntos $C$ y $c$ coincidirán exactamente y serán uno y el mismo.

Newton añade entonces que "en matemáticas no deben despreciarse los errores más mínimos".

Esto es claramente un rechazo de los postulados de Leibniz. La doctrina de las cantidades infinitamente pequeñas es aquí repudiada de una manera que haría suponer que Newton nunca la había sostenido él mismo.

Así resulta que la doctrina de Newton era diferente en distintos períodos.

Si bien, en el razonamiento anterior, se evita con seguridad la Caribdis de los infinitesimales, los peligros de una Escila nos acechan cara a cara. Se nos exige creer que un punto puede considerarse un triángulo, o que un triángulo puede inscribirse en un punto; es más, que tres triángulos disímiles llegan a ser similares e iguales cuando han alcanzado su forma última en uno y el mismo punto.

En la introducción a la Cuadratura de las curvas (Quadrature of Curves), la fluxión de $x^n$ se determina de la siguiente manera:–-

Al mismo tiempo que $x$, al fluir, se convierte en $x+0$, la potencia $x^n$ se convierte en $(x+0{)}^n$, es decir, por el método de las series infinitas, en $x^n+n0x^{n-1}+\frac{n^2-n}{2}{0}^2{x}^{n-2}+\text{etc.},$ y los incrementos $0\text{ y }n0x^{n-1}+\frac{n^2-n}{2}{0}^2{x}^{n-2}+\text{etc.},$ guardan entre sí la misma proporción que $1\text{ y }n{x}^{n-1}+\frac{n^2-n}{2}0x^{n-2}+\text{etc.}$

"Que ahora los incrementos se anulen, y su última proporción será $1$ a $n{x}^{n-1}$: de aquí que la fluxión de la cantidad $x$ es a la fluxión de la cantidad $x^n$ como $1:n{x}^{n-1}$.

"The fluxion of lines, straight or curved, in all cases whatever, as also the fluxions of superficies, angles, and other quantities, can be obtained in the same manner by the method of prime and ultimate ratios. But to establish in this way the analysis of infinite quantities, and to investigate prime and ultimate ratios of finite quantities, nascent or evanescent, is in harmony with the geometry of the ancients; and I have endeavoured to show that, in the method of fluxions, it is not necessary to introduce into geometry infinitely small quantities."