doble integral cuando los límites también son variables, y a las variaciones de integrales múltiples en general. Se publicaron memorias por Gauss en 1829, Poisson en 1831 y Ostrogradsky de San Petersburgo en 1834, sin determinar, sin embargo, de manera general el número y la forma de las ecuaciones que deben subsistir en los límites en el caso de una integral doble o triple. En 1837 Jacobi publicó una memoria, en la que demostró que las difíciles integraciones exigidas por la discusión de la segunda variación, mediante la cual se puede averiguar la existencia de un máximo o un mínimo, están incluidas en las integraciones de la primera variación y, por tanto, son superfluas. Este importante teorema, presentado con gran brevedad por Jacobi, fue aclarado y ampliado por V. A. Lebesgue,
C. E. Delaunay, Eisenlohr, S. Spitzer, Hesse y Clebsch.
Una importante memoria de Sarrus sobre la cuestión de determinar las ecuaciones límite que deben combinarse con las ecuaciones indefinidas para determinar por completo los máximos y mínimos de las integrales múltiples, fue galardonada con un premio por la Academia Francesa en 1845, haciéndose mención honorífica de un trabajo de Delaunay.
El método de Sarrus fue simplificado por Cauchy.
En 1852 G. Mainardi intentó exponer un nuevo método para discriminar máximos y mínimos, y extendió el teorema de Jacobi a las integrales dobles. Mainardi y F. Brioschi demostraron la utilidad de los determinantes para expresar los términos de la segunda variación.
En 1861 Isaac Todhunter