La publicación de este seudodescubrimiento le trajo mucha fama. Una reflexión más madura y el trato con Tycho Brahe y Galileo lo condujeron a investigaciones y resultados más dignos de su genio: las "leyes de Kepler". Enriqueció las matemáticas puras así como la astronomía. No es extraño que se interesara en la ciencia matemática que le había hecho tanto servicio; pues "si los griegos no hubieran cultivado las secciones cónicas,
Kepler could not have superseded Ptolemy."11
- The Greeks never dreamed that these curves would ever be of practical use; Aristæus and Apollonius studied them merely to satisfy their intellectual cravings after the ideal; yet the conic sections assisted Kepler in tracing the march of the planets in their elliptic orbits.
Kepler hizo también un uso amplio de los logaritmos y las fracciones decimales, y se mostró entusiasta en la difusión de su conocimiento.
En cierta ocasión, mientras compraba vino, le llamó la atención la inexactitud de los modos ordinarios de determinar el contenido de los barriles. Esto lo llevó al estudio de los volúmenes de los sólidos de revolución y a la publicación de la Stereometria Doliorum en 1615.
En ella trata primero de los sólidos conocidos por Arquímedes y luego aborda otros.
Kepler introdujo una nueva idea en la geometría; a saber, la de las cantidades infinitamente grandes e infinitamente pequeñas. Los matemáticos griegos siempre huyeron de esta noción, pero con ella los matemáticos modernos han revolucionado por completo la ciencia.
Al comparar figuras rectilíneas, los antiguos empleaban el método de superposición, pero al comparar figuras rectilíneas y curvilíneas entre sí, este método fallaba porque ninguna suma o resta de figuras rectilíneas podía producir jamás figuras curvilíneas.
Para hacer frente a este caso, idearon el Método de Exhausción, que era largo y difícil; era puramente sintético y, en general, exigía que la conclusión se conociera desde el principio.
La nueva noción de infinito condujo gradualmente a la invención de métodos immeasurablemente más poderosos.
Kepler concibió el círculo como compuesto por un número infinito de triángulos que tenían sus vértices comunes en el centro y sus bases en la circunferencia, y la esfera como consistente en un número infinito de pirámides.
Aplicó concepciones de este tipo a la determinación de las áreas y volúmenes de figuras generadas por curvas que giran alrededor de cualquier línea como eje, pero logró resolver solo unos pocos de los más simples entre los 84 problemas que propuso para su investigación en su Stereometria.