El teorema de Abel afirma que una suma de tales integrales puede expresarse mediante un número definido p de integrales similares, donde p depende meramente de las propiedades de la ecuación F ( x , y ) = 0 . Más tarde se demostró que p es el género (deficiencia) de la curva F ( x , y ) = 0 . Los teoremas de adición de las integrales elípticas son deducibles del teorema de Abel. Las integrales hiperelípticas introducidas por Abel, y demostradas por él como poseedoras de periodicidad múltiple, son casos especiales de integrales abelianas siempre que p = o > 3 . La reducción de las integrales abelianas a elípticas ha sido estudiada principalmente por Jacobi, Hermite,
Königsberger, Brioschi, Goursat, E. Picard y O. Bolza, de la Universidad de Chicago.
Se han publicado dos ediciones de las obras de Abel: la primera por Holmboe en 1839, y la segunda por Sylow y Lie en
El teorema de Abel fue calificado por Jacobi como el mayor descubrimiento de nuestro siglo en el cálculo integral. El anciano
Legendre, que admiraba profundamente el genio de Abel, lo llamó «monumentum aere perennius». Durante los pocos años de trabajo concedidos al joven noruego, penetró en nuevos campos de investigación, cuyo desarrollo ha tenido ocupados a los matemáticos durante más de medio siglo.
Algunos de los descubrimientos de Abel y Jacobi fueron anticipados por Gauss. En las Disquisitiones Arithmeticæ observó que los principios que empleó en la división del círculo eran aplicables a muchas otras funciones, además de las circulares, y en particular a las trascendentes dependientes de la integral .
A partir de esto, Jacobi[]83 concluyó que Gauss había considerado treinta años antes la naturaleza y las propiedades de las funciones elípticas y había descubierto su doble periodicidad. Los artículos en las obras completas de Gauss confirman esta conclusión.
Carl Gustav Jacob Jacobi[]84 (1804–1851) nació de padres judíos en Potsdam. Como muchos otros matemáticos, se inició en las matemáticas leyendo a Euler. En la Universidad de Berlín, donde cursó sus estudios matemáticos con independencia de las clases magistrales, se doctoró en 1825.
Tras dar clases en Berlín durante dos años, fue elegido profesor extraordinario en Königsberg, y dos años más tarde profesor ordinario en la misma institución. Tras la publicación de sus Fundamenta Nova, pasó algún tiempo viajando; conoció a Gauss en Gotinga y a Legendre, Fourier,
Poisson, en París. En 1842, él y su colega Bessel asistieron a las reuniones de la Asociación Británica, donde conocieron a matemáticos ingleses.
Sus primeras investigaciones trataron sobre la aproximación de Gauss al valor de las integrales definidas, las ecuaciones diferenciales parciales, los coeficientes de Legendre y los residuos cúbicos. Leyó los Ejercicios de Legendre, que versan sobre las integrales elípticas. Cuando devolvió el libro a la biblioteca, estaba deprimido y comentó que los libros importantes solían despertarle nuevas ideas, pero que esta vez no se le había ocurrido ni un solo pensamiento original.