concepción a esa ecuación diferencial lineal de segundo orden que satisface la serie hipergeométrica. Esta ecuación fue estudiada también por Gauss y Kummer. Su teoría general, cuando no se impone ninguna restricción al valor de la variable, ha sido considerada por J. Tannery, de París, quien empleó el método de las ecuaciones diferenciales lineales de Fuchs y halló los veinticuatrointegrales de Kummer de esta ecuación. Este estudio ha sido continuado por Édouard Goursat, de París.
Un libro de texto estándar sobre Ecuaciones Diferenciales, que incluye material original sobre factores integrantes, soluciones singulares y, especialmente, sobre métodos simbólicos, fue preparado en 1859 por George Boole (1815–1864), en una época profesor en Queen's
University, Cork, Ireland. He was a native of Lincoln, and a self-educated mathematician of great power. His treatise on Finite Differences (1860) and his Laws of Thought (1854) are works of high merit.
La fertilidad de las concepciones de Cauchy y Riemann respecto a las ecuaciones diferenciales queda atestiguada por las investigaciones a las que han dado lugar por parte de Lazarus Fuchs, de Berlín (nacido en 1835), Felix Klein, de Gotinga (nacido en 1849), Henri Poincaré, de París (nacido en 1854), y otros.
El estudio de las ecuaciones diferenciales lineales entró en un nuevo período con la publicación de las memorias de Fuchs de 1866 y 1868.
Antes de esto, las ecuaciones lineales con coeficientes constantes eran casi las únicas para las cuales se conocían métodos generales de integración.
Si bien la teoría general de estas ecuaciones ha sido presentada recientemente bajo una nueva luz por Hermite, Darboux y Jordan, Fuchs emprendió el estudio desde el punto de vista más general de las ecuaciones diferenciales lineales cuyos coeficientes no son constantes. Dirigió su atención principalmente a aquellas cuyas integrales son todas regulares.
Si se hace que la variable describa todos los caminos posibles que encierran uno o más de los puntos críticos de la ecuación, tenemos una sustitución determinada correspondiente a cada uno de los caminos; al conjunto de todas estas sustituciones se le llama grupo. Las formas de las integrales de tales ecuaciones fueron examinadas por Fuchs y por G. Frobenius mediante métodos independientes. Los logaritmos aparecen generalmente en las integrales de un grupo, y Fuchs y Frobenius investigaron las condiciones bajo las cuales no debe aparecer ningún logaritmo. Mediante el estudio de grupos, la reducibilidad o irreducibilidad de las ecuaciones diferenciales lineales ha sido examinada por Frobenius y Leo Königsberger. El tema de las ecuaciones diferenciales lineales, no todas cuyas integrales son regulares, ha sido abordado por G. Frobenius de Berlín, W. Thomé de Greifswald (nacido en 1841) y Poincaré, pero la teoría resultante de integrales irregulares se encuentra todavía en una forma muy incompleta.
La teoría de los invariantes asociados con las ecuaciones diferenciales lineales ha sido desarrollada por Halphen y por A. R. Forsyth.
Las investigaciones a las que se ha hecho referencia están estrechamente relacionadas con la teoría de las funciones y de los grupos. Se ha procurado así determinar la naturaleza de la función definida por una ecuación diferencial a partir de la propia ecuación diferencial, y no a partir de ninguna expresión analítica de la función obtenida