y sobre la teoría de la probabilidad. Celebrado es su Budget of Paradoxes, de 1872. Publicó las memorias «On the Foundation of Algebra» (Trans. of Cam. Phil. Soc., 1841, 1842, 1844 y 1847).
En Alemania, el álgebra simbólica fue estudiada por Martin Ohm, quien escribió un System der Mathematik en 1822.
Las ideas de Peacock y De Morgan reconocen la posibilidad de álgebras que difieren del álgebra ordinaria. Tales álgebras no tardaron ciertamente en surgir, pero, al igual que la geometría no euclidiana, algunas de ellas tardaron en encontrar reconocimiento.
Esto es cierto en el caso de los descubrimientos de Grassmann, Bellavitis y Peirce, pero los cuaterniones de Hamilton encontraron una apreciación inmediata en Inglaterra. Estas álgebras ofrecen una interpretación geométrica de los imaginarios.
En los tiempos de Descartes,
Newton, y Euler, hemos visto lo negativo y lo imaginario,
, aceptadas como números, pero estas últimas todavía se consideraban una ficción algebraica. El primero en darle una representación geométrica, análoga a la interpretación geométrica de los negativos, fue H. Kühn, un profesor en Danzig, en una publicación de
1750–1751. Representó mediante una línea perpendicular a la línea , e igual a en longitud, e interpretó como la media proporcional entre y . Esta misma idea fue desarrollada más a fondo, con el fin de dar una interpretación geométrica de , por Jean-Robert Argand (1768–?) de Ginebra, en un notable Essai (1806).70
Los escritos de Kühn y Argand pasaron casi desapercibidos, y correspondió a Gauss derribar la última oposición a lo imaginario. Introdujo como una unidad independiente coordinada con , y como un «número complejo».
La conexión entre los números complejos y los puntos en un plano, aunque artificial, constituyó una poderosa ayuda para el estudio posterior del álgebra simbólica. La mente requería una representación visual que le sirviera de apoyo. La noción de lo que hoy llamamos vectores se estaba abriendo paso entre los matemáticos, y la suma geométrica de vectores en el espacio fue descubierta de forma independiente por Hamilton, Grassmann y otros, aproximadamente al mismo tiempo.
William Rowan Hamilton (1805–1865) nació en Dublín de padres escoceses. Su educación temprana, llevada a cabo en el hogar, se centró principalmente en los idiomas. A la edad de trece años se dice que conocía tantos idiomas como años de vida tenía. Alrededor de esta época dio con un ejemplar de la Aritmética Universal de Newton. Tras leerlo, abordó sucesivamente la geometría analítica, el cálculo, los Principia de Newton y la Mécanique Céleste de Laplace. A la edad de dieciocho años publicó un artículo en el que corregía un error en la obra de Laplace. En 1824 ingresó en el Trinity College de Dublín y en 1827, siendo todavía estudiante universitario, fue nombrado catedrático de astronomía. Sus primeros artículos versaron sobre óptica. En 1832 predijo la refracción cónica, un descubrimiento con la ayuda de las matemáticas que se alza a la altura del descubrimiento de Neptuno por Le Verrier y Adams. A estos les siguieron trabajos sobre el Principio de Acción Variable (1827) y un método general de la dinámica (1834–1835).