Mediante este algoritmo encontró por álgebra muchos teoremas geométricos que expresan principalmente propiedades invariantes, por ejemplo, los teoremas sobre la relación anarmónica.
Möbius escribió también sobre estática y astronomía. Generalizó la trigonometría esférica permitiendo que los lados o ángulos de los triángulos excedieran los .
Jacob Steiner (1796–1863), «el mayor geómetra desde los tiempos de Euclides», nació en Utzendorf, en el cantón de Berna. No aprendió a escribir hasta los catorce años. A los dieciocho se convirtió en discípulo de Pestalozzi. Más tarde estudió en Heidelberg y Berlín.
Cuando Crelle fundó, en 1826, la célebre revista matemática que lleva su nombre, Steiner y Abel se convirtieron en colaboradores principales. En 1832 Steiner publicó su Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander, «en la cual se descubre el organismo mediante el cual los más diversos fenómenos (Erscheinungen) del mundo del espacio están unidos entre sí».
Por influencia de Jacobi y otros, se fundó para él la cátedra de geometría en Berlín en 1834. Ocupó este puesto hasta su muerte, que se produjo tras años de mala salud. En sus Systematische Entwickelungen se introduce por primera vez el principio de dualidad desde el principio. Este libro y el de von Staudt sientan las bases sobre las que descansa la geometría sintética en su forma actual.
No solo completó razonablemente la teoría de las curvas y superficies de segundo grado, sino que hizo grandes avances en la teoría de las de grados superiores. En sus manos, la geometría sintética hizo progresos prodigiosos. Los nuevos descubrimientos se sucedieron con tanta rapidez que a menudo no se tomaba el tiempo de registrar sus demostraciones. En un artículo en el Journal de Crelle sobre Allgemeine Eigenschaften Algebraischer
Curven da sin demostración teoremas que Hesse declaró que eran «como los teoremas de Fermat, enigmas para las generaciones presentes y futuras». Desde entonces, otros han aportado demostraciones analíticas de algunos de ellos, pero Cremona terminó por demostrarlos todos mediante un método sintético. Steiner descubrió sintéticamente las dos propiedades más destacadas de una superficie de tercer orden; a saber, que contiene veintisiete líneas rectas y un pentaedro que tiene los puntos dobles como vértices y las líneas de la hessiana de la superficie dada como aristas.55 La primera propiedad fue descubierta analíticamente un poco antes en Inglaterra por Cayley y Salmon, y la segunda por Sylvester. El trabajo de Steiner sobre este tema fue el punto de partida de importantes investigaciones de H. Schröter,
F. August, L. Cremona y R. Sturm.
Steiner hizo investigaciones por métodos sintéticos sobre máximos y mínimos, y llegó a la solución de problemas que en aquel tiempo sobrepasaban por completo el poder analítico del cálculo de variaciones.
Generalizó el hexagrammum mysticum y también
El problema de Malfatti.59 Malfatti, en 1803, propuso el problema de recortar tres agujeros cilíndricos de un prisma triangular de tal manera que los cilindros y el prisma tengan la misma altura y que el volumen de los cilindros sea máximo. Este problema se redujo a otro, conocido ahora generalmente como el problema de Malfatti: inscribir tres círculos en un triángulo de modo que cada círculo sea tangente a dos lados del triángulo y a los otros dos