una superficie cerrada, si se da arbitrariamente para todos los puntos de la curva, mientras que se da para un punto dentro de la curva. Para tratar el caso más complicado en el que tiene valores para un valor de , y para observar las condiciones acerca de la continuidad, Riemann inventó las celebres superficies, conocidas como "superficies de Riemann", que constan de planos u hojas coincidentes, tales que el paso de una hoja a otra se realiza en los puntos de ramificación, y que las hojas forman juntas una superficie múltiplemente conexa, la cual puede diseccionarse mediante cortes transversales para formar una superficie simplemente conexa. La función de valores se convierte así en una función de un solo valor. Auxiliado por las investigaciones de J. Lüroth de Furgoburgo y de Clebsch,
W. K. Clifford llevó la superficie de Riemann para funciones algebraicas a una forma canónica, en la cual solo las dos últimas de las hojas son múltiplemente conexas, y luego transformó la superficie en la superficie de un sólido con agujeros.
A. Hurwitz, de Zúrich, discutió la cuestión de hasta qué punto una superficie de Riemann está determinada por la asignación de su número de hojas, sus puntos de ramificación y sus líneas de ramificación.62
La teoría de Riemann establece los criterios que determinarán una función analítica con la ayuda de sus discontinuidades y condiciones de contorno, y define así una función independientemente de una expresión matemática. Para demostrar que dos expresiones distintas son idénticas, no es necesario transformar la una en la otra, sino que basta con probar la coincidencia en una medida mucho menor, meramente en ciertos puntos críticos.