Benjamin Peirce (1809–1880) nació en Salem, Mass., y se graduó en el Harvard College, habiendo llevado como estudiante universitario el estudio de las matemáticas mucho más allá de los límites del plan de estudios de la universidad.2
Cuando Bowditch preparaba su traducción y comentario de la Mécanique Céleste, el joven Peirce ayudó en la lectura de las pruebas de imprenta. Fue nombrado profesor en Harvard en 1833, puesto que conservó hasta su muerte.
Durante algunos años estuvo a cargo del Nautical Almanac y fue superintendente de la Costa de los Estados Unidos (United States Coast Survey). Publicó una serie de libros de texto universitarios sobre matemáticas, una Analytical Mechanics (1855) y calculó, junto con Sears C. Walker de Washington, la órbita de Neptuno.
Profundas son sus investigaciones sobre el Álgebra Lineal Asociativa. El primero de varios artículos sobre el tema fue leído en la primera reunión de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en 1864. En 1870 se distribuyeron copias litografiadas de una memoria entre amigos, pero tan pequeño pareció ser el interés despertado por este tema que la memoria no se imprimió hasta 1881 (Am. Jour. Math., vol. IV, n.º 2).
Peirce elabora las tablas de multiplicación, primero de álgebras simples, luego de álgebras dobles, y así sucesivamente hasta las séxtuplas, haciendo un total de 162 álgebras, cuya posibilidad demuestra a partir de la consideración de símbolos , , etc., que son funciones lineales de un número determinado de letras o unidades , , , , etc., con coeficientes que son magnitudes analíticas ordinarias, reales o imaginarias —siendo las letras , , etc., tales que cada combinación binaria , , , etc., es igual a una función lineal de las letras, pero bajo la restricción de satisfacer la ley asociativa.56
Charles S. Peirce, hijo de Benjamin Peirce, y uno de los escritores más destacados sobre lógica matemática, demostró que estas álgebras eran todas formas defectuosas de álgebras cuadradas que él había descubierto previamente mediante análisis lógico, y para las cuales había ideado una simple notación.
De estas álgebras cuadradas, los cuaterniones son un ejemplo sencillo; los noniones son otro. C. S. Peirce demostró que de todas las álgebras asociativas lineales solo hay tres en las que la división es inequívoca. Estas son el álgebra simple ordinaria, el álgebra doble ordinaria y los cuaterniones, de los cuales se excluye el escalar imaginario.
Demostró que las álgebras de su padre son operacionales y matriculares. Las conferencias sobre álgebra múltiple fueron impartidas por J. J. Sylvester en la Johns Hopkins
University, y publicados en varias revistas. Tratan principalmente sobre el álgebra de matrices.
La teoría de matrices fue desarrollada ya en 1858 por Cayley en una importante memoria que, en opinión de Sylvester, inauguró el reinado del Álgebra Segunda. Clifford, Sylvester, H. Taber,
C. H. Chapman, llevó las investigaciones mucho más lejos. El creador de las matrices es en realidad Hamilton, pero su teoría, publicada en sus Lectures on Quaternions, es menos general que la de Cayley. Este último no hace ninguna referencia a Hamilton.
La teoría de los determinantes[]73 fue estudiada por Hoëné Wronski en Italia y J. Binet en Francia; pero se vieron adelantados por el gran maestro de esta materia, Cauchy. En un artículo (Jour.