Fourier tomó una parte prominente en su hogar en la promoción de la Revolución. Bajo la Revolución francesa las artes y las ciencias parecieron florecer por un tiempo. La reforma de los pesos y medidas fue planeada con grandeza de concepción. La Escuela Normal fue creada en 1795, de la cual Fourier se convirtió primero en alumno y luego en conferenciante. Su brillante éxito le aseguró una cátedra en la Escuela Politécnica, cuyas obligaciones abandonó después, junto con Monge y
Berthollet, para acompañar a Napoleón en su campaña a Egipto. Napoleón fundó el Instituto de Egipto, del cual Fourier se convirtió en secretario. En Egipto no solo se dedicó a la labor científica, sino que desempeñó importantes funciones políticas.
Tras su regreso a Francia, ocupó durante catorce años la prefectura de Grenoble. Durante este período llevó a cabo sus minuciosas investigaciones sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos, publicadas en 1822 en su obra titulada La Théorie Analytique de la Chaleur.
Esta obra marca una época en la historia de la física matemática. Las «series de Fourier» constituyen su joya. Mediante esta investigación se puso fin a una larga controversia y se estableció el hecho de que cualquier función arbitraria puede ser representada por una serie trigonométrica. El primer anuncio de este gran descubrimiento fue realizado por Fourier en 1807, ante la Academia Francesa.
La serie trigonométrica representa la función para cada valor de , si los coeficientes , y es igual a una integral similar.
El punto débil en el análisis de Fourier radica en su incapacidad para demostrar de manera general que la serie trigonométrica converge efectivamente al valor de la función. En 1827 Fourier sucedió a Laplace como presidente del consejo de la Escuela Politécnica.
Antes de pasar al origen de la geometría moderna, hablaremos brevemente de la introducción del análisis superior en Gran Bretaña. Esto tuvo lugar durante el primer cuarto de este siglo. Los británicos comenzaron a lamentar el muy escaso progreso que la ciencia estaba haciendo en Inglaterra en comparación con su vertiginoso progreso en el continente. En 1813 el «Analytical
Society" se formó en Cambridge. Este era un pequeño club establecido por George Peacock, John Herschel, Charles Babbage y algunos otros estudiantes de Cambridge para promover, según se expresaba humorísticamente, los principios del "" puro, es decir, la notación leibniziana en el cálculo frente a los de la "edad del punto" (dot-age), o la notación newtoniana.
Esta lucha terminó con la introducción en Cambridge de la notación , con la exclusión de la notación fluxional . Este fue un gran paso adelante, no debido a ninguna gran superioridad de la notación leibniziana sobre la newtoniana, sino porque la adopción de la primera abrió a los estudiantes ingleses los vastos depósitos de los descubrimientos continentales.
Sir William Thomson, Tait y algunos otros escritores modernos encuentran a menudo conveniente usar ambas notaciones. Herschel,
Peacock y Babbage tradujeron, en 1816, del francés,
el tratado de Lacroix sobre el cálculo diferencial e integral, y añadió en 1820 dos volúmenes de ejemplos. El de Lacroix era uno de los mejores y más extensos trabajos sobre el cálculo de aquella época.