decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitorum magnitudinum." En la segunda edición, las dos frases que imprimimos en cursiva son reemplazadas por las siguientes: > "Particulæ finitæ non sunt momenta sed quantitates ipsæ ex momentis genitæ." A través de la dificultad de las frases en ambos extractos, se desprende claramente que, en el primero, los momentos son cantidades infinitamente pequeñas. Qué más sean en el segundo no resulta claro.35 En
En la Cuadratura de curvas de 1704, la cantidad infinitamente pequeña se abandona por completo. Se ha demostrado que en el Método de las fluxiones Newton rechazó los términos que involucran la cantidad 0, porque son infinitamente pequeños en comparación con otros términos.
Este razonamiento es evidentemente erróneo; pues mientras el 0 sea una cantidad, por muy pequeña que sea, este reajuste no puede hacerse sin afectar el resultado. Newton parece haberlo sentido, pues en la Cuadratura de curvas señaló que «en las matemáticas los errores más mínimos no deben ser desdeñados» (errores quam minimi in rebus mathematicis non sunt contemnendi).
La distinción temprana entre el sistema de Newton y el de Leibniz radica en esto: que Newton, aferrándose al concepto de velocidad o fluxión, utilizó el incremento infinitamente pequeño como medio para determinarlo, mientras que en Leibniz la relación de los incrementos infinitamente pequeños es en sí misma el objeto de determinación. La diferencia entre ambos descansa principalmente en una divergencia en el modo de generar las cantidades.35
Demos la exposición que hace Newton del método de las fluxiones o razones, tal como aparece en la introducción de su Cuadratura de curvas. «Considero aquí las cantidades matemáticas no como compuestas de partes muy pequeñas, sino como descritas por un movimiento continuo. Las líneas son descritas, y con ello generadas, no por la aposición de partes, sino por el movimiento continuo de puntos; las superficies, por el movimiento de líneas; los sólidos, por el movimiento de superficies; los ángulos, por la rotación de los lados; las porciones de tiempo, por un flujo continuo: y así sucesivamente en otras cantidades. Estas génesis tienen lugar realmente en la naturaleza de las cosas, y se observan diariamente en el movimiento de los cuerpos».
"Las fluxiones son, tan cerca como queramos (quam proxime), como los incrementos de los fluentes generados en tiempos iguales y tan pequeños como sea posible, y para hablar con precisión, están en la razón primera de los incrementos nacientes; aun así, pueden ser expresadas por cualesquiera líneas que sean proporcionales a ellas."
Newton ejemplifica esta última afirmación con el problema de la tangencia: Sea A B la abscisa, B C la ordenada, V C H la tangente, E c el incremento de la ordenada, que al prolongarse corta a V H en T , y C c el incremento de la curva. Prolongada la línea recta C c hasta K , se forman tres pequeños triángulos, el rectilíneo C E c , el mixtilíneo C E c y el rectilíneo C E T .