Academia de Berlín. En 1780 dimitió de su puesto para reservar más tiempo al estudio de las matemáticas superiores. Fue nombrado entonces miembro de varias comisiones públicas.
En 1795 fue elegido profesor de la Escuela Normal y más tarde fue designado para algunos cargos gubernamentales menores. Debido a su timidez y a la poca simpatía que Laplace le tenía, apenas se le ofrecieron cargos públicos importantes acordes con su capacidad.
Como analista, segundo únicamente después de Laplace y Lagrange, Legendre enriqueció las matemáticas con importantes contribuciones, principalmente sobre integrales elípticas, teoría de números, atracción de elipsoides y mínimos cuadrados.
La más importante de las obras de Legendre es sus Fonctions elliptiques, publicada en dos volúmenes en 1825 y 1826. Retomó el tema donde Euler, Landen y Lagrange lo habían dejado, y durante cuarenta años fue el único en cultivar esta nueva rama del análisis, hasta que por fin Jacobi y
Abel intervino con admirables nuevos descubrimientos.52 Legendre confirió a la materia aquella conexión y ordenación que corresponden a una ciencia independiente. Partiendo de una integral dependiente de la raíz cuadrada de un polinomio de cuarto grado en , demostró que tales integrales pueden reducirse a tres formas canónicas, designadas por , y , estando expresado el radical en la forma . Asimismo, emprendió la prodigiosa tarea de calcular tablas de arcos de la elipse para diferentes grados de amplitud y excentricidad, las cuales proporcionan los medios para integrar un gran número de diferenciales.
Una publicación anterior que contenía parte de sus investigaciones sobre las funciones elípticas fue su Calcul intégral en tres volúmenes
(1811, 1816, 1817), en los que también trata extensamente de las dos clases de integrales definidas nombradas por él como eulerianas. Tabuló los valores de para valores de entre y .
Uno de los primeros temas de investigación fue la atracción de esferoides, lo que sugirió a Legendre la función , llamada así en su honor.
Su memoria fue presentada a la Academia de Ciencias en 1783. Las investigaciones de Maclaurin y Lagrange suponen que el punto atraído por un esferoide se encuentra en la superficie o en el interior del esferoide, pero Legendre demostró que para determinar la atracción de un esferoide sobre cualquier punto exterior basta con hacer pasar por dicho punto la superficie de otro esferoide descrito sobre los mismos focos.
Otras memorias sobre elipsoides aparecieron más tarde.
Los dos dioses domésticos a los que Legendre sacrificaba con renovado placer en el silencio de su gabinete eran las funciones elípticas y la teoría de números. Sus investigaciones sobre este último tema, junto con los numerosos fragmentos dispersos sobre la teoría de números debidos a sus predecesores en esta línea, fueron organizados en la medida de lo posible como un todo sistemático y publicados en dos grandes volúmenes en cuarto, titulados Théorie des nombres, 1830. Antes