Newton a Euler

En esta afirmación de Newton se contiene una respuesta satisfactoria a la objeción que se ha planteado contra su método, de que introduce en el análisis la idea ajena del movimiento. Una cantidad que aumenta así por una fluxión uniforme, es lo que hoy llamamos una variable independiente.

Newton continúa:

"Now those quantities which I consider as gradually and indefinitely increasing, I shall hereafter call fluents, or flowing quantities, and shall represent them by the final letters of the alphabet, $v$, $x$, $y$, and $z$; and the velocities by which every fluent is increased by its generating motion (which I may call fluxions, or simply velocities, or celerities), I shall represent by the same letters pointed, thus, $\dot{v}$, $\dot{x}$, $\dot{y}$, $\dot{z}$. That is, for the celerity of the quantity $v$ I shall put $\dot{v}$, and so for the celerities of the other quantities $x$, $y$, and $z$, I shall put $\dot{x}$, $\dot{y}$, and $\dot{z}$, respectively."

Debe observarse aquí que Newton no considera las fluxiones mismas como infinitamente pequeñas. Los «momentos de las fluxiones», un término introducido más adelante, son cantidades infinitamente pequeñas. Estos «momentos», tal como se definen y utilizan en el Método de las fluxiones, son sustancialmente los diferenciales de Leibniz.

De Morgan señala que no poca confusión ha surgido a raíz del uso de la palabra fluxion y de la notación $\dot{x}$ por parte de todos los escritores ingleses anteriores a 1704, a excepción de Newton y Cheyne, con el sentido de incremento infinitamente pequeño.35

Por extraño que parezca, incluso en el Commercium Epistolicum las palabras momento y fluxión parecen usarse como sinónimas.

Tras mostrar mediante ejemplos cómo resolver el primer problema, Newton procede a la demostración de su solución:–-

"Los momentos de las cantidades que fluyen (esto es, sus partes infinitesimalmente pequeñas, por cuya adición, en porciones infinitamente pequeñas de tiempo, se incrementan continuamente) son como las velocidades de su flujo o incremento.

"Por tanto, si el momento de uno cualquiera (como $x$) se representa por el producto de su celeridad $\dot{x}$ por una cantidad infinitamente pequeña $0$ (es decir, por $\dot{x}0$), los momentos de los demás, $v$, $y$, $z$, se representarán por $\dot{v}0$, $\dot{y}0$, $\dot{z}0$; porque $\dot{v}0$, $\dot{x}0$, $\dot{y}0$ y $\dot{z}0$ están entre sí como $\dot{v}$, $\dot{x}$, $\dot{y}$ y $\dot{z}$.

"Now since the moments, as $\dot{x}0$ and $\dot{y}0$, are the indefinitely little accessions of the flowing quantities $x$ and $y$, by which those quantities are increased through the several indefinitely little intervals of time, it follows that those quantities, $x$ and $y$, after any indefinitely small interval of time, become $x+\dot{x}0$ and $y+\dot{y}0$, and therefore the equation, which at all times indifferently expresses the relation of the flowing quantities, will as well express the relation between $x+\dot{x}0$ and $y+\dot{y}0$, as between $x$ and $y$; so that $x+\dot{x}0$ and $y+\dot{y}0$ may be substituted in the same equation for those quantities, instead of $x$ and $y$. Thus let any equation $x^3-a{x}^2+axy-y^3=0$ be given, and substitute $x+\dot{x}0$ for $x$, and $y+\dot{y}0$ for $y$, and there will arise \left. {4} &\phantom{a}x^3 &&+ 3x^2\dot{x}0 &&+ 3x\dot{x}0\dot{x}0 &&+ \dot{x}^3 0^3 \ -{}&ax^2 &&- 2ax\dot{x}0 &&- a\dot{x}0\dot{x}0 \ +{}&axy &&+ ay\dot{x}0 &&+ a\dot{x}0\dot{y}0 \ & &&+ ax\dot{y}0 \ -{}&y^3 &&- 3y^2\dot{y}0 &&- 3y\dot{y}0\dot{y}0 &&- \dot{y}^3 0^3

\right} = 0.$