En el capítulo precedente nos esforzamos por ofrecer una visión instantánea del rápido avance de la geometría sintética. En relación con el hiperespacio, también mencionamos los tratados analíticos.
La geometría sintética moderna y la geometría analítica moderna tienen mucho en común, y pueden agruparse bajo el nombre común de "geometría proyectiva". Cada una tiene ventajas sobre la otra.
- La contemplación directa y continua de las figuras como existentes en el espacio añade un encanto excepcional al estudio de la primera, pero la segunda tiene la ventaja de que una rutina bien establecida puede, en cierto grado, adelantarse al pensamiento mismo y, de este modo, ayudar a la investigación original.
Mientras que en Alemania Steiner y von Staudt desarrollaron la geometría sintética,
Plücker sentó las bases de la geometría analítica moderna.
Julius Plücker (1801–1868) nació en Elberfeld, en Prusia. Tras estudiar en Bonn, Berlín y Heidelberg, pasó un corto periodo en París asistiendo a las conferencias de Monge y de sus discípulos.
Entre 1826 y 1836 ocupó sucesivamente puestos en Bonn, Berlín y Halle. Después pasó a ser profesor de física en Bonn.
Hasta 1846 sus investigaciones originales versaron sobre geometría. En 1828 y en 1831 publicó sus Analytisch-Geometrische Entwicklungen en dos volúmenes. En ellos adoptó la notación abreviada (utilizada antes que él de un modo más restringido por Bobillier) y evitó el tedioso proceso de eliminación algebraica mediante una consideración geométrica. En el segundo volumen, el principio de dualidad se formula de manera analítica.
Con él, la dualidad y la homogeneidad encontraron expresión ya en su sistema de coordenadas. El sistema homogéneo o trilineal utilizado por él es muy similar a las coordenadas de Möbius. En la identidad de la operación analítica y la construcción geométrica, Plücker buscó la fuente de sus demostraciones.
El System der Analytischen Geometrie, de 1835, contiene una clasificación completa de las curvas planas de tercer orden, basada en la naturaleza de los puntos en el infinito. El
Theorie der Algebraischen Curven, de 1839, contiene, además de una enumeración de curvas de cuarto orden, las relaciones analíticas entre las singularidades ordinarias de las curvas planas conocidas como «ecuaciones de Plücker», mediante las cuales pudo explicar la «paradoja de Poncelet».
El descubrimiento de estas relaciones es, según Cayley, «el más importante sin comparación alguna de todo el tema de la geometría moderna».
Pero en Alemania las investigaciones de Plücker no encontraron favor alguno. ¡Se declaró que su método era improductivo en comparación con el método sintético de Steiner y Poncelet! Sus relaciones con Jacobi no