Hemos visto que entre los más tempranos de los varios tipos de «grupos» se encuentran los grupos finitos discontinuos (grupos en la teoría de la sustitución), los cuales, desde los tiempos de Galois, se han convertido en el concepto rector en la teoría de las ecuaciones algebraicas; que desde 1876 Felix Klein, H. Poincaré y otros han aplicado la teoría de los grupos finitos e infinitos discontinuos a la teoría de funciones y de ecuaciones diferenciales.
Los grupos finitos continuos fueron objeto por primera vez de investigación general en 1873 por Sophus Lie, actualmente en Leipzig, y aplicados por él a la integración de ecuaciones diferenciales parciales lineales ordinarias.
Gran interés reviste la determinación de aquellas ecuaciones diferenciales lineales que pueden integrarse mediante funciones más simples, tales como las algebraicas, elípticas o abelianas. Esto ha sido estudiado por C. Jordan, P. Appel de París (nacido en 1858) y
Poincaré.
El modo de integración antedicho, que da a conocer las propiedades de las ecuaciones desde el punto de vista de la teoría de funciones, no basta en la aplicación de las ecuaciones diferenciales a cuestiones de la mecánica.
Si consideramos la función como definitoria de una curva plana, entonces la forma general de la curva no se desprende del modo de investigación anterior. Con todo, a menudo es deseable construir las curvas definidas por ecuaciones diferenciales.
Estudios con este fin han sido llevados a cabo por Briot y Bouquet, y por Poincaré.81
El tema de las soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales ha experimentado un avance material desde la época de Boole gracias a G. Darboux y Cayley.
Los artículos preparados por estos matemáticos señalan una dificultad aún no superada:
mientras que una solución singular, desde el punto de vista de la ecuación integrada, debería ser un fenómeno de aparición universal, o al menos general, es, por otra parte, un fenómeno muy especial y excepcional desde el punto de vista de la ecuación diferencial.89
Una teoría geométrica de las soluciones singulares semejante a la utilizada por Cayley fue empleada previamente por W. W. Johnson, de Annapolis.
Un tratado avanzado sobre ecuaciones diferenciales lineales (1889) fue publicado por Thomas Craig, de la Universidad Johns Hopkins
Universidad. Eligió el método algebraico de presentación seguido por Hermite y Poincaré, en lugar del método geométrico preferido por Klein y Schwarz. Una obra notable, el
Traité d'Analyse, is now being published by Émile Picard of
París, cuyo interés se hace girar en torno al tema de las ecuaciones diferenciales.