Estos avances en álgebra los aplicó Hesse al estudio analítico de las curvas de tercer orden. Mediante sustituciones lineales, redujo una forma de tercer grado en tres variables a una de tan solo cuatro términos, y fue conducido a un determinante importante que involucra el segundo coeficiente diferencial de una forma de tercer grado, llamado el «hessiano».
El "hessiano" desempeña un papel protagonista en la teoría de los invariantes, un tema estudiado por primera vez por Cayley. Hesse demostró que su determinante proporciona para cada curva otra curva, de tal modo que los puntos dobles de la primera son puntos de la segunda, o "hessiano".
De manera similar para las superficies (Crelle, 1844).
Muchos de los teoremas más importantes sobre curvas de tercer orden se deben a Hesse. Determinó la curva de orden 14, que pasa por los 56 puntos de contacto de las 28 bitangentes de una curva de cuarto orden.
Su gran memoria sobre este tema (Crelle, 1855) se publicó al mismo tiempo que un artículo de Steiner que trataba el mismo asunto.
Los ingresos de Hesse en Königsberg no habían estado a la altura de su creciente reputación. Apenas podía mantenerse a sí mismo y a su familia. En 1855 aceptó un puesto más lucrativo en Halle, y en 1868 uno en Heidelberg.67
Aquí permaneció hasta 1868, cuando aceptó un puesto en una escuela técnica en Múnich.
En Heidelberg revisó y amplió sus investigaciones anteriores, y publicó en 1861 sus Vorlesungen über die Analytische Geometrie des Raumes, insbesondere über Flächen 2. Ordnung. Obras más elementales no tardaron en seguir.
Estando en Heidelberg elaboró un principio, su «Uebertragungsprincip» (principio de transferencia). De acuerdo con este, a cada punto en un plano le corresponde un par de puntos en una línea, y la geometría proyectiva del plano puede reducirse a la geometría de los puntos en una línea.
Las investigaciones de Plücker y Hesse fueron continuadas en Inglaterra por Cayley, Salmon y Sylvester.
Puede premisas aquí que entre los primeros escritores sobre geometría analítica en Inglaterra se encontraban James Booth (1806–1878), cuyos principales resultados se plasman en su obra Treatise on Some New Geometrical Methods; y James MacCullagh (1809–1846), que fue profesor de filosofía natural en Dublín y realizó algunos descubrimientos valiosos sobre la teoría de las cuádricas.
La influencia de estos hombres en el progreso de la geometría fue insignificante, ya que el intercambio de resultados científicos entre diferentes naciones no era en aquel entonces tan completo como cabría haber deseado. Como mayor ilustración de esto, mencionamos que Chasles, en Francia, desarrolló temas de los que Steiner ya se había ocupado previamente en
Alemania, y Steiner publicaron investigaciones que habían sido dadas por Cayley, Sylvester y Salmon casi cinco años antes. Cayley y Salmon en 1849 determinaron las líneas rectas en una superficie cúbica y estudiaron sus principales propiedades, mientras que Sylvester en 1851 descubrió el pentaedro de dicha superficie.