Descartes to Newton

Varignon señaló más tarde que este espacio, supuesto exceder al infinito, es en realidad finito, pero tomado negativamente; esto es, medido en dirección contraria.31

El método de Wallis se extendía fácilmente a casos tales como $y=a{x}^{\frac{m}{n}}+b{x}^{\frac{p}{q}}$ realizando la cuadratura para cada término por separado, y sumando después los resultados.

La manera en que Wallis estudió la cuadratura del círculo y llegó a su expresión para el valor de $\pi$ es extraordinaria. Encontró que las áreas comprendidas entre los ejes, la ordenada correspondiente a $x$, y las curvas representadas por las ecuaciones $y=(1-x^2{)}^0$, $y=(1-x^2{)}^1$, $y=(1-x^2{)}^2$, $y=(1-x^2{)}^3$, etc., se expresan en funciones de los rectángulos circunscritos que tienen a $x$ e $y$ por lados, mediante las cantidades que forman la serie

$$\begin{gathered} \&x, \\ \&x-\frac{1}{3}{x}^3, \\ \&x-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5, \\ \&x-\frac{3}{3}{x}^3+\frac{3}{5}{x}^5-\frac{1}{7}{x}^7,\text{etc.} \end{gathered}$$

Cuando $x=1$, estos valores se convierten respectivamente en $1$, $\frac{2}{3}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{48}{105}$, etc. Ahora bien, dado que la ordenada del círculo es $y=(1-x^2{)}^{\frac{1}{2}}$, cuyo exponente es $\frac{1}{2}$ o el valor medio entre $0$ y $1$, la cuestión de esta cuadratura se reducía a lo siguiente: Si $0$, $1$, $2$, $3$, etc., operados según cierta ley, dan $1$, $\frac{2}{3}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{48}{105}$, ¿qué dará $\frac{1}{2}$, al ser operado por la misma ley? Intentó resolver esto mediante la interpolación, un método al que él dio gran relevancia por primera vez, y llegó, mediante un análisis altamente complicado y difícil, a la siguiente expresión tan notable: $\frac{\pi }{2}=\frac{2·2·4·4·6·6·8·8\cdots }{1·3·3·5·5·7·7·9\cdots }$

No tuvo éxito en realizar la interpolación misma, porque no empleó exponentes literales o generales, y no pudo concebir una serie con más de un término y menos de dos, que era lo que le parecía que debía tener la serie interpolada.

La consideración de esta dificultad condujo a Newton al descubrimiento del Teorema del Binomio. Este es el mejor lugar para hablar de dicho descubrimiento.

Newton virtualmente supuso que las mismas condiciones en las que se basan las expresiones generales para las áreas dadas anteriormente deben cumplirse también para la expresión que ha de ser interpolada.

En primer lugar, observó que en cada expresión el primer término es $x$, que $x$ aumenta en potencias impares, que los signos alternan $+$ y $-$, y que los segundos términos $\frac{0}{3}{x}^3$, $\frac{1}{3}{x}^3$, $\frac{2}{3}{x}^3$, $\frac{3}{3}{x}^3$, están en progresión aritmética.

De ahí que los dos primeros términos de la serie interpolada deban ser $x-{\displaystyle \frac{\frac{1}{2}{x}^3}{3}}$.

Consideró a continuación que los denominadores $1$, $3$, $5$, $7$, etc., están en progresión aritmética, y que los coeficientes de los numeradores en cada expresión son los dígitos de alguna potencia del número $11$; a saber, para la primera expresión, ${11}^0$ o $1$; para la segunda, ${11}^1$ o $1$, $1$; para la tercera, ${11}^2$ o $1$, $2$, $1$; para la cuarta, ${11}^3$ o $1$, $3$, $3$, $1$; etc.

Luego descubrió que, dado el segundo dígito (llamémoslo $m$), los dígitos restantes se pueden hallar mediante la multiplicación continua de los términos de la serie ${\displaystyle \frac{m-0}{1}}·{\displaystyle \frac{m-1}{2}}·{\displaystyle \frac{m-2}{3}}·{\displaystyle \frac{m-3}{4}}·$ etc.

Así, si $m=4$, entonces $4·{\displaystyle \frac{m-1}{2}}$ da $6$; $6·{\displaystyle \frac{m-2}{3}}$ da $4$; $4·{\displaystyle \frac{m-3}{4}}$ da $1$.