Una cierta función que involucra un producto doblemente infinito ha sido denominada por Weierstrass la función sigma, y constituye la base de su hermosa teoría de las funciones elípticas. La primera exposición sistemática de la teoría de las funciones elípticas de Weierstrass fue publicada en 1886 por G. H. Halphen en su Théorie des fonctions elliptiques et des leurs applications. A. G. Greenhill también ha proporcionado aplicaciones de estas funciones. Felix Klein ha realizado generalizaciones análogas a las de Weierstrass sobre las funciones elípticas aplicadas a las funciones hiperelípticas.
Las obras estándar sobre funciones elípticas han sido publicadas por
Briot y Bouquet (1859), por Königsberger, Cayley, Heinrich
Durège de Praga (1821-1893) y otros.
El trabajo de Jacobi sobre las funciones abelianas y theta fue ampliado enormemente por Adolph Göpel (1812–1847), profesor en un gimnasio cerca de Potsdam, y Johann Georg Rosenhain, de Königsberg
(1816–1887). Göpel en su obra en latín Theoriæ transcendentium primi ordinis adumbratio levis (Crelle, 35, 1847) y Rosenhain en varias memorias establecieron de forma independiente, por analogía con las funciones theta simples, las funciones de dos variables, llamadas funciones theta dobles, y desarrollaron en relación con ellas la teoría de las funciones abelianas de dos variables.
Las relaciones theta establecidas por Göpel y Rosenhain no recibieron desarrollo alguno durante treinta años, a pesar de que las series theta dobles adquirieron una importancia creciente en problemas analíticos, geométricos y mecánicos, y de que Hermite y Königsberger habían considerado el tema de la transformación.
Finalmente, las investigaciones de C. W. Borchardt, de Berlín (1817–1880), relativas a la representación de la superficie de Kummer mediante la relación bicuadrática de Göpel entre cuatro funciones theta de dos variables, y las investigaciones de H. H. Weber, de Marburgo, F. Prym, de Wurzburgo, Adolf Krazer y
Martin Krause, de Dresde, condujo a puntos de vista más amplios. Las investigaciones sobre las funciones theta dobles, realizadas por Cayley, fueron extendidas a las funciones theta cuádruples por Thomas Craig de los Johns
Universidad Hopkins.
Partiendo de las integrales de la forma más general y considerando las funciones inversas correspondientes a estas integrales (las funciones abelianas de variables), Riemann definió las funciones theta de variables como la suma de una serie infinitamente de exponenciales, cuyo término general depende de variables.
Riemann demuestra que las funciones abelianas están conectadas algebraicamente con las funciones theta de los argumentos apropiados, y presenta la teoría de la forma más amplia.56 Cimenta la teoría de las funciones theta múltiples sobre los principios generales de la teoría de funciones de una variable compleja.