definición dada satisfacen un número suficiente de condiciones. Schubert extendió su geometría enumerativa al espacio de dimensiones.55
A Chasles debemos la introducción en la geometría proyectiva de propiedades no proyectivas de las figuras mediante el esferocírculo imaginario del infinito.61 Es notable su completa solución, en 1846, por geometría sintética, de la difícil cuestión de la atracción de un elipsoide sobre un punto exterior. Esto fue logrado analíticamente por Poisson en
- Los trabajos de Chasles y Steiner elevaron la geometría sintética a una posición de honor y respeto junto al análisis.
Karl Georg Christian von Staudt (1798–1867) nació en
Rothenburg ob der Tauber y, a su muerte, fue profesor en Erlangen.
Sus grandes obras son la Geometrie der Lage, Núremberg, 1847, y sus Beiträge zur Geometrie der Lage, 1856–1860. El autor se desprendió de las fórmulas algebraicas y de las relaciones métricas, en particular de la razón anarmónica de Steiner y Chasles, y creó entonces una geometría de posición, que es una ciencia completa en sí misma, independiente de todas las medidas.
Demuestra que las propiedades proyectivas de las figuras no dependen en absoluto de las medidas y pueden establecerse sin mención alguna de ellas. En su teoría de lo que denomina «Würfe», llega incluso a dar una definición geométrica de un número en su relación con la geometría como determinante de la posición de un punto.
Los Beiträge contienen la primera teoría completa y general de los puntos, líneas y planos imaginarios en geometría proyectiva. La representación de un punto imaginario se busca en la combinación de una involución con una dirección determinada, ambas sobre la línea real que pasa por el punto. Aunque puramente proyectivo, el método de von Staudt está íntimamente relacionado conῷ el problema de representar mediante puntos y líneas reales los imaginarios de la geometría analítica.
Esto fue emprendido sistemáticamente por C. F. Maximilien Marie, quien trabajó, sin embargo, en líneas completamente diferentes. Recientemente (1893) F. H. Loud, de Colorado, ha realizado un intento independiente
College.
La geometría de posición de von Staudt fue desatendida durante mucho tiempo, debido principalmente, sin duda, a que su libro es extremadamente condensado. Un impulso para el estudio de esta materia fue dado por Culmann, quien basa su estática gráfica en la obra de von Staudt. Un intérprete de von Staudt fue por fin hallado en Theodor Reye de Estrasburgo, quien escribió un
Geometrie der Lage in 1868.
La geometría sintética ha sido estudiada con mucho éxito por Luigi Cremona, profesor en la Universidad de Roma. En su Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane desarrolló mediante un método uniforme muchos resultados nuevos y demostró sintéticamente todos los resultados importantes alcanzados