círculos. Malfatti dio una solución analítica, pero Steiner dio una construcción sin demostración, señaló que había treinta y dos soluciones, generalizó el problema reemplazando las tres líneas por tres círculos, y resolvió el problema análogo para tres dimensiones. Este problema general fue resuelto analíticamente por C. H. Schellbach (1809–1892)
y Cayley, y por Clebsch con la ayuda del teorema de adición de las funciones elípticas.60
Las investigaciones de Steiner se limitan a la geometría sintética. Odiaba el análisis tan profundamente como a Lagrange le disgustaba la geometría.
Las Gesammelte Werke de Steiner se publicaron en Berlín en 1881 y 1882.
Michel Chasles (1793–1880) nació en Epernon, ingresó en la Escuela Politécnica de París en 1812, se dedicó después a los negocios, que más tarde abandonó para poder consagrar todo su tiempo a las investigaciones científicas. En 1841 se convirtió en profesor de geodesia y mecánica en la Escuela Politécnica; más tarde,
«Professeur de Géométrie supérieure à la Faculté des Sciences de Paris.» Era un autor prolífico en temas de geometría. En 1837 publicó su admirable Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, que contiene una historia de la geometría y, como apéndice, un tratado «sur deux principes généraux de la Science.»
El Aperçu historique sigue siendo una obra histórica de referencia; el apéndice contiene la teoría general de la homografía (colineación) y de la dualidad (reciprocidad). El nombre de dualidad se debe a Joseph
Diaz Gergonne (1771–1859).
Chasles introduced the term anharmonic ratio, corresponding to the German Doppelverhältniss and to Clifford's cross-ratio. Chasles and Steiner elaborated independently the modern synthetic or projective geometry.
Numerous original memoirs of Chasles were published later in the Journal de l'École Polytechnique. He gave a reduction of cubics, different from Newton's in this, that the five curves from which all others can be projected are symmetrical with respect to a centre.
In 1864 he began the publication, in the Comptes rendus, of articles in which he solves by his "method of characteristics" and the "principle of correspondence"
un número inmenso de problemas. Determinó, por ejemplo, el número de intersecciones de dos curvas en un plano. El método de las características contiene la base de la geometría enumerativa. La aplicación del principio de correspondencia fue ampliada por Cayley, A. Brill, H. G. Zeuthen,
H. A. Schwarz, G. H. Halphen (1844–1889) y otros.
El valor total de estos principios de Chasles no se puso de manifiesto hasta la aparición, en 1879, del Kalkül der Abzählenden Geometrie de Hermann Schubert, de Hamburgo. Esta obra contiene una discusión magistral del problema de la geometría enumerativa, a saber, determinar cuántas figuras geométricas de