En una nota a la obra citada, Lagrange emplea el teorema de Fermat y ciertas sugerencias de Gauss para llevar a cabo una solución algebraica completa de cualquier ecuación binómica.
Durante su estancia en Berlín, Lagrange publicó varios artículos sobre la teoría de números. En 1769 dio una solución en números enteros de ecuaciones indeterminadas de segundo grado, que se asemeja al método cíclico hindú; fue el primero en demostrar, en 1771, el «teorema de Wilson», enunciado por un inglés, John
Wilson, y publicado por primera vez por Waring en sus Meditationes Algebraicæ; investigó en 1775 bajo qué condiciones y (habiendo discutido Euler y )
son residuos cuadráticos o no residuos de números primos impares, ; demostró en 1770 el teorema de Méziriac de que todo entero es igual a la suma de cuatro cuadrados o de un número menor de ellos. Demostró el teorema de Fermat sobre , para el caso , así como el teorema de Fermat de que, si , entonces no es un cuadrado.
En su memoria sobre las pirámides, de 1773, Lagrange hizo un uso considerable de determinantes de tercer orden y demostró que el cuadrado de un determinante es a su vez un determinante.
Sin embargo, nunca trató explícita y directamente con los determinantes; simplemente obtuvo de forma accidental identidades que hoy se reconocen como relaciones entre determinantes.
Lagrange escribió mucho sobre ecuaciones diferenciales. Aunque objeto de contemplación por parte de los más grandes matemáticos (Euler, D'Alembert, Clairaut, Lagrange, Laplace), más que otras ramas de las matemáticas, estas se resistieron a la aplicación sistemática de métodos y principios fijos. Lagrange estableció criterios para las soluciones singulares (Calcul des Fonctions,
Lecciones 14–17), las cuales son, sin embargo, erróneas. Fue el primero en señalar la importancia geométrica de tales soluciones. Generalizó las investigaciones de Euler sobre ecuaciones diferenciales totales de dos variables y de noveno orden; dio una solución de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden (Memorias de Berlín, 1772 y 1774), y habló de sus soluciones singulares, extendiendo su solución en las Memorias de 1779 y 1785 a ecuaciones de cualquier número de variables. Ya se ha hecho referencia al debate sobre las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, llevado a cabo por D'Alembert, Euler y Lagrange, en nuestra exposición sobre D'Alembert.
Durante su estancia en Berlín, Lagrange escribió la «Mécanique Analytique», la mayor de sus obras (París, 1788). A partir del principio de las velocidades virtuales dedujo, con la ayuda del cálculo de variaciones, todo el sistema de la mecánica de forma tan elegante y armoniosa que bien puede llamarse, en palabras de Sir William Rowan Hamilton, «una especie de poema científico».
Es un ejemplo supremo de generalidad analítica. No se permite figura geométrica alguna en todo el libro. «On ne trouvera point de figures dans cet ouvrage» (Prefacio). Las dos ramas de la mecánica —la estática y la dinámica— se desarrollan de forma análoga en las primeras cuatro secciones de cada una, y ambas van precedidas de una semblanza histórica de sus principios.
Lagrange formuló el principio de la mínima acción. En su forma original, las ecuaciones del movimiento involucran las coordenadas x , y , z , de las diferentes partículas m o d m del sistema. Pero x , y , z , por lo general no son independientes, y Lagrange introdujo en su lugar cualesquiera variables ξ , ψ , ϕ , que determinan la