modesto para hablar de su propio trabajo. Dificultades pecuniarias lo indujeron a regresar a casa tras una segunda breve estancia en Berlín. En Christiania dio clases particulares durante algún tiempo y ejerció como docente. Crelle consiguió por fin un nombramiento para él en
Berlín; pero la noticia no llegó a Noruega hasta después de la muerte de Abel en Froland.82
Casi al mismo tiempo que Abel, Jacobi publicó artículos sobre las funciones elípticas. El tema favorito de Legendre, durante tanto tiempo olvidado, iba por fin a verse enriquecido con algunos descubrimientos extraordinarios.
La ventaja que se derivaba de invertir la integral elíptica de primera especie y tratarla como una función de su amplitud (llamada ahora función elíptica) fue reconocida por Abel y, pocos meses después, también por Jacobi.
Una segunda idea fructuosa, a la que ambos llegaron también de forma independiente, es la introducción de cantidades imaginarias que condujeron a la observación de que las nuevas funciones simulaban a la vez las funciones trigonométricas y las exponenciales. Pues se demostró que, mientras que las funciones trigonométricas tenían solo un período real, y las exponenciales solo uno imaginario, las funciones elípticas poseían ambos tipos de períodos.
Estos dos descubrimientos fueron los cimientos sobre los cuales Abel y Jacobi, cada uno a su manera, erigieron nuevas y bellas estructuras. Abel desarrolló las curiosas expresiones que representan las funciones elípticas mediante series infinitas o cocientes de productos infinitos.
Grandes como fueron los logros de Abel en funciones elípticas, estos se vieron eclipsados por sus investigaciones sobre las que ahora se llaman funciones abelianas.
El teorema de Abel sobre estas funciones fue expuesto por él en varias formas, siendo la más general la que se encuentra en su Mémoire sur une propriété générale d'une classe très-étendue de fonctions transcendentes (1826).
La historia de esta memoria es interesante. Pocos meses después de su llegada a París, Abel la presentó a la Academia Francesa. Cauchy y Legendre fueron designados para examinarla; pero no dijeron nada al respecto hasta después de la muerte de Abel.
En una breve exposición de los descubrimientos en cuestión, publicada por Abel en el Crelle's Journal, en 1829, se hace referencia a dicha memoria. Esto llevó a Jacobi a preguntarle a Legendre qué había sido de ella. Legendre afirma que el manuscrito estaba tan mal escrito que resultaba ilegible, y que se le pidió a Abel que entregara una copia mejor, lo cual omitió hacer.
La memoria permaneció en manos de Cauchy. No fue publicada hasta 1841. Por un singular contratiempo, el manuscrito se perdió antes de que se leyeran las pruebas de imprenta.
En su forma, el contenido de la memoria pertenece al cálculo integral. Las integrales abelianas dependen de una función irracional y que está conectada con x mediante una ecuación algebraica F ( x , y ) = 0 .