"Ahora bien, por suposición, , lo cual por lo tanto, siendo expuesto y divididos los términos restantes por 0, quedará
3x^2\dot{x} &- 2ax\dot{x} + ay\dot{x} + ax\dot{y} - 3y^2\dot{y} + 3x\dot{x}\dot{x}0 - a\dot{x}\dot{x}0 + a\dot{x}\dot{y}0 \ &- 3y\dot{y}\dot{y}0 + \dot{x}^3 00 - \dot{y}^300 = 0.
Pero como se supone que el cero es infinitamente pequeño, para poder representar los momentos de las cantidades, los términos que se multiplican por él no serán nada respecto al resto (termini in eam ducti pro nihilo possunt haberi cum aliis collati); por tanto, los desecho, y queda como antes en el Ejemplo I." Newton aquí utiliza infinitesimales.
Mucho mayores que en el primer problema fueron las dificultades encontradas en la solución del segundo problema, que conlleva operaciones inversas que han puesto a prueba la habilidad de los mejores analistas desde su época.
Newton da primero una solución particular al segundo problema en la que recurre a una regla para la cual no ha dado ninguna demostración.
En la solución general de su segundo problema, Newton supuso la homogeneidad respecto a las fluxiones y luego consideró tres casos: (1) cuando la ecuación contiene dos fluxiones de cantidades y una sola de las fluentes; (2) cuando la ecuación involucra tanto a las fluentes como a ambas fluxiones; (3) cuando la ecuación contiene las fluentes y las fluxiones de tres o más cantidades. El primer caso es el más sencillo, ya que requiere simplemente la integración de , a la cual es aplicable su «solución especial». El segundo caso no exigía nada menos que la solución general de una ecuación diferencial de primer orden. Quienes sepan qué esfuerzos se necesitaron después para la exploración completa de este campo en el análisis, no despreciarán el trabajo de Newton aun cuando recurriera a soluciones en forma de series infinitas.
El tercer caso de Newton entra ahora en la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Tomó la ecuación y logró hallar una integral particular de la misma.
El resto del tratado está dedicado a la determinación de máximos y mínimos, el radio de curvatura de las curvas y otras aplicaciones geométricas de su cálculo de fluxiones. Todo esto fue realizado antes del año 1672.
Hay que observar que en el Método de las Fluxiones (así como en su De Analysi y todos sus artículos anteriores) el método empleado por Newton es estrictamente infinitesimal y, en esencia, similar al de Leibniz. Así, la concepción original del cálculo en Inglaterra, al igual que en el continente, se basó en los infinitesimales. Los principios fundamentales del cálculo fluxional se dieron a conocer por primera vez al mundo en los Principia; pero su notación peculiar no apareció hasta que fue publicada en el segundo volumen del Álgebra de Wallis en 1693. La exposición dada en el Álgebra fue sustancialmente una contribución de Newton; se basa en infinitesimales. En la primera edición de los Principia (1687) la descripción de las fluxiones también se fundamenta en infinitesimales, pero en la segunda (1713) el fundamento está algo alterado. En el Libro II, Lema II, de la primera edición leemos: > "Cave tamen intellexeris particulas finitas. Momenta quam primum finitæ sunt magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus perpetuo eorum incremento vel