superior no siempre pueden resolverse algebraicamente condujo a la investigación de qué ecuaciones de un grado dado pueden resolverse por radicales. Tales ecuaciones son las discutidas por Gauss al considerar la división del círculo. Abel dio un paso más al demostrar que una ecuación irreducible siempre puede resolverse por radicales si, de dos de sus raíces, una puede expresarse racionalmente en función de la otra, siempre que el grado de la ecuación sea primo; si no es primo, entonces la solución depende de la de ecuaciones de menor grado. A través de consideraciones geométricas, Hesse dio con ecuaciones algebraicamente solubles de noveno grado, no incluidas en los grupos anteriores. El tema experimentó un gran avance en París de la mano del joven Evariste Galois (nacido en 1811; muerto en duelo en 1832), quien introdujo la noción de grupo de sustituciones. A él se deben también algunos resultados valiosos en relación con otro conjunto de ecuaciones que se presentan en la teoría de las funciones elípticas, a saber, las ecuaciones modulares. Los trabajos de Galois dieron origen a la importante teoría de las sustituciones, que ha sido enormemente desarrollada por C. Jordan de París, J. A. Serret (1819–1885)
de la Sorbona en París, L. Kronecker (1823–1891) de
- Berlin, Klein de Gotinga, M. Nöther de Erlangen, C. Hermite de París, A. Capelli de Nápoles, L. Sylow de Friedrichshald,
E. Netto de Giessen. El libro de Netto, la Substitutionstheorie, ha sido traducido al inglés por F. N. Cole, de la Universidad de Míchigan, quien contribuyó a la teoría. Un grupo simple de 504 sustituciones de nueve letras,