contradictorio posible. Euclides demostró (I. 27) que «si una recta que corta a otras dos rectas hace que los ángulos alternos sean iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí». Al ser incapaz de demostrar que en cualquier otro caso las dos líneas no son paralelas, supuso que esto era verdad en lo que generalmente se llama el 12.° «axioma», y algunos el 11.° «axioma». Pero este supuesto axioma está lejos de ser axiomático. Tras siglos de intentos desesperados pero infructuosos por demostrar la suposición de Euclides, la audaz idea se alboró en las mentes de varios matemáticos de que se podía construir una geometría sin asumir el axioma de las paralelas. Mientras Legendre aún se esforzaba por establecer el axioma mediante una demostración rigurosa, Lobatchewsky sacó a la luz una publicación que suponía lo contrario de dicho axioma, y que fue la primera de una serie de artículos destinados a aclarar oscuridades en los conceptos fundamentales y a ampliar enormemente el campo de la geometría.
Nicholaus Ivanovitch Lobatchewsky (1793–1856) nació en Makarief, en Nischni-Nowgorod, Rusia, estudió en Kazán y, desde 1827 hasta 1846, fue profesor y rector de la Universidad de Kazán.
Sus puntos de vista sobre los fundamentos de la geometría se hicieron públicos por primera vez en un discurso ante la facultad de física y matemáticas de Kazán, y se imprimieron inicialmente en el Mensajero de Kazán en 1829, y después en Gelehrte Schriften der Universität Kasan, 1836–1838, bajo el título: "Nuevos elementos de geometría, con una teoría completa de las paralelas". Al estar en lengua rusa, la obra pasó desapercibida para los extranjeros, pero ni siquiera en su propio país atrajo atención alguna.
En 1840 publicó una breve exposición de sus investigaciones en Berlín. Lobatchewsky construyó una "geometría imaginaria", como él la llamó, que ha sido descrita por Clifford como "bastante simple, meramente Euclides sin la suposición viciosa".
Una parte notable de esta geometría es que por un punto se puede trazar en un plano un número indefinido de líneas, ninguna de las cuales corta a una línea dada en el mismo plano. Un sistema de geometría similar fue deducido de manera independiente por los Bolyai en Hungría, quienes lo denominaron "geometría absoluta".
Wolfgang Bolyai de Bolya (1775–1856) nació en Szekler-Land,
Transylvania. After studying at Jena, he went to
Gotinga, donde entabló una estrecha amistad con Gauss, que entonces tenía diecinueve años. Gauss solía decir que Bolyai era el único hombre que comprendía a cabalidad sus puntos de vista sobre la metafísica de las matemáticas. Bolyai llegó a ser profesor en el Colegio Reformado de Maros-Vásárhely, donde durante cuarenta y siete años tuvo como alumnos a la mayoría de los actuales profesores de Transilvania. Las primeras publicaciones de este notable genio fueron dramas y poesía. Ataviado con un traje de hacendado a la antigua usanza, era verdaderamente original tanto en su vida privada como en su modo de pensar. Era sumamente modesto. Ningún monumento, decía, debía erigirse sobre su tumba, tan solo un manzano, en memoria de las tres manzanas: las dos de Eva y de París, que convirtieron la tierra en un infierno, y la de Newton, que elevó de nuevo a la tierra al coro de los cuerpos celestes.64