Las funciones de la segunda clase, uniformes únicamente en espacios lacunares, fueron señaladas por primera vez por Weierstrass.
Las funciones fucsianas y kleinianas no existen por lo general, excepto en el interior de un círculo o de un dominio acotado de otro modo, y son por tanto ejemplos de funciones de la segunda clase.
Poincaré ha demostrado cómo generar funciones de esta clase y las ha estudiado siguiendo las líneas trazadas por Weierstrass.
Es importante su demostración de que no hay forma de generalizarlas de modo que se supriman las lagunas.
Las funciones multiformes están mucho menos desarrolladas que las clases precedentes, a pesar de que sus propiedades en las inmediaciones de un punto dado se han estudiado con diligencia, y de que la utilización de las superficies de Riemann ha arrojado mucha luz sobre ellas.
Con el propósito de reducir su estudio al de las trascendentes uniformes, Poincaré demostró que si es una función analítica multiforme cualquiera de , siempre es posible encontrar una variable tal que e sean funciones uniformes de .
Weierstrass y Darboux han dado sendos ejemplos de funciones continuas que no tienen derivadas. Antiguamente se había supuesto en general que toda función tenía derivada.
Ampère fue el primero que intentó demostrar analíticamente
(1806) la existencia de una derivada, pero la demostración no es válida. Al tratar con funciones discontinuas, Darboux estableció rigurosamente la condición necesaria y suficiente para que una función continua o discontinua sea susceptible de integración. Dio una nueva prueba del cuidado que debe ejercerse en el uso de series al dar un ejemplo de una serie siempre convergente y continua, tal que la serie formada por las integrales de los términos es siempre convergente, y sin embargo no representa la integral de la primera serie.87
La teoría general de las funciones de dos variables ha sido investigada hasta cierto punto por Weierstrass y Poincaré.
H. A. Schwarz de Berlín (nacido en 1845), alumno de Weierstrass, ha dado la representación conforme (Abbildung) de varias superficies sobre un círculo. Al transformar mediante ciertas sustituciones un polígono limitado por arcos circulares en otro también limitado por arcos circulares, fue conducido a una notable ecuación diferencial , donde es la expresión que Cayley denomina la "derivada schwarziana".
y que llevó a Sylvester a la teoría de los recíprocos.
Los desarrollos de Schwarz sobre superficies mínimas, su trabajo en series hipergeométricas y sus investigaciones sobre la existencia de soluciones a importantes ecuaciones en derivadas parciales bajo condiciones prescritas le han asegurado un lugar prominente en la literatura matemática.
La teoría moderna de funciones de una variable real fue desarrollada por primera vez por H. Hankel, Dedekind, G. Cantor, Dini y