Euler, Lagrange y Laplace

"El cometa Halley", cuyo regreso se esperaba entonces, alcanzaría su punto más cercano al Sol el 13 de abril de 1759, una fecha que resultó ser un mes demasiado tarde.

Fue el primero en detectar soluciones singulares en ecuaciones diferenciales de primer orden pero de grado superior al primero.

En sus labores científicas hubo entre Clairaut y D'Alembert una gran rivalidad, a menudo poco amistosa.

La creciente ambición de Clairaut por brillar en la sociedad, donde era muy querido, entorpeció su labor científica en la última etapa de su vida.

Johann Heinrich Lambert (1728–1777), nacido en Mühl-hausen, en Alsacia, era hijo de un sastre pobre. Mientras trabajaba en el oficio de su padre, adquirió por sus propios esfuerzos un conocimiento de las matemáticas elementales. A la edad de treinta años se convirtió en tutor de una familia suiza y aseguró tiempo libre para continuar sus estudios. En sus viajes con sus alumnos por Europa conoció a los principales matemáticos. En 1764 se estableció en Berlín, donde se convirtió en miembro de la Academia y disfrutó de la compañía de Euler y Lagrange. Recibió una pequeña pensión y más tarde llegó a ser editor de las Efemérides de Berlín. Su erudición multifacética recuerda a la de Leibniz. En sus Cartas cosmológicas hizo algunas profecías notables sobre el sistema estelar. En matemáticas hizo varios descubrimientos que fueron ampliados y eclipsados por sus grandes contemporáneos. Su primera investigación sobre matemáticas puras desarrolló en una serie infinita la raíz $x$ de la ecuación

$x^m+px=q$. Como cada ecuación de la forma $a{x}^r+b{x}^s=d$ puede reducirse a $x^m+px=q$ de dos maneras, siempre se descubría que una u otra de las dos series resultantes era convergente y proporcionaba un valor de $x$. Los resultados de Lambert estimularon a Euler, quien extendió el método a una ecuación de cuatro términos, y particularmente a Lagrange, quien halló que una función de una raíz de

$a-x+\varphi (x)=0$ puede expresarse mediante la serie que lleva su nombre.

En 1761 Lambert comunicó a la Academia de Berlín una memoria en la que demuestra que $\pi$ es irracional. Esta demostración se ofrece en la Nota IV de la Géometrie de Legendre, donde se extiende a ${\pi }^2$.

Al genio de Lambert debemos la introducción en la trigonometría de las funciones hiperbólicas, que él designó como $\mathit{\text{sinh}}x$, $\mathit{\text{cosh}}x$, etc.

Su Freye Perspective, de 1759 y 1773, contiene investigaciones sobre geometría descriptiva y le hace acreedor al honor de ser el precursor de Monge.

En su esfuerzo por simplificar el cálculo de las órbitas cometarias, fue conducido geométricamente a algunos teoremas notables sobre cónicas, por ejemplo este: «Si en dos elipses que tienen un eje mayor común tomamos dos arcos tales que sus cuerdas sean iguales, y que también las sumas de los radios vectores, trazados respectivamente desde los focos hasta las extremidades de estos arcos, sean iguales entre sí, entonces los sectores formados en cada elipse por el arco y los dos radios vectores son entre sí como las raíces cuadradas de los parámetros de las elipses».13

John Landen (1719–1790) fue un matemático inglés cuyos escritos sirvieron como punto de partida para las investigaciones de Euler, Lagrange y Legendre.