Vieta, las Misceláneas de Schooten, las Conferencias de Barrow y las obras de Wallis. Se deleitaba particularmente con las de Wallis
Arithmetic of Infinites, un tratado cargado de ricas y variadas sugerencias.
Newton tuvo la buena fortuna de contar como maestro y entrañable amigo con el célebre Dr. Barrow, quien había sido elegido profesor de griego en 1660 y nombrado profesor lucasiano de matemáticas en 1663.
Las matemáticas de Barrow y de Wallis fueron los puntos de partida desde los cuales Newton, dotado de un poder superior al de sus maestros, avanzó hacia campos más amplios.
Wallis había efectuado la cuadratura de curvas cuyas ordenadas se expresan mediante cualquier potencia entera y positiva de .
Hemos visto cómo Wallis intentó, sin éxito, interpolar entre las áreas así calculadas las áreas de otras curvas, como la del círculo; cómo Newton acometió el problema, efectuó la interpolación y descubrió el Teorema del Binomio, el cual proporcionó un acceso mucho más fácil y directo a la cuadratura de curvas que el método de interpolación; pues, aunque la expresión binomial de la ordenada se eleve a una potencia fraccionaria o negativa, el binomio podía desarrollarse de inmediato en una serie, y la cuadratura de cada término independiente de dicha serie podía efectuarse mediante el método de Wallis.
Newton introdujo el sistema de índices literales.
El estudio de las cuadraturas llevado a cabo por Newton pronto lo condujo a otra invención profundísima. Él mismo afirma que en 1665 y 1666 concibió el método de las fluxiones y las aplicó a la cuadratura de curvas. Newton no comunicó la invención a ninguno de sus amigos hasta 1669, cuando puso en manos de Barrow un tratado titulado De Analysi per Æquationes Numero Terminorum Infinitas, el cual fue enviado por Barrow a Collins, quien lo admiró enormemente. En este tratado, el principio de las fluxiones, aunque señalado con claridad, solo está desarrollado y explicado parcialmente. Suponiendo que la abscisa aumentaba uniformemente en proporción al tiempo, consideraba que el área de una curva era una cantidad naciente que aumentaba por fluxión continua en proporción a la longitud de la ordenada. La expresión obtenida para la fluxión la desarrolló en una serie finita o infinita de términos monomios, a los cuales era aplicable la regla de Wallis. Barrow instó a Newton a publicar este tratado; «pero la modestia del autor, cuyo exceso, si no censurable, fue desde luego muy desafortunado en este caso, impidió que accediera»[26]. Si este tratado se hubiera publicado entonces, en lugar de cuarenta y dos años más tarde, probablemente no habría habido motivo para esa larga y lamentable controversia entre Newton y Leibniz.
Durante mucho tiempo el método de Newton permaneció desconocido, salvo para sus amigos y sus correspondientes. En una carta dirigida a Collins, con fecha del 10 de diciembre de 1672, Newton expone el hecho de su invención con un ejemplo, y luego dice: > "Este es un caso particular, o más bien un corolario, de un método general que se extiende, sin cálculo engorroso alguno, no solo al trazado de tangentes a cualquier línea curva, ya sea geométrica o mecánica, o que de algún modo guarde relación con líneas rectas u otras curvas, sino también a la resolución de otros tipos más abstrusos de problemas sobre la curvatura, áreas, longitudes, centros de gravedad de las curvas, etc.; ni tampoco está (como el método de Hudden de Maximis et Minimis) limitado a ecuaciones que estén libres de cantidades