Cayley extendió las ecuaciones de Plücker a curvas de singularidades superiores. Las propias investigaciones de Cayley, y las de M. Nöther de Erlangen, G. H. Halphen (1844–1889) del
Escuela Politécnica de París, De La Gournerie de París, A. Brill de Tubinga, conducen a la conclusión de que cada singularidad superior de una curva es equivalente a cierto número de singularidades simples —el nodo, la cúspide ordinaria, la tangente doble y la inflexión—. Sylvester estudió el «cartesiano retorcido»,
una curva de cuarto orden. Salmon contribuyó poderosamente a la difusión del conocimiento de los nuevos métodos algebraicos y geométricos mediante la publicación de una excelente serie de libros de texto (Conic Sections, Modern Higher Algebra, Higher Plane Curves, Geometry of Three Dimensions), que han sido puestos al alcance de los lectores alemanes gracias a una traducción libre, con adiciones, realizada por Wilhelm Fiedler del
Polytechnicum de Zúrich. El siguiente gran trabajador en el campo de la geometría analítica fue Clebsch.
Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833–1872) nació en Königsberg, en Prusia, estudió en la universidad de dicho lugar bajo la tutela de Hesse, Richelot y F. Neumann.
De 1858 a 1863 ocupó la cátedra de mecánica teórica en el Polytechnicum de Karlsruhe. El estudio de las obras de Salmon lo introdujo en el álgebra y la geometría.
En 1863 aceptó un puesto en la Universidad de Giessen, donde trabajó junto con Paul Gordan (actualmente en Erlangen). En 1868 Clebsch se marchó a
Gotinga, y permaneció allí hasta su muerte. Trabajó sucesivamente en los siguientes temas:
- Física matemática,
- el cálculo de variaciones y las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden,
- la teoría general de curvas y superficies,
- las funciones abelianas y su uso en la geometría,
- la teoría de invariantes, y
- «Flächenabbildung».68
Demostró teoremas sobre el pentaedro enunciados por Sylvester y Steiner; hizo un uso sistemático del «defecto» (Geschlecht) como principio fundamental en la clasificación de curvas algebraicas. La noción de defecto ya era conocida antes que él por Abel y Riemann.
Al comienzo de su carrera, Clebsch había demostrado cómo las funciones elípticas podían aplicarse con ventaja al problema de Malfatti.
La idea implícita en ello, a saber, el uso de trascendentes superiores en el estudio de la geometría, lo condujo a sus mayores descubrimientos. No solo aplicó las funciones abelianas a la geometría, sino que, a la inversa, puso la geometría al servicio de las funciones abelianas.
Clebsch hizo un uso liberal de los determinantes. Su estudio de curvas y superficies comenzó con la determinación de los puntos de contacto de las líneas que cortan a una superficie en cuatro puntos consecutivos. Salmon había demostrado que estos puntos yacen en la intersección de la superficie con una