Teoría de funciones

Aunque lento al principio, sus ideas fluyeron después con mucha más riqueza. Muchos de sus descubrimientos sobre las funciones elípticas fueron hechos de manera independiente por Abel.

Jacobi comunicó sus primeras investigaciones al Journal de Crelle. En 1829, a la edad de veinticinco años, publicó sus Fundamenta Nova Theoriæ Functionum Ellipticarum, que contienen de forma condensada los principales resultados sobre las funciones elípticas. Esta obra le aseguró inmediatamente una amplia reputación.

Luego realizó un estudio más profundo de las funciones theta y dio conferencias a sus alumnos sobre una nueva teoría de las funciones elípticas basada en las funciones theta. Desarrolló una teoría de la transformación que lo condujo a multitud de fórmulas que contienen $q$, una función trascendental del módulo, definida por la ecuación $q=e^{-\pi k^{\prime }/k}$.

También fue conducido por ella a considerar las dos nuevas funciones $H$ y $\Theta$, que tomadas cada una por separado con dos argumentos diferentes son las cuatro funciones theta (simples) designadas por ${\Theta }_1$, ${\Theta }_2$, ${\Theta }_3$, ${\Theta }_4$.56

En una breve pero muy importante memoria de 1832, muestra que para la integral hiperelíptica de cualquier clase, las funciones directas a las que hace referencia el teorema de Abel no son funciones de una sola variable, como las elípticas $\mathrm{\backslash sn}$, $\mathrm{\backslash cn}$, $\mathrm{\backslash dn}$, sino funciones de $p$ variables.56

Así, en el caso $p=2$, que Jacobi considera especialmente, se demuestra que el teorema de Abel hace referencia a dos funciones $\lambda (u,v)$, ${\lambda }_1(u,v)$, cada una de dos variables, y proporciona en efecto un teorema de adición para la expresión de las funciones $\lambda (u+u^{\prime },v+v^{\prime })$, ${\lambda }_1(u+u^{\prime },v+v^{\prime })$ algebraicamente en términos de las funciones $\lambda (u,v)$, ${\lambda }_1(u,v)$, $\lambda (u^{\prime },v^{\prime })$, ${\lambda }_1(u^{\prime },v^{\prime })$.

Mediante las memorias de Abel y Jacobi puede considerarse establecida la noción de la función abeliana de $p$ variables y dado el teorema de adición para estas funciones. Estudios recientes sobre las funciones abelianas han sido realizados por Weierstrass,

E. Picard, Madame Kowalevski y Poincaré.

El trabajo de Jacobi sobre ecuaciones diferenciales, determinantes, dinámica y la teoría de números se menciona en otra parte.

En 1842, Jacobi visitó Italia durante unos meses para recuperar su salud. Por entonces, el gobierno prusiano le concedió una pensión y se mudó a Berlín, donde transcurrieron los últimos años de su vida.

Las investigaciones sobre funciones mencionadas hasta ahora han sido ampliamente extendidas. En 1858 Charles Hermite, de París (nacido en 1822), introdujo en lugar de la variable $q$ de Jacobi una nueva variable $\omega$

conectada con ella por la ecuación $q=e^{i\pi \omega }$, de modo que $\omega =i{k}^{\prime }/k$, y fue conducido a considerar las funciones $\varphi (\omega )$, $\psi (\omega )$, $\chi (\omega )$.56 Henry Smith consideró una función theta con el argumento igual a cero, como una función de $\omega$. A esta la llamó función omega, mientras que las tres funciones $\varphi (\omega )$, $\psi (\omega )$, $\chi (\omega )$ son sus funciones modulares. Investigaciones sobre las funciones theta con respecto a argumentos reales e imaginarios han sido realizadas por Meissel, de Kiel,