primero, acuciado por el tiempo, cometió numerosos errores: ninguno obtuvo un premio. Pascal publicó entonces sus propias soluciones, lo que produjo una gran sensación entre los hombres de ciencia. Wallis también publicó las suyas, con los errores corregidos. Aunque no competían por los premios, Huygens, Wren y Fermat resolvieron algunas de las cuestiones. Los principales descubrimientos de Christopher Wren (1632–1723), el célebre arquitecto de la catedral de San Pablo en Londres, fueron la rectificación de un arco cicloidal y la determinación de su centro de gravedad. Fermat halló el área generada por un arco de la cicloide. Huygens inventó el péndulo cicloidal.
Los comienzos del siglo XVII fueron testigo asimismo de un renacimiento de la geometría sintética. Uno de los que trataron las cónicas aún mediante métodos antiguos, pero que logró simplificar enormemente muchas de las prolijas demostraciones de Apolonio, fue Claude Mydorge en
París (1585–1647), amigo de Descartes. Pero quedó reservado a Girard Desargues (1593–1662), de Lyon, y a Pascal, abandonar los caminos trillados y abrir nuevas sendas. Ellos introdujeron el importante método de la Perspectiva.
Todas las cónicas sobre un cono de base circular le parecen circulares a un ojo situado en el vértice. De ahí que Desargues y Pascal concibieran el tratamiento de las secciones cónicas como proyecciones de círculos.
Desargues aportó dos teoremas importantes y hermosos:
- El uno trata sobre la «involución de los seis puntos», en la cual una transversal corta a una cónica y a un cuadrángulo inscrito;
- el otro establece que, si los vértices de dos triángulos, situados ya sea en el espacio o en un plano, se encuentran sobre tres rectas que concurren en un punto, entonces sus lados se cortan en tres puntos situados sobre una recta; y recíprocamente.
Este último teorema ha sido empleado en tiempos recientes por Brianchon, Sturm, Gergonne y Poncelet. Poncelet lo convirtió en la base de su hermosa teoría de las figuras homológicas. A Desargues le debemos la teoría de la involución y de las transversales; así como también la hermosa concepción de que los dos extremos de una línea recta pueden considerarse como si se encontraran en el infinito, y que las paralelas difieren de otros pares de líneas únicamente en que sus puntos de intersección están en el infinito. Pascal admiraba enormemente la
resultados, diciendo (en sus Essais pour les Coniques), «Reconozco deber lo poco que he descubierto sobre este tema a sus escritos». Los escritos de Pascal y Desargues contenían las ideas fundamentales de la geometría sintética moderna. En la maravillosa obra de Pascal sobre las cónicas, escrita a la edad de dieciséis años y hoy perdida, se daban el teorema sobre la razón anarmónica, hallado primeramente en Pappus, y también aquella célebre proposición sobre el hexágono místico, conocida como el «teorema de Pascal», a saber, que los lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica se cortan en tres puntos que son colineales. Este teorema constituyó la clave de bóveda de su teoría. Él mismo afirmó que de este solo teorema dedujo más de 400 corolarios, que abarcaban las cónicas de Apolonio y muchos otros resultados. De este modo, el genio de Desargues y Pascal desenterró varios de los ricos tesoros de la geometría sintética moderna; pero debido al absorbente interés que suscitó la geometría analítica de Descartes y, más tarde, el cálculo