como por ejemplo el Teorema 11 citado anteriormente, pero que también logró utilizarlo para demostrar afirmaciones afirmativas. Así, demostró el Teorema 3 al mostrar que si suponemos que existe un número primo 4 n + 1 que no posee esta propiedad, entonces habrá un primo más pequeño de la forma 4 n + 1 que tampoco la posea; y un tercero más pequeño que el segundo, que tampoco la posea; y así sucesivamente. Descendiendo de este modo indefinidamente, llega al número 5 , que es el factor primo más pequeño de la forma 4 n + 1 . De la suposición anterior se seguiría que 5 no es la suma de dos cuadrados, una conclusión contraria a los hechos. Por lo tanto, la suposición es falsa y el teorema queda establecido. Fermat aplicó este método de descenso con éxito en un gran número de teoremas. Mediante este método, Euler, Legendre y Dirichlet demostraron varios de sus enunciados y muchas otras proposiciones numéricas.
Una correspondencia entre Pascal y Fermat relativa a cierto juego de azar fue el germen de la teoría de las probabilidades, que desde entonces ha alcanzado un vasto desarrollo.
El caballero de Méré propuso a Pascal el problema fundamental de determinar la probabilidad que tiene cada jugador, en cualquier etapa dada del juego, de ganar la partida. Pascal y Fermat supusieron que los jugadores tienen iguales oportunidades de ganar un solo punto.
El primero comunicó este problema a Fermat, quien lo estudió con vivo interés y lo resolvió mediante la teoría de combinaciones, una teoría que fue estudiada diligentemente tanto por él como por Pascal.
El cálculo de probabilidades atrajo también la atención de Huygens. El teorema más importante al que llegó fue que, si A tiene probabilidades de ganar una suma , y probabilidades de ganar una suma , entonces puede esperar ganar la suma .
La siguiente gran obra sobre la teoría de la probabilidad fue el Ars conjectandi de Jakob Bernoulli.
Entre los antiguos, Arquímedes fue el único que alcanzó nociones claras y correctas sobre la estática teórica. Había adquirido una firme posesión de la idea de presión, que se encuentra en la raíz de la ciencia mecánica. Pero sus ideas permanecieron dormidas durante casi veinte siglos, hasta la época de Stevin y Galileo.
Stevin determinó con exactitud la fuerza necesaria para sostener un cuerpo sobre un plano inclinado en cualquier ángulo respecto al horizonte. Poseía una doctrina completa del equilibrio. Mientras Stevin investigaba la estática, Galileo se dedicó principalmente a la dinámica. Galileo fue el primero en abandonar la idea aristotélica de que los cuerpos descienden con tanta mayor rapidez cuanto más pesados son; estableció la primera ley del movimiento; determinó las leyes de la caída de los cuerpos; y, habiendo obtenido una clara noción de la aceleración y de la independencia de los diferentes movimientos, pudo demostrar que los proyectiles se mueven en trayectorias parabólicas. Hasta su época se creía que una bala de cañón avanzaba primero en línea recta y luego caía repentinamente de forma vertical al suelo. Galileo comprendió las fuerzas centrífugas y dio una definición correcta del momento. Aunque formuló el principio fundamental de la estática, conocido como el paralelogramo de fuerzas, no reconoció plenamente su alcance. El principio de las velocidades virtuales fue concebido en parte por Guido