Heine, y llevado más adelante, principalmente, por Weierstrass,
Schwarz, Du Bois-Reymond, Thomae y Darboux. Hankel estableció el principio de la condensación de singularidades;
Dedekind y Cantor dieron definiciones para los números irracionales;
las integrales definidas fueron estudiadas por Thomae, Du Bois-Reymond y Darboux siguiendo las líneas indicadas por las definiciones de tales integrales dadas por Cauchy, Dirichlet y Riemann. Dini escribió un libro de texto sobre funciones de una variable real (1878), que fue traducido al alemán, con adiciones, por J. Lüroth y
A. Schepp. Importantes trabajos sobre la teoría de funciones son el Cours de M. Hermite, la Théorie des Fonctions d'une variable seule de Tannery, A Treatise on the Theory of Functions de James Harkness y Frank Morley, y Theory of Functions of a Complex Variable de A. R. Forsyth.